Choque de un proyectil con un satélite artificial (II)

En vez de disparar en la dirección radial, disparamos en la dirección transversal, tangente a la superficie de la Tierra, de modo que el proyectil sigue una trayectoria elíptica hasta que impacta con el satélite.

Trayectoria del proyectil

Calculamos la energía total y el momento angular en la posición inicial del proyectil

L=mR v 0 E= 1 2 m v 0 2 GMm R

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+εcosθ ε= 1+ 2 L 2 E m 3 G 2 M 2 d= L 2 GM m 2

El apogeo del proyectil se obtiene cuando θ=π.

r P = d 1ε r P = R 2 v 0 2 GM G 2 M 2 R v 0 2 ( 2GM v 0 2 R )

Este resultado se puede obtener aplicando la constancia del momento angular y la energía en todos los puntos de la trayectoria y en particular, en el apogeo rp y en el perigeo R

{ v 0 R= v p r p 1 2 v 0 2 GM R = 1 2 v p 2 GM r p

Supongamos que la trayectoria elíptica del proyectil alcanza la órbita circular del satélite, es decir rp>rs, tal como se muestra en la figura. Calculamos las coordenadas del punto de intersección P

Situamos el origen en el centro de la Tierra y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura. Escribimos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio rs y la ecuación de la elipse centrada en el punto (c,0), de semiejes a y b.

x 2 + y 2 = r s 2 ( xc ) 2 a 2 + y 2 b 2 =1

Relacionamos los semiejes a, b y la semidistancia focal c

2a=R+ r p = d 1+ε + d 1ε = 2d 1 ε 2 c=εa b= a 2 c 2

La abscisa del punto de intersección P es

x p = a r s b 2 c

Duración del vuelo del proyectil

Calculamos el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la órbita del satélite

El momento angular se expresa en coordenadas polares

L=m r 2 dθ dt

Calculamos el área barrida por el radio vector, entre el instante t=0 y el instante tp, cuando el ángulo θ varía de 0 a θp. Siendo θp la posición angular el punto P

0 θ p 1 2 r 2 dθ= L 2m 0 t p dt

El primer miembro es el área sombreada de color gris en la figura, que es la diferencia entre dos áreas: el área de la porción de elipse comprendida entre -a y xp-c y el área del triángulo sombreado de color amarillo

a x p c b 1 x 2 a 2 dx( x p r s 2 x p 2 2 )

Para calcular la primera integral, hacemos el cambio de variable x=a·sin(z)

z 1 z 2 ab cos 2 z·dz( x p r s 2 x p 2 2 )= ab 2 ( z 2 + 1 2 sin( 2 z 2 )+ π 2 ) x p r s 2 x p 2 2

con z1=-π/2 y xp-c=a·sin(z2)

Una vez calculada el área barrida por el radio vector, calculamos el tiempo tp que tarda el proyectil desde que es lanzado en la superficie de la Tierra hasta que se encuentra con el satélite

t P = 1 R v 0 ( ab( z 2 + 1 2 sin( 2 z 2 )+ π 2 ) x p r s 2 x p 2 )

Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la tierra con una velocidad v0=0.95·ve en dirección tangente a la superficie. Comprobamos que el proyectil alcanza la órbita circular del satélite de radio rs=5·R. Calculamos el punto de intersección y el tiempo que tarda el proyectil en alcanzarlo

GM=6.67e-11*5.98e24;
R=6.37e6; %radio de la Tierra
rS=5*R; 
vS=sqrt(GM/rS);
ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape
v0=0.95*ve; %velocidad de disparo del proyectil
d=(R*v0)^2/GM;
epsilon=sqrt(1-R*v0^2*(2*GM-R*v0^2)/GM^2);
phi=0:pi/180:2*pi;
hold on
plot(rS*cos(phi)/R, rS*sin(phi)/R)
%tiempo 
rP=(R*v0)^2/(GM-sqrt(GM^2-R*v0^2*(2*GM-v0^2*R)));
r=@(x) d./(1+epsilon*cos(x));
if rP>rS
    a=(R+rP)/2;
    c=epsilon*a;
    b=sqrt(a^2-c^2);
    xP=(a*rS-b^2)/c; %abscisa del punto de intersección
    z2=asin(xP-c)/a;
    tP=(a*b*(z2+sin(2*z2)/2+pi/2)-xP*sqrt(rS^2-xP^2))/(R*v0);
    fprintf('En %3.1f min, el proyectil choca con el satélite\n',tP/60)
    phi=0:pi/180:2*pi;
    plot(r(phi).*cos(phi)/R, r(phi).*sin(phi)/R, '--') 
    phi=0:pi/180:pi-acos(xP/rS);
    plot(r(phi).*cos(phi)/R, r(phi).*sin(phi)/R) 
else
    plot(r(phi).*cos(phi)/R, r(phi).*sin(phi)/R) 
end

grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Intersección de las órbitas')
hold off
axis equal
En 124.2 min, el proyectil choca con el satélite

Choque del proyectil con el satélite

La velocidad del proyectil tiene dos componentes, una radial vr y otra transversal vθ. La primera se calcula a partir de la energía y la segunda a partir del momento angular

E= 1 2 m ( dr dt ) 2 + L 2 2m r 2 GMm r v r = dr dt L=m r 2 ( dθ dt ) v θ =r dθ dt

Donde E y L son la energía y momento angular calculados en la posición inicial

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, para calcular la velocidad del objeto resultado del choque inelástico

m v r i ^ +m( v s v θ ) j ^ =2m v

Trayectoria del objeto formado por el satélite y el proyectil

La ecuación de la trayectoria es

1 r =Asinθ+Bcosθ+ GM (2m) 2 L 2

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: para θ=0, r=rs, dr/dt=vr/2 y rs·dθ/dt=(vs-vθ)/2

(2m) L dr dt =AcosθBsinθ L=(2m) r 2 ( dθ dt )

Con estos datos, la ecuación de la trayectoria es

L=(2m) r s v s v θ 2 v r r s ( v s v θ ) =A 1 r s =B+ 4GM r s 2 ( v s v θ ) 2 1 r = v r r s ( v s v θ ) sinθ+( 1 r s 4GM r s 2 ( v s v θ ) 2 )cosθ+ 4GM r s 2 ( v s v θ ) 2

Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la tierra con una velocidad v0=0.95·ve en dirección tangente a la superficie. Completamos el script anterior para dibujar la trayectoria del objeto resultado del choque inelástico entre el proyectil y el satélite

GM=6.67e-11*5.98e24;
R=6.37e6; %radio de la Tierra
rS=10*R; 
vS=sqrt(GM/rS);
ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape
v0=0.96*ve; %velocidad de disparo del proyectil
d=(R*v0)^2/GM;
epsilon=sqrt(1-R*v0^2*(2*GM-R*v0^2)/GM^2);
phi=0:pi/180:2*pi;
hold on
plot(rS*cos(phi)/R, rS*sin(phi)/R)
%tiempo 
rP=(R*v0)^2/(GM-sqrt(GM^2-R*v0^2*(2*GM-v0^2*R)));
r=@(x) d./(1+epsilon*cos(x));
if rP>rS
    a=(R+rP)/2;
    c=epsilon*a;
    b=sqrt(a^2-c^2);
    xP=(a*rS-b^2)/c; %abscisa del punto de intersección
    z2=asin(xP-c)/a;
    tP=(a*b*(z2+sin(2*z2)/2+pi/2)-xP*sqrt(rS^2-xP^2))/(R*v0);
    fprintf('El tiempo %3.1f min, de choque con el satélite\n',tP/60)
    phi=(0:pi/180:(pi-acos(xP/rS)));
    plot(r(phi).*cos(phi)/R, r(phi).*sin(phi)/R) 
%choque
    mAngular=R*v0;
    energia=v0^2/2-GM/R;
%componentes de la velocidad del proyectil en el punto de intersección rS
    vR=sqrt(2*energia-mAngular^2/rS^2+2*GM/rS); %componente radial 
    vTh=-mAngular/rS+vS; %componente transversal 
    mAngular=rS*vTh/2;
    r=@(x) -vR*sin(x)/(rS*vTh)+(1/rS-4*GM/(rS^2*vTh^2))*
cos(x)+4*GM/(rS^2*vTh^2);
    phi=(0:pi/180:2*pi);
    plot((1./r(phi)).*cos(phi+pi-acos(xP/rS))/R, (1./r(phi)).*
sin(phi+pi-acos(xP/rS))/R) 
else
    plot(r(phi).*cos(phi)/R, r(phi).*sin(phi)/R) 
end

grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Choque de un proyectil y un satélite')
hold off
axis equal
El tiempo 124.2 min, de choque con el satélite

En color azul, la órbita circular del satélite. En color rojo, la trayectoria elíptica del proyectil hasta que choca con el satélite. En amarillo, la trayectoria del objeto resultado de la colisión inelástica entre el proyectil y el satélite

Caso particular

La situación más importante se produce cuando el apogeo del proyectil coincide con el radio de la órbita del satélite rp=rs, el resultado es una colisión frontal entre los dos objetos

Calculamos la velocidad v0 con el que tendríamos que lanzar el proyectil para que su apogeo sea rs. Aplicamos las propiedades de la fuerza de atracción: central y conservativa

R v 0 = v p r s 1 2 v 0 2 GM R = 1 2 v p 2 GM r s

Despejamos v0 y rp

v 0 = ( 2GM r s +R ) r s R v p = ( 2GM r s +R ) R r s

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, para calcular la velocidad del objeto de masa 2m después del choque inelástico

2mv=m v s m v p v= v s v p 2 = v s 2 ( 1 2R r s +R )= v s 2 δ

Calculamos la energía y el momento angular en la situación inicial, justamente después del choque

E= 1 2 ( 2m ) v s 2 4 δ 2 GM( 2m ) r s L=( 2m ) r s v s 2 δ

Calculamos el parámetro d y la excentricidad ε

d= r s 4 δ 2 ε=1 δ 2 4

La ecuación de la trayectoria es

r= d 1+εcosθ

La distancia del centro de la Tierra al perigeo se obtiene con θ=0

r min = r s δ 2 4 δ 2

Representamos rmin/R en función de rs/R. Vemos que rmin<R hasta rs=17R, aproximadamente

delta=@(y) 1-sqrt(2/(y+1));
f=@(x) (x*delta(x)^2)/(8-delta(x)^2); 
fplot(f,[4,20])
grid on
xlabel('r_s/R')
ylabel('r_m_i_n/R')
title('Perigeo')
ff=@(x) f(x)-1;
fzero(ff,[15,18])

Con la función fzero obtenemos la raiz de la ecuación trascendente

ans =   17.0000

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento del satélite en órbita circular de radio rs y el proyectil disparado desde la superficie de la Tierra con velocidad v0.

Puede ocurrir que la velocidad de disparo no sea suficiente para que el proyectil llegue a la órbita del satélite. El proyectil regresa a la superficie de la Tierra

Si la velocidad de disparo es suficiente. El proyectil choca con el satélite y se observa la trayectoria del objeto resultante. Si el perigeo es menor que el radio de la Tierra, el objeto se detiene cuando impacta en su superficie, el satélite ha sido derribado por el proyectil

Para que el proyectil llegue justamente a la órbita del satélite y choque frontalmente con éste, es preciso calcular la velocidad de disparo v0 aplicando la conservación de la energía y después, introducirla en el control titulado Velocidad disparo en unidades de la velocidad de escape

v 0 v e = r s /R 1+ r s /R

Por ejempo, para rs/R=10, v0/ve=0.9535


Referencias

Philip R Blanco, Carl E Mungan. Satellite splat II: an inelastic collision with a surface-launched projectile and the maximum orbital radius for planetary impact. Eur. J. Phys. 37 (2016) 045004.

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Publications/EJP19.pdf