Choque de un proyectil con un satélite artificial (I)
La Tierra tiene masa M=5.98·1024 kg y radio R=6.37·106 m, supondremos no gira sobre su eje.
Movimiento del satélite

Sea un satélite de masa m que describe una órbita circular de radio rs
La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme (fuerza de atracción igual a masa por aceleración normal), se escribe
Donde vs es la velocidad constante del satélite
La órbita de un satélite cuyo periodo es un día se denomina geoestacionaria, su velocidad angular es la misma que la de rotación de la Tierra
Si P=24·60·60, entonces rs=42 250 km=6.63·R
Movimiento del proyectil en la dirección radial

Sea un proyectil de masa m que se dispara desde la superficie de la Tierra con velocidad v0 en dirección radial. Pueden ocurrir los siguientes casos:
La velocidad inicial del proyectil es inferior a la de escape
Supongamos que la velocidad de disparo del proyectil es menor que la velocidad de escape, v0<ve
El proyectil se detiene cuando dista del centro de la Tierra rm y regresa a la superficie de la Tierra con la misma velocidad de disparo.
Si rm<rs el proyectil no alcanza al satélite. En caso contrario, si rm>rs calculamos la velocidad del proyectil vp cuando alcanza la órbita del satélite.
Se denomina velocidad de escape ve, la mínima necesaria para salir del campo gravitatorio de la Tierra, es decir, para alcanzar el infinito con velocidad nula
Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la órbita de radio rs del satélite.
La velocidad v del proyectil cuando está a una distancia r del centro de la Tierra es
Despejamos v=dr/dt en función r
Se hace el cambio de variable
Quedando la integral,
Ejemplos:
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=0.9·ve, calcular la máxima distancia rm al centro de la Tierra y el tiempo t que tarda en alcanzarla.
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=0.9*ve; %velocidad de disparo del proyectil a=2*GM*R; b=2*GM-R*v0^2; rm=a/b; %máximo alejamiento del centro de la Tierra phi_0=asin(sqrt(b*R/a)); phi=asin(sqrt(b*rm/a)); t=sqrt(R)*a*(phi-sin(2*phi)/2-phi_0+sin(2*phi_0)/2)/b^(3/2); fprintf('La máxima distancia es %3.2f·R, y el tiempo %3.2f min\n',rm/R,t/60);
La máxima distancia es 5.26·R, y el tiempo 173.21 min
La máxima distancia que el proyectil se aleja del centro de la Tierra es 5.26·R=33526 km y emplea un tiempo de t=173.21 minutos
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=0.9·ve, calcular la velocidad del proyectil cuando se encuentra a una distancia rs=5·R del centro de la Tierra y el tiempo t que tarda en alcanzar esta posición.
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=0.9*ve; %velocidad de disparo del proyectil rS=5*R; v=sqrt(v0^2-2*GM*(1/R-1/rS)); a=2*GM*R; b=2*GM-R*v0^2; phi_0=asin(sqrt(b*R/a)); phi=asin(sqrt(b*rS/a)); t=sqrt(R)*a*(phi-sin(2*phi)/2-phi_0+sin(2*phi_0)/2)/b^(3/2); fprintf('La velocidad es %3.2f m/s, y el tiempo %3.2f min\n',v,t/60);
La velocidad es 1119.07 m/s, y el tiempo 122.41 min
La velocidad del proyectil cuando se ha alejado del centro de la Tierra 5·R es vp=1119 m/s y emplea un tiempo de t=122.41 minutos en alcanzar esta posición
La velocidad inicial del proyectil es mayor que la de escape
Supongamos que la velocidad de disparo del proyectil es mayor que la velocidad de escape, v0>ve
El parámetro b ahora es negativo, y hay que buscar otro procedimiento para calcular la integral
Se hace un cambio de variable, se integra por partes y finalmente, una fracción racional sencilla
Ejemplo
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=1.1·ve, calcula la velocidad del proyectil cuando se encuentra a una distancia rs=5·R del centro de la Tierra y el tiempo t que tarda en alcanzar esta posición.
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=1.1*ve; %velocidad de disparo del proyectil rS=5*R; v=sqrt(v0^2-2*GM*(1/R-1/rS)); a=2*GM*R; b=R*v0^2-2*GM; t=sqrt(R)*(sqrt(rS)*sqrt(a+b*rS)/b-a*log((sqrt(a+b*rS)+sqrt(b*rS)) /(sqrt(a+b*rS)-sqrt(b*rS)))/(2*b^(3/2))-sqrt(R)*sqrt(a+b*R)/b+ a*log((sqrt(a+b*R)+sqrt(b*R))/(sqrt(a+b*R)-sqrt(b*R)))/(2*b^(3/2))); fprintf('La velocidad es %3.2f m/s, y el tiempo %3.2f min\n',v,t/60);
La velocidad es 7165.57 m/s, y el tiempo 50.07 min
La velocidad del proyectil ha disminuido a 0.64·ve
Ecuación del movimiento

Para determinar la posición r del proyectil en función del tiempo t, resolvemos la ecuación diferencial del movimiento por procedimientos numéricos.
con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, r=R, dr/dt=v0
Ejemplos-
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=0.9·ve, determinar la posición r del proyectil en función del tiempo t hasta que regresa a la superficie de la Tierra
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=0.9*ve; %velocidad de disparo del proyectil x0=[R,v0]; f=@(t,x) [x(2);-GM/x(1)^2]; opts=odeset('events',@stop_derribo); tspan=[0 500*60]; [t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts); plot(t/60,x(:,1)/R) grid on xlabel('t(min)') ylabel('r/R') title('Disparo de un proyectil en la dirección radial')
Definimos una función para que el proceso de cálculo se detenga cuando el proyectil regrese a la superficie de la Tierra
function [detect,stopin,direction]=stop_derribo(t,x) detect=x(1)-6.37e6; stopin=1; direction=-1; end
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=0.9·ve, determinar la posición r del proyectil en función del tiempo t hasta que se encuentra a una distancia rs=5·R del centro de la Tierra
Modificamos la definición de la función para que el proceso de cálculo se detenga cuando el proyectil alcance la posición rs=5·R en el viaje de ida
function [detect,stopin,direction]=stop_derribo(t,x) detect=x(1)-5*6.37e6; stopin=1; direction=1; end
Choque del proyectil con el satélite

El proyectil y el satélite ambos de la misma masa m, experimentan un choque inelástico quedando pegados ambos cuerpos después del choque.
Aplicamos el principio de conservación del momento lineal para calcular el vector velocidad del objeto resultante de masa 2m tras el choque.
Las componentes de la velocidad después del choque son vx=vp/2 y vy=vs/2
El momento angular y la energ&icaute;a son
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
La ecuación de la trayectoria es independiente de la masa de la partícula
Si la energía de la partícula es negativa E<0, su trayectoria es una elipse y su excentricidad ε<1.
Conocido d y ε, se calcula el semieje mayor a, que es la media aritmética de los radios mínimo (θ=0) y máximo (θ=π) de la elipse.
El periodo viene dado por la fórmula
Trayectoria

Para representar la trayectoria de un elipse girada es más conveniente utilizar esta ecuación
p es un parámetro adimensional
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con velocidad v0=0.98·ve, determinar la trayectoria del proyectil después de chocar con un satélite de la misma masa que describe una órbita circular de radio rs=10·R
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=0.98*ve; %velocidad de disparo del proyectil rS=10*R; %satélite vS=sqrt(GM/rS); rM=2*GM*R/(2*GM-R*v0^2); %máximo alejamiento del centro de la Tierra if rM>rS || v0>ve vP=sqrt(v0^2-2*GM*(1/R-1/rS)); vX=vP/2; %después del choque vY=vS/2; %trayectoria L=rS*vY; E=(vX^2+vY^2)/2-GM/rS; ex=sqrt(1+2*L^2*E/GM^2); %excentricidad d=L^2/GM; %parámetro d de la elipse a=d/(1-ex^2); %semieje mayor fprintf('La distancia m&icaute;nima es %1.2f y la máxima %1.2f al centro de la Tierra\n',d/(R*(1+ex)), d/(R*(1-ex))) P=2*pi*sqrt((a^3/GM)/(24*3600)); %periodo en d&icaute;as fprintf('excentricidad %1.3f, periodo d&icaute;as %3.1f\n',ex,P) v0=sqrt(vX^2+vY^2); phi=atan2(vY,vX); p=2*GM/(rS*v0^2); r=@(x) (rS/R)./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2)); hold on fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi]) %punto de lanzamiento plot(rS/R,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k') %vector velocidad inicial, en unidades de la velocidad vS por dos quiver(rS/R,0, 2*v0*cos(phi)/vS, 2*v0*sin(phi)/vS, 'color','k') %eje mayor de la elipse th_0=-acos((d/rS-r0)/(r0*ex)); x1=r(th_0)*cos(th_0); y1=r(th_0)*sin(th_0); x2=r(th_0+pi)*cos(th_0+pi); y2=r(th_0+pi)*sin(th_0+pi); line([x1,x2],[y1,y2]) %la Tierra th=(0:360)*pi/180; fill(cos(th),sin(th),'b') hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') grid on title('Choque de un satélite con un proyectil') end
La distancia mínima del objeto resultante del choque entre el proyectil y el satélite al centro de la Tierra es 1.39·R.
La distancia mínima es 1.39 y la máxima 12.42 al centro de la Tierra excentricidad 0.799, periodo d&icaute;as 312.3
La flecha de color negro muestra la dirección de la velocidad del cuerpo resultante después del choque
Caso particular
Supongamos que el proyectil llega al satélite con velocidad nula vp=0 y queda pegado. Para que esto ocurra, tenemos que disparar el proyectil desde la superficie de la Tierra con velocidad

Aplicando el principio de conservación del momento lineal al choque entre el proyectil de masa m y velocidad cero, con el satélite de masa m y velocidad vs, la velocidad del objeto resultante de masa 2m es vs/2 en la misma dirección
La trayectoria del objeto resultante es una elipse cuyo perigeo calculamos a partir de las propiedades de la fuerza de atracción: central y conservativa
Conocida la velocidad del satélite vs en su órbita circular obtenemos la ecuación de segundo grado
Conocido rs calculamos el perigeo r. El valor de rs que hace que el objeto resultante caiga a la superficie r=R de la Tierra es rs=7R. Comprobamos que si rs<7R impacta en la superficie de la Tierra r<R. Por ejemplo, para rs=4R, obtenemos que r=4R/7
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra rS=4*R; %satélite vS=sqrt(GM/rS); vX=0; %después del choque vY=vS/2; %trayectoria L=rS*vY; E=(vX^2+vY^2)/2-GM/rS; ex=sqrt(1+2*L^2*E/GM^2); %excentricidad d=L^2/GM; %parámetro d de la elipse a=d/(1-ex^2); %semieje mayor fprintf('La distancia m&icaute;nima es %1.2f y la máxima %1.2f al centro de la Tierra\n',d/(R*(1+ex)), d/(R*(1-ex))) P=2*pi*sqrt((a^3/GM)/(24*3600)); %periodo en d&icaute;as fprintf('excentricidad %1.3f, periodo d&icaute;as %3.1f\n',ex,P) v0=sqrt(vX^2+vY^2); phi=atan2(vY,vX); p=2*GM/(rS*v0^2); r=@(x) (rS/R)./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2)); hold on %la Tierra th=(0:360)*pi/180; fill(cos(th),sin(th),'k') fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi]) %punto de lanzamiento plot(rS/R,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k') %vector velocidad inicial, en unidades de la velocidad vS por dos quiver(rS/R,0, 2*v0*cos(phi)/vS, 2*v0*sin(phi)/vS, 'color','k') %eje mayor de la elipse th_0=-acos((d/rS-r0)/(r0*ex)); x1=r(th_0)*cos(th_0); y1=r(th_0)*sin(th_0); x2=r(th_0+pi)*cos(th_0+pi); y2=r(th_0+pi)*sin(th_0+pi); line([x1,x2],[y1,y2]) hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') grid on title('Choque de un satélite con un proyectil')
El objeto resultante después del choque entre el proyectil y el satélite cae a la superficie de la Tierra, su perigeo es menor que el radio de la Tierra
La distancia mínima es 0.57 y la máxima 4.00 al centro de la Tierra
Actividades
Se introduce
- El radio de la órbita circular del satélite en unidades del radio de la Tierra R, en el control titulado Radio órbita
- La velocidad de disparo del proyectil desde la superficie de la Tierra, v0, en unidades de la velocidad de escape ve, en el control titulado Velocidad disparo
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento del satélite en órbita circular de radio rs y el proyectil disparado desde la superficie de la Tierra con velocidad v0.
Puede ocurrir que la velocidad de disparo no sea suficiente para que el proyectil llegue a la órbita del satélite. El proyectil regresa a la superficie de la Tierra
Si la velocidad de disparo es suficiente. El proyectil choca con el satélite y se observa la trayectoria del objeto resultante. Si el perigeo es menor que el radio de la Tierra, el objeto se detiene cuando impacta en su superficie, el satélite ha sido derribado por el proyectil
Para que el proyectil llegue con velocidad nula a la órbita del satélite es preciso calcular la velocidad de disparo v0 aplicando la conservación de la energía y después, introducirla en el control titulado Velocidad disparo en unidades de la velocidad de escape
Por ejemplo, si rs=6·R, entonces v0/ve=0.913, para que el proyectil llegue justo a la órbita del satélite y se pegue a éste.
El programa interactivo nos permite jugar a derribar un satélite artificial que describe una órbita circular mediante un proyectil disparado desde la superficie de la Tierra en dirección radial
Ejercicio
Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio rs alrededor de un planeta de masa M y radio R. Un asteroide de la misma masa m, se mueve radialmente partiendo del reposo a grandes distancias del planeta. El satélite y el asteroide chocan inelásticamente y quedan pegados uno al otro.
Después del choque el cuerpo resultante describe una órbita elíptica cuyo mínima distancia al centro del planeta es R, vuela rozando la superficie del planeta. Determinar el radio rs de la órbita del satélite.
Antes del choque
Después del choque
a lo largo de la dirección radial
a lo largo de la dirección tangencial
El satélite describe una órbita circular. De la dinámica del movimiento circular uniforme
El asteroide parte del infinito con velocidad nula, moviéndose radialmente hacia el planeta. La velocidad del asteroide cuando llega a la órbita del satélite, aplicando la conservación de la energía, es
Después del choque inelástico, la velocidad del cuerpo resultante de masa 2m tiene dos componentes, en la dirección radial vr y en la dirección tangencial vt
En el momento del choque se conserva el momento lineal
El momento angular y la energía del cuerpo resultante son
determinan la trayectoria elíptica del cuerpo de masa 2m alrededor del planeta.
Trayectoria elíptica
La distancia de máximo acercamiento al planeta es R. La energía y el momento angular en esta posición es
En este sistema de dos ecuaciones despejamos rs y vR. La incógnita que nos interesa rs, se despeja de la ecuación de segundo grado
La raíz válida es la positiva, rs=7.317R. La otra se encuentra en el interior del planeta
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
Con el dato de rs, la energía E y el momento angular L
La posición de máximo acercamiento es
La posición más alejada es

Para representar la trayectoria elíptica girada utilizamos la ecuación
Donde r0=rs, el ángulo φ y el parámetro p valen
r0=4+sqrt(11); %posición inicial phi=pi-atan(1/sqrt(2)); %ángulo de tiro p=8/3; %parámetro adimensional hold on th=(0:360)*pi/180; x1=cos(th); y1=sin(th); fill(x1,y1,'b') rs=4+sqrt(11); fplot(@(x) rs*cos(x),@(x) rs*sin(x),[0,2*pi]) r=@(x) r0./(-cos(phi)*sin(x)/sin(phi)+cos(x)+p*(1-cos(x))/(2*sin(phi)^2)); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi]) %punto de lanzamiento plot(r0,0,'ko', 'markersize',4,'markerfacecolor','k') %vector velocidad inicial, en unidades de vs por dos quiver(r0,0, 2*sqrt(2/p)*cos(phi), 2*sqrt(2/p)*sin(phi), 'color','k') hold off xlabel('x') ylabel('y') grid on title('Trayectoria elíptica')
La flecha de color negro señala la dirección de la velocidad en el punto de impacto
Referencias
Philip R Blanco, Carl E Mungan. Satellite splat: an inelastic collision with a surface-launched projectile. Eur. J. Phys. 36 (2015) 045004.
Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Publications/EJP17.pdf
Physics Challenge for Teachers and Students. Hit and miss. Phys. Teach. 53, January 2015. pp. 59