Desviación hacia el este de un cuerpo que cae

Supongamos un planeta de masa M y radio R, que tiene un movimiento de rotación con velocidad angular ω . Un observador situado en la superficie del planeta ve como cae un cuerpo de masa m desde una altura h por encima del observador.
Para un observador inercial no ligado al movimiento de rotación del planeta, el cuerpo se lanza desde una distancia r=R+h del centro del planeta con una velocidad inicial v1=ω ·r.
Desde el punto de vista de este observador, el cuerpo se mueve bajo la única influencia de la fuerza de atracción del planeta. Describirá por tanto, una órbita elíptica en uno de cuyos focos estará el centro del planeta. Los pasos de la presente discusión serán los siguientes:
- Cálculo de la trayectoria elíptica del cuerpo
- Intersección de la trayectoria con la superficie del planeta
- Tiempo que tarda en chocar con la superficie
- Determinación de su desviación respecto de la dirección radial por el observador no inercial o en rotación con el planeta.
Ecuación de la trayectoria elíptica
La ecuación de una elipse en coordenadas polares es
Los valores del parámetro d y de la excentricidad ε se calculan a partir de la energía E y del momento angular L de la partícula
Ejemplo: Consideremos el planeta Tierra con los siguientes datos
- Masa M=5.98·1024 kg
- Radio R=6.378·106 m
- Velocidad angular de rotación ω =2π /(24·60·60) rad/s
- Constante de la gravitación G=6.67·10-11 Nm2/kg2
Supongamos que el cuerpo se deja caer desde una altura h=0.1·R=637.8 km o bien, desde una distancia r1=7.02·106 m,
- Su velocidad es v1=ω ·r1=510.2 m/s.
- Su momento angular vale L=3.58·109· m kgm2/s.
- Su energía total será E=-5.67·107·m J
Los parámetros d y ε de la trayectoria se obtienen mediante las fórmulas
Conocidos los parámetros d y ε de la ecuación de la trayectoria, se obtiene r2 y r1
Cuando θ=0º, r2=16098 m
Cuando θ=180º, r1=7.02·106 m
Fuerza central y conservativa
No es necesario utilizar estas dos fórmulas para calcular la ecuación de la trayectoria, existe otro camino alternativo
Conocido r1 y v1 se calcula r2 y v2 aplicando la constancia del momento angular y de la energía
Como en la ecuación de la trayectoria, el valor de r1 se obtiene para θ =180°,
y el valor de r2 se obtiene para θ =0°,
De estas dos ecuaciones despejamos d y ε .
Intersección con la superficie del planeta

Calculamos la intersección de una elipse y una circunferencia de radio R.
Poniendo en la ecuación de la trayectoria r=R, despejamos el ángulo θ
Con los datos anteriores cos θi=-0.9995, lo que da un ángulo de intersección de θi =178.3º.
Tiempo que tarda en chocar con la superficie
Para calcular el tiempo que tarda el cuerpo desde que se deja caer hasta que choca con la superficie del planeta en el punto P, emplearemos la ley de las áreas.
En coordenadas polares el momento angular se expresa
Como hemos visto el área barrida por el radio vector entre el instante t y el instante t+dt es un triángulo diferencial de área r2·dθ /2.
El área barrida por el radio vector en el tiempo t es
Si calculamos el área A sombreada en color azul claro, obtenemos el tiempo t.
El área A sombreada es la suma del área de un triángulo y el área de la porción de elipse de la figura.
El área del triángulo es
El área de la porción de elipse A2 se puede calcular sumando las áreas de los elementos infinitesimales ydx comprendidos entre x1=a y x2= R·cos(π -θi)+c. Donde a es el semieje mayor de la elipse a=(r1+r2)/2, y c es la semidistancia focal c=ε ·a.
La ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares es
como x1=-a, la expresión se reduce a
con x2= R·cos(π -θi)+ε a
Si x2=+a obtenemos la mitad del área de la elipse πab/2
Ejemplo:
Siguiendo con los datos anteriores tenemos que
- El semieje mayor de la elipse a=(r1+r2)/2, vale a=3.52·106 m
- La semidistancia focal c=ε ·a, vale c=3.50·106 m
- El semieje menor , vale b=3.36·105 m
- El área A1=6.17·1011 m2
- El área A2=8.43·1010 m2
- El área total es A=7.0·1011 m2
Solamente nos queda despejar el tiempo de la ecuación
, por lo que t=391.6 s
R=6.378e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r1=R+0.1*R; %distancia al centro de la Tierra v1=(2*pi)*r1/(24*60*60); %velocidad L=r1*v1; %momento angular d=L^2/(G*M); E=v1^2/2-G*M/r1; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); area1=R^2*sin(2*(pi-angulo))/4; x2=-R*cos(pi-angulo)+ex*a; area2=a*b*(pi/2+asin(x2/a)+x2*sqrt(1-(x2/a)^2)/a)/2; fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',2*(area1+area2)/L)
El tiempo de vuelo (s) es 391.6Tiempo de vuelo empleando la ecuación de Kepler
- Se calcula el tiempo t0 para posición angular θi
- Se calcula el tiempo t1 para posición π
R=6.378e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r1=R+0.1*R; %distancia al centro de la Tierra v1=(2*pi)*r1/(24*60*60); %velocidad L=r1*v1; %momento angular d=L^2/(G*M); E=v1^2/2-G*M/r1; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); th=angulo; %posición inicial c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t0=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); th=pi; %posición final c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t1=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',(t1-t0))
El tiempo de vuelo (s) es 391.6
Determinación de su desviación respecto de la dirección radial por el observador no inercial, o en rotación con el planeta.

El cuerpo después de un tiempo t choca con la superficie del planeta en P. La posición angular del punto P es π-θi. Mientras tanto el observador se ha desplazado al punto O cuya posición angular es ω·t.
La distancia a lo largo de la superficie del planeta entre O y P es la longitud del arco
s=R·(π-θi-ω·t)
Con los datos que disponemos s=11837 m
Comparación con la desviación obtenida aplicando la fórmula de la aceleración de Coriolis
Vamos a comparar la desviación hacia el este de un cuerpo que se deja caer desde una altura h en el Ecuador mediante el procedimiento explicado en esta página, con la desviación obtenida aplicando la fórmula de la aceleración de Coriolis.
La fuerza de atracción es central y conservativa. La trayectoria que sigue el cuerpo en su caída es elíptica
- El semieje mayor de la elipse vale a=(r1+r2)/2=3.35·106 m
- La semidistancia focal c=r1-a=3.09·106 m
- La excentricidad ε =c/a=0.996
- El semieje menor =2.71·105 m
Caída de un cuerpo descrita por un observador en rotación (no inercial).
Sea h=0.01·R=63780 m. cerca de la superficie de la Tierra
Los datos iniciales necesarios para determinar la trayectoria elíptica son:
r1=R+h=6.44·106 m
v1=ω ·r1=468.5 m/s
De la constancia del momento angular y de la energía obtenemos r2 y v2. Solamente nos interesa r2=11436 m.
El parámetro d=a(1- e2)=22831.2 m
El ángulo θi=179.52º
El área total A=A1+ A2=1.715·1011+2.30·109=1.74·1011
El tiempo t que tarda en llegar el móvil a la superficie de la Tierra t=2A/(r1·v1)=115.21 s
La desviación del cuerpo respecto del observador en la superficie terrestre.
s=R·(π-θ i-ω·t)=355.43 m
Tiempo que tarda en llegar a la superficie de la Tierra cayendo desde una altura de h=63780 m.
Con h=gt2/2, tomando g=9.8, se obtiene t=114.1 s
Aplicando la fórmula de la desviación para la latitud λ =0º.
Obtenemos un valor muy parecido, a pesar de que g es más pequeño que 9.8 debido a la aceleración centrífuga y a que disminuye con la altura.
Cálculo con MATLAB
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G w=2*pi/(24*3600); %velocidad angular de rotación r1=(1+0.01)*R; %un cuerpo se deja caer desde una altura de 0.01*R v1=w*r1; L=v1*r1; %momento angular E=v1^2/2-G*M/r1; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad d=L^2/(G*M); a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor angulo=acos((d-R)/(R*ex)); area1=R^2*sin(2*(pi-angulo))/4; x2=-R*cos(pi-angulo)+ex*a; area2=a*b*(pi/2+asin(x2/a)+x2*sqrt(1-(x2/a)^2)/a)/2; t=2*(area1+area2)/L; %tiempo alcance=R*(pi-angulo-w*t); %alcance fprintf('Alcance (m) es %3.1f y tiempo (s) de vuelo %4.1f\n' ,alcance, t)
Alcance (m) es 354.3 y tiempo (s) de vuelo 115.0
Actividades
- Se elige un planeta en el control titulado Planeta entre los siguientes:
- Se introduce la altura sobre la superficie del planeta, una fracción del radio del mismo, en el control titulado Altura
Planeta | Periodo de rotación (horas) | Radio ecuatorial (km) | Masa × 5.98 1024 kg |
---|---|---|---|
Mercurio | 1406.4 | 2 439 | 0.06 |
Venus | 5 832 | 6 051 | 0.82 |
Tierra | 24.0 | 6 378 | 1.00 |
Marte | 24.6 | 3 394 | 0.11 |
Júpiter | 9.9 | 71 398 | 318 |
Saturno | 10.2 | 60 000 | 95.1 |
Urano | 10.8 | 25 400 | 14.6 |
Neptuno | 15.8 | 24 750 | 17.2 |
Plutón | 153.6 | 1 400 | 0.002 |
Fuente: M. Márov. Planetas del Sistema Solar. Editorial Mir
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El objeto que está a una altura h por encima del observador no inercial situado en la superficie del planeta, empieza a caer. Su trayectoria para un observador inercial es una porción de una elipse, al mismo tiempo que el objeto cae el observador no inercial describe un movimiento circular. El observador inercial mide el desplazamiento de ambos durante el tiempo de caída del cuerpo.
El observador no inercial situado en la superficie del planeta mide el desplazamiento relativo del cuerpo, la longitud del arco de circunferencia entre la posición que ocupa el observador (un punto de color rojo) y el punto de impacto del cuerpo sobre la superficie del planeta.
La desviación hacia el este del cuerpo que cae es pequeña para los planetas con velocidad de rotación muy baja como Venus y es muy acusada, para planetas con elevada velocidad angular de rotación como Júpiter.