Trayectoria de un proyectil disparado desde la superficie de la Tierra

El momento angular y la energía de un proyectil de masa m lanzado desde una distancia R del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo 90-φ con la dirección radial es

L=mR v 0 cosφ E= 1 2 m v 0 2 GMm R

que se mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria.

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es

r= d 1+εcosθ ε= 1+ 2 L 2 E G 2 M 2 m 3 d= L 2 GM m 2

La ecuación de la trayectoria es independiente de la masa m del proyectil.

Si la energía del proyectil es negativa E<0 la trayectoria es una elipse. La velocidad de disparo v0 debe ser menor que la velocidad de escape ve

1 2 m v e 2 G Mm R =0 v e = 2GM R =11190.7m/s

Conocido d y ε, se calcula

En coordenadas polares, el proyectil sale de la posición R, θ0, y llega a la posición R, -θ0, donde

R= d 1+εcos θ 0 cos θ 0 = dR Rε

El alcance del proyectil, es la medida del arco a lo largo de la superficie de la Tierra entre la posición de disparo y la de impacto 2·R·(π-θ0)

La distancia máxima al centro de la Tierra se calcula en la ecuación de la elipse en coordenadas polares con θ=π.

r máx = d 1ε  

La altura máxima sobre la superficie de la Tierra es hmáx=rmáx-R

Tiempo de vuelo

Para calcular el tiempo de vuelo, vamos a utilizar el mismo procedimiento que empleamos para deducir la fórmula del periodo de un planeta, a partir de la ley de las áreas.

El momento angular en coordenadas polares se escribe

L=m r 2 dθ dt

Integrando

θ 0 π 1 2 r 2 dθ = 0 t L 2m dt

El primer miembro, es el área barrida por el radio vector cuando el proyectil se mueve desde la posición angular θ=θ0, a la posición θ=π. El tiempo de vuelo t se obtiene.

t=2 2m·Area L

El área sombreada es el área de la porción de elipse comprendida entre x y a más el área del triángulo de base R·cos(π-θ0) y altura R·sin(π-θ0), siendo x=-c+R·cos(π-θ0)

Sabiendo que la ecuación de la elipse es

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1  

donde a es el semieje mayor de la elipse, b el semieje menor, y c la semidistancia focal.

El área de la porción de elipse comprendida entre x y a es

x a b 1 x 2 a 2 dx = z 1 z 2 ab cos 2 z·dz = ab 2 [ z+ 1 2 sin2z ] z 1 z 2 = ab 2 ( π 2 z 1 1 2 sin2 z 1 )

Para integrar, se ha hecho el cambio de variable x=a·sin z. Los nuevos límites de integración son:

El área sombreada vale, por tanto

Area= ab 2 ( π 2 z 1 1 2 sin2 z 1 ) R 2 sin2 θ 0 4

Caso particular:

El ángulo de disparo es φ=90º.

El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil asciende y desciende cayendo hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.

La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r.

E= 1 2 m v 0 2 GMm R = GMm r

No podemos calcular de forma simple el tiempo que tarda el proyectil en volver a la superficie de la Tierra ya que la aceleración no es constante.

Ejemplos

1.-Disparamos un proyectil desde algún lugar de la superficie de la Tierra con velocidad inicial v0= 7500 m/s a lo largo de la dirección radial

Los datos del problema son los siguientes:

La máxima distancia al centro de la Tierra que alcanza el proyectil es r=11.56·106 m=1.815 radios terrestres

La altura máxima es h=r-R=5.20·106 m

2.-Disparamos un proyectil desde algún lugar de la superficie de la Tierra con velocidad inicial v0= 7500 m/s en la dirección que hace φ=60º con el plano local

La energía del proyectil y el momento angular valen

L=6.37·106·7500·cos60º=2.39 ·1010 m kgm2/s

E= 1 2 m 7500 2 6.67· 10 11 ·5.98· 10 24 m 6.37· 10 6 =34.49· 10 6 ·mJ

Trayectoria

Conocidos los valores de la energía E y del momento angular L, calculamos el valor del parámetros geométricos de la elipse: d y la excentricidad ε

ε=0.867
d
=1.43·106 m

Con estos datos calculamos el ángulo θ0.

 cos θ 0 = 1.43· 10 6 6.37· 10 6 6.37· 10 6 ·0.867 θ 0 =153.4º

El alcance del proyectil es 2·R·(π-θ0)= 2·6.37·106·(π-2.68)=5.92·106 m

Tiempo de vuelo

Para calcular el tiempo de vuelo tenemos que calcular primero el área barrida por el radio vector desde la posición angular θ=θ0, a la posición θ=π sombreada de elipse y multiplicarla por dos

En primer lugar, necesitamos los valores de los parámetros de la elipse:

a·sinz1=-c-R·cosθ0        z1=6.73º=0.117 rad

Area= ab 2 ( π 2 z 1 1 2 sin2 z 1 ) R 2 sin2 θ 0 4

Area=1.925·1013

El tiempo de vuelo es

t=2 2m·Area L =3223.1s

R=6.37e6; %radio de la Tierra
M=5.98e24; %masa de la Tierra
G=6.67e-11; %constante G

v0=7500;
ang=pi/3;
L=R*v0*cos(ang); %momento angular
E=v0^2/2-G*M/R; %energía
ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad
d=L^2/(G*M);
angulo=acos((d-R)/(R*ex));
alcance=2*R*(pi-angulo); %alcance
fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',alcance/1000)

a=d/(1-ex^2);  %semieje mayor de la elipse
b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor
z1=asin((-ex*a-R*cos(angulo))/a);
area=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-R^2*sin(2*angulo)/4;
P=4*area/L; %tiempo de vuelo
fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',P/60)
Alcance (km) es 5923.7
El tiempo de vuelo (min) es 53.7

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la trayectoria seguida por el proyectil. En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de la distancia al centro de la Tierra medido en radios terrestres, el tiempo en segundos y el alcance del proyectil (medida del arco entre el punto de lanzamiento y de impacto, en km)