Choque de un proyectil con un satélite artificial (I)

La Tierra tiene masa M=5.98·1024 kg y radio R=6.37·106 m, supondremos no gira sobre su eje.

Movimiento del satélite

Sea un satélite de masa m que describe una órbita circular de radio rs

La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme (fuerza de atracción igual a masa por aceleración normal), se escribe

G Mm r s 2 =m v s 2 r s v s = GM r s

Donde vs es la velocidad constante del satélite

La órbita de un satélite cuyo periodo es un día se denomina geoestacionaria, su velocidad angular es la misma que la de rotación de la Tierra

P= 2π r s v s = 2π r s r s GM P 2 =4 π 2 r s 3 GM

Si P=24·60·60, entonces rs=42 250 km=6.63·R

Movimiento del proyectil en la dirección radial

Sea un proyectil de masa m que se dispara desde la superficie de la Tierra con velocidad v0 en dirección radial. Pueden ocurrir los siguientes casos:

La velocidad inicial del proyectil es inferior a la de escape

Supongamos que la velocidad de disparo del proyectil es menor que la velocidad de escape, v0<ve

El proyectil se detiene cuando dista del centro de la Tierra rm y regresa a la superficie de la Tierra con la misma velocidad de disparo.

1 2 m v 0 2 G Mm R =G Mm r m r m = 2GMR 2GMR v 0 2

Si rm<rs el proyectil no alcanza al satélite. En caso contrario, si rm>rs calculamos la velocidad del proyectil vp cuando alcanza la órbita del satélite.

1 2 m v 0 2 G Mm R = 1 2 m v p 2 G Mm r s

Se denomina velocidad de escape ve, la mínima necesaria para salir del campo gravitatorio de la Tierra, es decir, para alcanzar el infinito con velocidad nula

1 2 m v e 2 G Mm R =0 v e = 2GM R

Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la órbita de radio rs del satélite.

La velocidad v del proyectil cuando está a una distancia r del centro de la Tierra es

1 2 m v 0 2 G Mm R = 1 2 m v 2 G Mm r

Despejamos v=dr/dt en función r

( dr dt ) 2 = v 0 2 2GM( 1 R 1 r ) t= R r rR abr dr { a=2GMR b=2GMR v 0 2

Se hace el cambio de variable

r= a b sin 2 θ

Quedando la integral,

t= 2 R a b b θ 0 θ sin 2 θdθ t= R a b b ( θ 1 2 sin( 2θ ) θ 0 + 1 2 sin( 2 θ 0 ) )

Ejemplos:

La velocidad inicial del proyectil es mayor que la de escape

Supongamos que la velocidad de disparo del proyectil es mayor que la velocidad de escape, v0>ve

v 0 2 > v e 2 v 0 2 R>2GM

El parámetro b ahora es negativo, y hay que buscar otro procedimiento para calcular la integral

( dr dt ) 2 = v 0 2 2GM( 1 R 1 r ) t= R r rR a+br dr { a=2GMR b=R v 0 2 2GM

Se hace un cambio de variable, se integra por partes y finalmente, una fracción racional sencilla

x 2 = r a+br dr= 2ax ( 1b x 2 ) 2 dx t= R x 1 x 2 x 2ax ( 1b x 2 ) 2 dx= R ( ax b( 1b x 2 ) a 2b b log( 1+ b x 1 b x ) ) | x 1 x 2 = R ( r a+br b a 2b b log( a+br + br a+br br ) ) | R r

Ejemplo

Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=1.1·ve, calcula la velocidad del proyectil cuando se encuentra a una distancia rs=5·R del centro de la Tierra y el tiempo t que tarda en alcanzar esta posición.

GM=6.67e-11*5.98e24;
R=6.37e6; %radio de la Tierra
ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape
v0=1.1*ve; %velocidad de disparo del proyectil
rS=5*R;    
v=sqrt(v0^2-2*GM*(1/R-1/rS));
a=2*GM*R;
b=R*v0^2-2*GM;
t=sqrt(R)*(sqrt(rS)*sqrt(a+b*rS)/b-a*log((sqrt(a+b*rS)+sqrt(b*rS))
/(sqrt(a+b*rS)-sqrt(b*rS)))/(2*b^(3/2))-sqrt(R)*sqrt(a+b*R)/b+
a*log((sqrt(a+b*R)+sqrt(b*R))/(sqrt(a+b*R)-sqrt(b*R)))/(2*b^(3/2)));
fprintf('La velocidad es %3.2f m/s, y el tiempo %3.2f min\n',v,t/60);
La velocidad es 7165.57 m/s, y el tiempo 50.07 min

La velocidad del proyectil ha disminuido a 0.64·ve

Ecuación del movimiento

Para determinar la posición r del proyectil en función del tiempo t, resolvemos la ecuación diferencial del movimiento por procedimientos numéricos.

d 2 r d t 2 =G M r 2

con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, r=R, dr/dt=v0

Ejemplos

Choque del proyectil con el satélite

El proyectil y el satélite ambos de la misma masa m, experimentan un choque inelástico quedando pegados ambos cuerpos después del choque.

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal para calcular el vector velocidad del objeto resultante de masa 2m tras el choque.

m v p i ^ +m v s j ^ =2m v

Calculamos la ecuación de la trayectoria del objeto resultante

1 r =Asinθ+Bcosθ+ GM (2m) 2 L 2

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: para θ=0, r=rs, la velocidad en la dirección radial es dr/dt=vp/2 y la velocidad en la dirección transversal rs·dθ/dt=vs/2

(2m) L dr dt =AcosθBsinθ L=(2m) r 2 ( dθ dt )

Con estos datos determinamos la ecuación de la trayectoria que se simplifica notablemente conociendo la velocidad vs del satélite en órbita circular

L=(2m) r s v s 2 2 r s v s v p 2 =A 1 r s =B+ 4GM ( r s v s ) 2 1 r = v p r s v s sinθ 3 r s cosθ+ 4 r s

Calculamos la distancia más cercana (perigeo) del objeto al centro de la Tierra y la más alejada (apogeo) derivando r respecto a θ e igualando a cero.

d( 1/r ) dθ =AcosθBsinθ tanθ= A B = r s v s 3GM v p

Una vez calculados los dos ángulos, los introducimos en la ecuación de la trayectoria y nos da min y máx

Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=0.98·ve, determinar la trayectoria del proyectil después de chocar con un satélite de la misma masa que describe una órbita circular de radio rs=10·R

GM=6.67e-11*5.98e24;
R=6.37e6; %radio de la Tierra
ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape
v0=0.98*ve; %velocidad de disparo del proyectil
rS=10*R; 
vS=sqrt(GM/rS);
rM=2*GM*R/(2*GM-R*v0^2); %máximo alejamiento del centro de la Tierra
if rM>rS || v0>ve
    vP=sqrt(v0^2-2*GM*(1/R-1/rS));
    f=@(x) -vP*sin(x)/(rS*vS)-3*cos(x)/rS+4/rS;
    phi=0:pi/180:2*pi;
    xPos=(1./f(phi)).*cos(phi);
    yPos=(1./f(phi)).*sin(phi);
    hold on
    plot(xPos/R,yPos/R)
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Choque de un satélite con un proyectil')
    phi_max=atan(vP*rS*vS/(3*GM));
    phi_min=pi+atan(vP*rS*vS/(3*GM));
    fprintf('La distancia mínima es %1.2f y la máxima %1.2f al centro de la Tierra\n',
(1/f(phi_min))/R, (1/f(phi_max))/R)
    line([cos(phi_min)/(f(phi_min)*R), 0],[sin(phi_min)/(f(phi_min)*R),0])
    line([cos(phi_max)/(f(phi_max)*R), 0], [sin(phi_max)/(f(phi_max)*R),0])
    hold off
    axis equal
end

La distancia mínima del objeto resultante del choque entre el proyectil y el satélite al centro de la Tierra es 1.39·R.

La distancia mínima es 1.39 y la máxima 12.42 al centro de la Tierra

Caso particular

Supongamos que el proyectil llega al satélite con velocidad nula vp=0 y queda pegado. Para que esto ocurra, tenemos que disparar el proyectil desde la superficie de la Tierra con velocidad

v 0 = 2GM( 1 R 1 r s )

La ecuación de la trayectoria con vp=0 es

1 r = 3 r s cosθ+ 4 r s

La mínima distancia al centro de la Tierra se obtiene con cosθ=-1, rmin=rs/7

Comprobamos que hasta rs=7·R el perigeo es menor que el radio de la Tierra, el proyectil que queda pegado al satélite en órbita circular, hace que el objeto resultante describa una órbita elíptica que lleva al satélite a la superficie de la Tierra.

Alternativamente

Aplicando el principio de conservación del momento lineal al choque entre el proyectil de masa m y velocidad cero, con el satélite de masa m y velocidad vs, la velocidad del objeto resultante de masa 2m es vs/2 en la misma dirección

La trayectoria del objeto resultante es una elipse cuyo perigeo calculamos a partir de las propiedades de la fuerza de atracción: central y conservativa

r s v s 2 =rv 1 2 ( v s 2 ) 2 GM r s = 1 2 v 2 GM r

Conocida la velocidad del satélite vs en su órbita circular obtenemos la ecuación de segundo grado

r s 2 8r· r s +7 r 2 =0

Conocido rs calculamos el perigeo r. El valor de rs que hace que el objeto resultante caiga a la superficie r=R de la Tierra es rs=7R. Comprobamos que si rs<7R impacta en la superficie de la Tierra r<R. Por ejemplo, para rs=4R, obtenemos que r=4R/7

GM=6.67e-11*5.98e24;
R=6.37e6; %radio de la Tierra
rS=4*R; 
vS=sqrt(GM/rS);
v0=sqrt(2*GM*(1/R-1/rS)); %velocidad de disparo del proyectil
f=@(x) -3*cos(x)/rS+4/rS;
phi=0:pi/180:2*pi;
xPos=(1./f(phi)).*cos(phi);
yPos=(1./f(phi)).*sin(phi);
hold on
plot(xPos/R,yPos/R)
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Choque de un satélite con un proyectil')
fprintf('La distancia mínima es %1.2f y la máxima %1.2f 
al centro de la Tierra\n',(1/f(pi))/R, (1/f(0))/R)
line([cos(0)/(f(0)*R), 0],[sin(0)/(f(0)*R),0])
line([cos(pi)/(f(pi)*R), 0], [sin(pi)/(f(pi)*R),0])
hold off
axis equal

El objeto resultante después del choque entre el proyectil y el satélite cae a la superficie de la Tierra, su perigeo es menor que el radio de la Tierra

La distancia mínima es 0.57 y la máxima 4.00 al centro de la Tierra

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento del satélite en órbita circular de radio rs y el proyectil disparado desde la superficie de la Tierra con velocidad v0.

Puede ocurrir que la velocidad de disparo no sea suficiente para que el proyectil llegue a la órbita del satélite. El proyectil regresa a la superficie de la Tierra

Si la velocidad de disparo es suficiente. El proyectil choca con el satélite y se observa la trayectoria del objeto resultante. Si el perigeo es menor que el radio de la Tierra, el objeto se detiene cuando impacta en su superficie, el satélite ha sido derribado por el proyectil

Para que el proyectil llegue con velocidad nula a la órbita del satélite es preciso calcular la velocidad de disparo v0 aplicando la conservación de la energía y después, introducirla en el control titulado Velocidad disparo en unidades de la velocidad de escape

v 0 v e = ( 1 R r s )

Por ejemplo, si rs=6·R, entonces v0/ve=0.913, para que el proyectil llegue justo a la órbita del satélite y se pegue a éste.

El programa interactivo nos permite jugar a derribar un satélite artificial que describe una órbita circular mediante un proyectil disparado desde la superficie de la Tierra en dirección radial


Referencias

Philip R Blanco, Carl E Mungan. Satellite splat: an inelastic collision with a surface-launched projectile. Eur. J. Phys. 36 (2015) 045004.

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Publications/EJP17.pdf