Trayectoria de un proyectil disparado desde la superficie de la Tierra

Supondremos que la Tierra está estacionaria en el espacio
El momento angular y la energía de un proyectil de masa m lanzado desde una distancia R del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo 90-φ con la dirección radial es
que se mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria.
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
La ecuación de la trayectoria es independiente de la masa m del proyectil.
Si la energía del proyectil es negativa E<0 la trayectoria es una elipse. La velocidad de disparo v0 debe ser menor que la velocidad de escape ve

Conocidos d y ε, se calculan
- El semieje mayor a, que es la media aritmética de los radios mínimo (θ=0) y máximo (θ=π) de la elipse.
-
La semidistancia focal c=ε·a
-
El semieje menor b de la elipse
En coordenadas polares, el proyectil sale de la posición R, θ0, y llega a la posición R, -θ0, donde
El alcance del proyectil, es la medida del arco a lo largo de la superficie de la Tierra entre la posición de disparo y la de impacto 2·R·(π-θ0)
La distancia máxima al centro de la Tierra se calcula en la ecuación de la elipse en coordenadas polares con θ=π.
La altura máxima sobre la superficie de la Tierra es hm=rm-R
Alternativamente, calculamos la distancia máxima rm y la velocidad vm a partir de la constancia del momento angular y de la energía
Alcance máximo
El alcance es el arco s=2R(π-θ0) que va de la posición de disparo hasta el impacto.
Para simplificar las expresiones denominamos
Como la velocidad de disparo v0 tiene que ser menor que la de escape ve, por lo que k<2
Las expresiones del parámetro d, excentricidad ε, son
La expresión del arco s es
Utilizamos MATLAB para calcular el máximo de la función
>> syms k x; >> y=acos((1-k*x^2)/sqrt(1+(k^2-2*k)*x^2)); >> solve(diff(y,x)) ans = 1/(2 - k)^(1/2) -1/(2 - k)^(1/2)
El alcance máximo se produce para el ángulo φm
Para valores de k>1 no hay alcance máximo,
Representamos s/(2R) para varios valores de k
hold on for k=[0.2,0.5,0.9] s=@(x) (acos((1-k*cos(x).^2)./sqrt(1+k*(k-2)*cos(x).^2))); fplot(s,[0,pi/2], 'displayName',num2str(k)) end hold off legend('-DynamicLegend','location','northeast') grid on xlabel('\phi') ylabel('s') title('Alcance')
Por ejemplo, para k=0.5, o una velocidad de disparo,v0=5595 m/s, el ángulo para el cual se produce el alcance máximo es φm=0.62 rad (35.3°) como vemos en la gráfica (curva de color rojo). Calculamos este alcance sm= 4329.5 km
Tiempo de vuelo
Tenemos dos formas de calcular el tiempo de vuelo
- Aplicando la constancia del momento angular, tal como se dedujo el periodo P de un planeta
- La ecuación de Kepler. Dada la posición angular θ del cuerpo celeste determinamos el tiempo t
El momento angular en coordenadas polares se escribe
Integrando
El primer miembro, es el área barrida por el radio vector cuando el proyectil se mueve desde la posición angular θ=θ0, a la posición θ=π. El tiempo de vuelo t se obtiene.
El área sombreada es el área de la porción de elipse comprendida entre x y a más el área del triángulo de base R·cos(π-θ0) y altura R·sin(π-θ0), siendo x=-c+R·cos(π-θ0)
Sabiendo que la ecuación de la elipse es
donde a es el semieje mayor de la elipse, b el semieje menor, y c la semidistancia focal.
El área de la porción de elipse comprendida entre x y a es
Para integrar, se ha hecho el cambio de variable x=a·sin z. Los nuevos límites de integración son:
- cuando x=a, z2=π/2,
- cuando -c-R·cosθ0=a·sinz1
El área sombreada vale, por tanto
Caso particular
El ángulo de disparo es φ=90º.
El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil asciende y desciende cayendo hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.
La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r.
En la página titulada Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua, calculamos el tiempo que tarda el proyectil en volver a la superficie de la Tierra .
Aplicando la ecuación de Kepler
La ecuación de Kepler nos permite calcular la posición de un cuerpo celeste en un instante dado, o bien, el instante t en que el cuerpo celeste se encuentra en una determinada posición θ. En la página titulada El problema de Kepler se proporcionan ejemplos de ambos.
Calculamos el instante t0 cuando se dispara el proyectil desde la posición θ=θ0. Después calculamos el instante t1 cuando el proyectil impacta en la superficie de la Tierra, en la posición θ=2π-θ0. El procedimiento de cálculo requiere repetir dos veces los pasos:
Dada la posición angular θ, determinamos el ángulo E mediante las relaciones
Sustituyendo en la ecuación de Kepler, obtenemos Me
Conocido Me obtenemos el tiempo
Donde P es el periodo
Una vez que se ha calculado t0 y t1. El tiempo de vuelo es la diferencia, T=t1-t0
Más adelante, en Ejemplos codificaremos este procedimiento para calcular el tiempo de vuelo
Solución analítica
Vamos a intentar encontrar una expresión analítica del tiempo de vuelo T en función del parámetro k y del ángulo de disparo φ
Dada la posición angular θ, determinamos el ángulo E mediante las relaciones siguientes:
La posición de disparo es θ=θ0. Conocemos la expresión de cosθ0 y la excentricidad ε en función del parámetro k y el ángulo de disparo φ
Dado que
Operando y simplificando llegamos a la expresión de sinE0 y cosE0
-
Cuando k>1, el seno y el coseno son positivos (primer cuadrante). E0=α
-
Cuando k≤1, el seno es positivo y el coseno negativo (segundo cuadrante) E0=π-α
El instante t0 es
La posición del punto de impacto es θ=2π-θ0. Los cosenos son iguales y del mismo signo, cos(θ0)=cos(2π-θ0), los senos son de signo contrario sin(θ0)=-sin(2π-θ0) por lo que, sinE1=-sinE0 y cosE1=cosE0
-
Cuando k>1, el seno es negativo y el coseno es positivo (cuarto cuadrante). E1=2π-α
-
Cuando k≤1, el seno es negativo y el coseno es negativo (tercer cuadrante). E1=π+α
El instante t1 de impacto es
La diferencia t1-t0 es el tiempo de vuelo
Ejemplo
Disparamos un proyectil desde algún lugar de la superficie de la Tierra con velocidad inicial v0= 7500 m/s en la dirección que hace φ=60º con el plano local
La energía del proyectil y el momento angular valen
L=6.37·106·7500·cos60º=2.39 ·1010 m kgm2/s
Trayectoria
Conocidos los valores de la energía E y del momento angular L, calculamos el valor del parámetros geométricos de la elipse: d y la excentricidad ε
ε=0.867
d=1.43·106 m
Con estos datos calculamos el ángulo θ0.
El alcance del proyectil es 2·R·(π-θ0)= 2·6.37·106·(π-2.68)=5.92·106 m
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G v0=7500; %velocidad de disparo ang=pi/3; %ángulo de tiro k=R*v0^2/(G*M); alcance=2*R*acos((1-k*cos(ang)^2)/sqrt(1+k*(k-2)*cos(ang)^2)); %alcance fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',alcance/1000)
Alcance (km) es 5923.7
Calculamos la distancia máxima rm y la velocidad vm aplicando la constancia del momento angular y de la energía
El resultado es vm=2212 m/s, y rm=10.80·106 m
Esta distancia se calcula también a partir de la ecuación de la trayectoria para θ=π, rm=d/(1-ε)=1.43·106/(1-0.867)
Tiempo de vuelo aplicando la constancia del momento angular
Para calcular el tiempo de vuelo tenemos que calcular primero el área barrida por el radio vector desde la posición angular θ=θ0, a la posición θ=π sombreada de elipse y multiplicarla por dos
En primer lugar, necesitamos los valores de los parámetros de la elipse:
- semieje mayor a=5.78·106 m
- semieje menor b=2.88·106 m
a·sinz1=-c-R·cosθ0 z1=6.73º=0.117 rad
Area=1.925·1013
El tiempo de vuelo es
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G v0=7500; %velocidad de disparo ang=pi/3; %ángulo de tiro L=R*v0*cos(ang); %momento angular E=v0^2/2-G*M/R; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad d=L^2/(G*M); angulo=acos((d-R)/(R*ex)); alcance=2*R*(pi-angulo); %alcance fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',alcance/1000) a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor z1=asin((-ex*a-R*cos(angulo))/a); area=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-R^2*sin(2*angulo)/4; P=4*area/L; %tiempo de vuelo fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',P/60)
Alcance (km) es 5923.7 El tiempo de vuelo (min) es 53.7
Tiempo de vuelo aplicando la ecuación de Kepler
Conocidos los valores de la energía E y del momento angular L, calculamos el valor del parámetros geométricos de la elipse: d y la excentricidad ε
Con estos datos calculamos el ángulo θ0, tal como se ha hecho en el apartado anterior
Conocido el semieje mayor a de la elipse, calculamos el periodo P del proyectil
Dada la posición angular θ, determinamos el ángulo E mediante las relaciones
Dependiendo del signo del seno y del coseno, se determina el cuadrante y se calcula el ángulo E. Sustituyendo en la ecuación de Kepler, obtenemos el tiempo t
Dada la posición angular θ1=2π-θ0 final, determinamos el instante t1 aplicando las mismas relaciones
Creamos un script para calcular el tiempo de vuelo, T=t1-t0
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G v0=7500; %velocidad de disparo ang=pi/3; %ángulo de tiro %tiempo de vuelo L=R*v0*cos(ang); %momento angular d=L^2/(G*M); E=v0^2/2-G*M/R; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); th=angulo; %posición inicial c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t0=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); th=2*pi-angulo; %impacto en la superficie de la Tierra c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t1=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',(t1-t0)/60)
El tiempo de vuelo (min) es 53.7
Calculamos de forma alternativa, mediante la expresión analítica, el alcance y el tiempo de vuelo y dibujamos la trayectoria
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G v0=7500; %velocidad de disparo phi=pi/3; %ángulo de tiro k=R*v0^2/(G*M); alcance=2*R*acos((1-k*cos(phi)^2)/sqrt(1+k*(k-2)*cos(phi)^2)); %alcance %tiempo de vuelo alpha=asin(sqrt(k*(2-k))*sin(phi)/sqrt(1-k*(2-k)*cos(phi)^2)); if k<=1 T=2*(alpha+sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); else T=2*(pi-alpha+sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); end fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',alcance/1000) fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',T/60) %trayectoria d=k*cos(phi)^2; ex=sqrt(1-k*(2-k)*cos(phi)^2); th_0=acos((d-1)/ex); hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (cos(th_0),sin(th_0),'o','markersize',4,'markeredgecolor','r', 'markerfacecolor','r') plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') r=@(x) d./(1+ex*cos(x)); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi],'lineStyle','--','color','b') fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[th_0,2*pi-th_0]) fplot(@(x) cos(x),@(x)sin(x),[th_0,2*pi-th_0], 'lineWidth',1.5,'color','r') hold off axis equal axis off
El punto de color rojo, es la posición de disparo, el arco de color rojo es el alcance. La trayectoria del proyectil es el arco de elipse cuyo foco está en el centro de la Tierra
Alcance (km) es 5923.7 El tiempo de vuelo (min) es 53.7
Velocidad de disparo mínima

Dos localidades A y B distan un arco de longitud s=Rθ, o un ángulo θ. Vamos a encontrar la velocidad mínima de disparo v0 de un proyectil en A para que impacte en B
Como apreciamos en la figura, θ=2(π-θ0)
El proyectil sale de la posición R, θ0, y llega a la posición R, -θ0, donde
Para simplificar las expresiones denominamos
Las expresiones del parámetro d, excentricidad ε, (véase el principio de la página) son
Elevamos la excentricidad ε al cuadrado y despejamos k
Para que v0 sea mínima o k sea mínima, derivamos respecto de la excentricidad ε e igualamos a cero
La otra solución, ε=(1+sin(θ/2))/cos(θ/2), implica que la excentricidad ε>1, la trayectoria, por tanto, no es elíptica
Sustituimos ε en la expresión de k
La velocidad de disparo mínima es
La distancia angular entre dos ciudades A y B es θ=120°, determinar la velocidad de disparo v0 mínima en A para que impacte en B
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.97e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G th=115.05*pi/180; %distancia angular v0=sqrt(2*G*M*sin(th/2)/(R*(1+sin(th/2)))); disp(v0)
La velocidad mínima es v0=7 617 m/s
7.6173e+03
Ejemplo
En este ejemplo, calcularemos la velocidad mínima con la que hemos de disparar un proyectil desde el polo Norte para que llegue al Ecuador, la distancia angular es θ=π/2
Para el valor mínimo de la velocidad de disparo v0, la excentricidad vale
Para este valor de ε,
La velocidad de disparo es v0=7 202 m/s, el ángulo de tiro, φ=22.5°. El alcance es un cuarto de la circunferencia de la Tierra 2πR/4=10 006 km
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G k=2*sqrt(2)-2; phi=acos(sqrt(sqrt(2)/(sqrt(2)-1))/2); % v0=sqrt(k*G*M/R); %velocidad de disparo %trayectoria d=k*cos(phi)^2; ex=sqrt(2)-1; th_0=pi-pi/4; alcance=2*R*acos((1-k*cos(phi)^2)/sqrt(1+k*(k-2)*cos(phi)^2)); %alcance %tiempo de vuelo alpha=asin(sqrt(k*(2-k))*sin(phi)/sqrt(1-k*(2-k)*cos(phi)^2)); if k<=1 T=2*(alpha+sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); else T=2*(pi-alpha+sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); end fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',alcance/1000) fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',T/60) hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (-1,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') plot (0,1,'o','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') r=@(x) d./(1+ex*cos(x+pi/4)); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi], 'lineStyle','--','color','b') fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[th_0-pi/4,2*pi-th_0-pi/4]) hold off axis equal axis off
Alcance (km) es 10006.0 El tiempo de vuelo (min) es 32.2
Hemos girado la elipse π/4, para que la posición de disparo coincida con el polo Norte y la de impacto con el Ecuador
Actividades
Se introduce
- La velocidad de disparo v0 menor que la velocidad de escape ve=11191 m/s, en el control titulado Velocidad.
- El ángulo de tiro φ, con la horizontal local, en el control titulado Ángulo.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la trayectoria seguida por el proyectil. En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de la distancia al centro de la Tierra medido en radios terrestres, el tiempo en segundos y el alcance del proyectil (medida del arco entre el punto de lanzamiento y de impacto, en km)
Se tiene en cuenta la rotación de la Tierra

La Tierra gira alrededor de su eje, con velocidad angular constante ω=2π/(24·60·60)=7.27·10-5 rad/s. La velocidad de un punto situado en el ecuador es ωR=463.24 m/s, siendo R el radio de la Tierra. Supongamos que lanzamos un proyectil desde la superficie de la Tierra, en el ecuador, con velocidad V0 haciendo un ángulo β con la horizontal local. La velocidad v0 del proyectil y el ángulo de tiro φ para el observador inercial son:
Mientras el proyectil describe la trayectoria, la Tierra gira, la posición de disparo se desplaza un arco ωt·R. El alcance medido desde la posición de disparo es s-ωT·R, donde s es el alcance calculado para un proyectil que se dispara con velocidad v0, haciendo un ángulo φ, con la horizontal local, suponiendo que la Tierra no gira y T es el tiempo de vuelo del proyectil.
Disparamos un proyectil desde algún lugar del ecuador con velocidad inicial v0= 7500 m/s en la dirección que hace φ=60º con el plano local.
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G w=2*pi/(24*60*60); %velocidad angular de la Tierra V0=7500; %velocidad de disparo, en el plano local beta=60*pi/180; %ángulo de tiro %sistema de referencia inercial v0=sqrt(V0^2+(w*R)^2+2*V0*w*R*cos(beta)); phi=atan2(V0*sin(beta),V0*cos(beta)+w*R); k=R*v0^2/(G*M); alcance=2*R*acos((1-k*cos(phi)^2)/sqrt(1+k*(k-2)*cos(phi)^2)); %tiempo de vuelo alpha=asin(sqrt(k*(2-k))*sin(phi)/sqrt(1-k*(2-k)*cos(phi)^2)); if k<=1 T=2*(alpha+sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); else T=2*(pi-alpha+sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); end fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',(alcance-w*T*R)/1000) fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',T/60) %trayectoria d=k*cos(phi)^2; ex=sqrt(1-k*(2-k)*cos(phi)^2); th_0=acos((d-1)/ex); hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra plot (cos(th_0),sin(th_0),'o','markersize',4,'markeredgecolor','r', 'markerfacecolor','r') plot (cos(th_0+w*T),sin(th_0+w*T),'o','markersize',4,'markeredgecolor', 'b','markerfacecolor','b') plot (0,0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b') r=@(x) d./(1+ex*cos(x)); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi],'lineStyle','--') fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[th_0,2*pi-th_0]) fplot(@(x) cos(x),@(x)sin(x),[th_0+w*T,2*pi-th_0], 'lineWidth',1.5,'color','r') hold off axis equal axis off
El punto de color rojo es la posición de disparo en el instante t=0. El punto de color azul es la posición de disparo en el instante T cuando el proyectil impacta en la superficie de la Tierra. El alcance es el arco de color rojo, la distancia entre la posición de disparo y la de impacto

Cuando el ángulo de tiro es β=90°, el momento angular vale L=m·R·ωR=mωR2. La constancia del momento angular implica que
dado que la distancia entre el proyectil y el centro de la Tierra, r, es mayor que el radio de la Tierra, r>R, entonces, dθ/dt<ω. El punto de impacto se encontrará por detrás de la posición de disparo
En el script hacemos el ángulo de tiro β=90°. En la figura que obtenemos, observamos la posición inicial de disparo, el punto de color rojo, la posición de disparo al cabo de un tiempo T (tiempo de vuelo), el punto de color azul que está por detrás de la posición de impacto
... beta=90*pi/180; %ángulo de tiro ...
Podríamos pensar que hay un ángulo de tiro β<90° para el cual coinciden la posición de disparo con la de impacto. Para ello, tenemos que resolver la ecuación trascendente s-ωT·R con el ángulo φ como incógnita a partir del cual, calculamos el ángulo de disparo β
En el supuesto que el parámetro k<1
>> f=@(phi) acos((1-k*cos(phi)^2)/sqrt(1+k*(k-2)*cos(phi)^2))- w*(asin(sqrt(k*(2-k))*sin(phi)/sqrt(1-k*(2-k)*cos(phi)^2))+ sqrt(k*(2-k))*sin(phi))*sqrt((R/(2-k))^3)/sqrt(G*M); >> ang=fzero(f,pi/2); >> atan(v0*sin(ang)/(v0*cos(ang)-w*R))*180/pi ans = 85.5776 >> k k = 0.9018
Cambiamos el ángulo de tiro a β=85.6°, comprobando que coinciden la posición de disparo con la de impacto,
... beta=85.6*pi/180; %ángulo de tiro ...
Referencias
Francisco G. M. Orlando, C. Farina, Carlos A. D. Zarro. Kepler's equation and some of its pearls. Am. J. Phys. 86 (11) November 2018, pp. 849-858
Physics Challenge for Teachers and Students. One Giant Leap. The Physics Teacher Vol. 50, December 2012, pp. 568
2021 Online Physics Olympiad: Open Contest. pp. 26-27. Problem 25