Choque de un proyectil con un satélite artificial (II)
En vez de disparar en la dirección radial, disparamos en la dirección transversal, tangente a la superficie de la Tierra, de modo que el proyectil sigue una trayectoria elíptica hasta que impacta con el satélite.
Trayectoria del proyectil
Calculamos la energía total y el momento angular en la posición inicial del proyectil
La ecuación de la trayectoria es
El apogeo del proyectil se obtiene cuando θ=π.
Este resultado se puede obtener aplicando la constancia del momento angular y la energía en todos los puntos de la trayectoria y en particular, en el apogeo rp y en el perigeo R

Supongamos que la trayectoria elíptica del proyectil alcanza la órbita circular del satélite, es decir rp>rs, tal como se muestra en la figura. Calculamos las coordenadas del punto de intersección P
Situamos el origen en el centro de la Tierra y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura. Escribimos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio rs y la ecuación de la elipse centrada en el punto (c,0), de semiejes a y b.
Relacionamos los semiejes a, b y la semidistancia focal c
La abscisa del punto de intersección P es
El ángulo del punto de impacto P es
Duración del vuelo del proyectil
Calculamos el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la órbita del satélite

El momento angular se expresa en coordenadas polares
Calculamos el área barrida por el radio vector, entre el instante t=0 y el instante tp, cuando el ángulo θ varía de 0 a θp. Siendo θp la posición angular el punto P
El primer miembro es el área sombreada de color gris en la figura, que es la diferencia entre dos áreas: el área de la porción de elipse comprendida entre -a y xp-c y el área del triángulo sombreado de color amarillo
Para calcular la primera integral, hacemos el cambio de variable x=a·sin(z)
con z1=-π/2 y xp-c=a·sin(z2)
Una vez calculada el área barrida por el radio vector, calculamos el tiempo tp que tarda el proyectil desde que es lanzado en la superficie de la Tierra hasta que se encuentra con el satélite
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la tierra con una velocidad v0=0.95·ve en dirección tangente a la superficie. Comprobamos que el proyectil alcanza la órbita circular del satélite de radio rs=5·R. Calculamos el punto de intersección y el tiempo que tarda el proyectil en alcanzarlo
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra rS=5*R; vS=sqrt(GM/rS); ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=0.95*ve; %velocidad de disparo del proyectil d=(R*v0)^2/GM; epsilon=sqrt(1-R*v0^2*(2*GM-R*v0^2)/GM^2); hold on %la Tierra th=(0:360)*pi/180; fill(cos(th),sin(th),'b') fplot(@(x) rS*cos(x)/R, @(x) rS*sin(x)/R,[0,2*pi]) %tiempo rP=(R*v0)^2/(GM-sqrt(GM^2-R*v0^2*(2*GM-v0^2*R))); r=@(x) d./(1+epsilon*cos(x)); if rP>rS a=(R+rP)/2; c=epsilon*a; b=sqrt(a^2-c^2); xP=(a*rS-b^2)/c; %abscisa del punto de intersección z2=asin(xP-c)/a; tP=(a*b*(z2+sin(2*z2)/2+pi/2)-xP*sqrt(rS^2-xP^2))/(R*v0); fprintf('En %3.1f min, el proyectil choca con el satélite\n',tP/60) fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,2*pi],'lineStyle','--') th=pi-acos(xP/rS); %posición de impacto P fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,th]) plot(r(th)*cos(th)/R,r(th)*sin(th)/R,'ro', 'markersize',4, 'markerfacecolor','r') else fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,2*pi]) end hold off axis equal grid on xlabel('x') ylabel('y') title('Intersección de las órbitas')
En 124.2 min, el proyectil choca con el satélite
Choque del proyectil con el satélite

En la posición de impacto, θp el proyectil dista rs del centro de la Tierra. La velocidad del proyectil tiene dos componentes, una radial vr y otra transversal vθ. La primera se calcula a partir de la energía y la segunda a partir del momento angular
Donde E y L son la energía y momento angular calculados en la posición inicial
Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, para calcular la velocidad del objeto resultado del choque inelástico
Las componentes de la velocidad después del choque son
Trayectoria del objeto formado por el satélite y el proyectil

Para representar la trayectoria de un elipse girada es más conveniente utilizar esta ecuación
p es un parámetro adimensional
La posición inicial del objeto después del choque no es θ=0 como en la figura, sino θ=θp
Disparamos un proyectil de masa m desde la superficie de la Tierra con una velocidad v0=0.95·ve en dirección tangente a la superficie. Representamos la trayectoria del proyectil, del satélite y del objeto resultado del choque inelástico entre el proyectil y el satélite
GM=6.67e-11*5.98e24; R=6.37e6; %radio de la Tierra rS=10*R; vS=sqrt(GM/rS); ve=sqrt(2*GM/R); %velocidad de escape v0=0.96*ve; %velocidad de disparo del proyectil d=(R*v0)^2/GM; epsilon=sqrt(1-R*v0^2*(2*GM-R*v0^2)/GM^2); hold on %la Tierra th=(0:360)*pi/180; fill(cos(th),sin(th),'b') fplot(@(x) rS*cos(x)/R, @(x) rS*sin(x)/R,[0,2*pi]) %tiempo rP=(R*v0)^2/(GM-sqrt(GM^2-R*v0^2*(2*GM-v0^2*R))); r=@(x) d./(1+epsilon*cos(x)); a=(R+rP)/2; c=epsilon*a; b=sqrt(a^2-c^2); xP=(a*rS-b^2)/c; %abscisa del punto de intersección z2=asin(xP-c)/a; tP=(a*b*(z2+sin(2*z2)/2+pi/2)-xP*sqrt(rS^2-xP^2))/(R*v0); fprintf('El tiempo %3.1f min, de choque con el satélite\n',tP/60) th=pi-acos(xP/rS); %intersección fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,th]) plot(r(th)*cos(th)/R,r(th)*sin(th)/R,'ro', 'markersize',4, 'markerfacecolor','r') %choque mAngular=R*v0; energia=v0^2/2-GM/R; %componentes de la velocidad después del choque en el punto de impacto rS vX=sqrt(2*energia-mAngular^2/rS^2+2*GM/rS)/2; %componente radial vY=(-mAngular/rS+vS)/2; %componente transversal v0=sqrt(vX^2+vY^2); phi=atan2(vY,vX); p=2*GM/(rS*v0^2); r=@(x) (rS/R)./(-cos(phi)*sin(x-th)/sin(phi)+cos(x-th)+ p*(1-cos(x-th))/(2*sin(phi)^2)); fplot(@(x) r(x).*cos(x),@(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi]) hold off axis equal grid on xlabel('x') ylabel('y') title('Choque de un proyectil y un satélite')
El tiempo 97.2 min, de choque con el satélite
En color azul, la órbita circular del satélite. En color rojo, la trayectoria elíptica del proyectil hasta que choca con el satélite. En amarillo, la trayectoria del objeto resultado de la colisión inelástica entre el proyectil y el satélite
Caso particular

La situación más importante se produce cuando el apogeo del proyectil coincide con el radio de la órbita del satélite rp=rs, el resultado es una colisión frontal entre los dos objetos
Calculamos la velocidad v0 con el que tendríamos que lanzar el proyectil para que su apogeo sea rs. Aplicamos las propiedades de la fuerza de atracción: central y conservativa
Despejamos v0 y rp
Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, para calcular la velocidad del objeto de masa 2m después del choque inelástico
Calculamos la energía y el momento angular en la situación inicial, justamente después del choque
Calculamos el parámetro d y la excentricidad ε
La ecuación de la trayectoria es
La distancia del centro de la Tierra al perigeo se obtiene con θ=0
Representamos rmin/R en función de rs/R. Vemos que rmin<R hasta rs=17R, aproximadamente
delta=@(y) 1-sqrt(2/(y+1)); f=@(x) (x*delta(x)^2)/(8-delta(x)^2); fplot(f,[4,20]) grid on xlabel('r_s/R') ylabel('r_m_i_n/R') title('Perigeo') ff=@(x) f(x)-1; fzero(ff,[15,18])
Con la función
ans = 17.0000
Actividades
Se introduce
- El radio de la órbita circular del satélite en unidades del radio de la Tierra R, en el control titulado Radio órbita
- La velocidad de disparo del proyectil desde la superficie de la Tierra, v0, en unidades de la velocidad de escape ve, en el control titulado Velocidad disparo
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento del satélite en órbita circular de radio rs y el proyectil disparado desde la superficie de la Tierra con velocidad v0.
Puede ocurrir que la velocidad de disparo no sea suficiente para que el proyectil llegue a la órbita del satélite. El proyectil regresa a la superficie de la Tierra
Si la velocidad de disparo es suficiente. El proyectil choca con el satélite y se observa la trayectoria del objeto resultante. Si el perigeo es menor que el radio de la Tierra, el objeto se detiene cuando impacta en su superficie, el satélite ha sido derribado por el proyectil
Para que el proyectil llegue justamente a la órbita del satélite y choque frontalmente con éste, es preciso calcular la velocidad de disparo v0 aplicando la conservación de la energía y después, introducirla en el control titulado Velocidad disparo en unidades de la velocidad de escape
Por ejempo, para rs/R=10, v0/ve=0.9535
Referencias
Philip R Blanco, Carl E Mungan. Satellite splat II: an inelastic collision with a surface-launched projectile and the maximum orbital radius for planetary impact. Eur. J. Phys. 37 (2016) 045004.
Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/_files/documents/Publications/EJP19.pdf