Trayectoria de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra.
Se dispara un proyectil de masa m desde una distancia r0=R+h del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el radio vector. El momento angular y la energía del proyectil son, respectivamente
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
La semidistancia focal, c=ε·a
El semieje menor b de la elipse
Velocidad del proyectil en el punto de impacto
Como la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, la velocidad v con la que impacta el proyectil en la superficie de la Tierra es independiente de la masa m del proyectil y del ángulo de disparo. Se obtiene poniendo r=R (radio de la Tierra) en la ecuación de la energía, y despejando la incógnita v
Tiempo de vuelo
Para calcular el tiempo de vuelo, vamos a utilizar el mismo procedimiento que empleamos para deducir la fórmula del periodo de un planeta, a partir de la ley de las áreas. El momento angular en coordenadas polares se escribe
Integrando
El primer miembro, es el área barrida por el radio vector cuando se mueve desde la posición angular θ, a la posición θ=π. Despejando t se obtiene.
Vamos ahora a estudiar los distintos casos que se pueden presentar
El ángulo de disparo es φ=0º.

El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil asciende y luego cae hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.
La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r.
En la página titulada Movimiento de dos cuerpos bajo la fuerza de atracción mutua calculamos el tiempo que tarda el proyectil en impactar sobre la superficie de la Tierra
Ejemplo
Lanzamos un proyectil desde la altura h=6000 km con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial r0=6.0·106+6.37·106 m
-
La altura máxima que alcanza el proyectil es h=18.03·106 -6.37·106=11.66·106 m
-
La velocidad con la que llega a la superficie de la Tierra es v=8999.6 m/s
El ángulo de disparo es φ=180º.

El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil desciende a lo largo de la dirección radial hasta que llega a la superficie de la Tierra con la misma velocidad que hemos calculado en el apartado anterior.
Ejemplo
Lanzamos un proyectil desde la posición r0=6.0·106+6.37·106 m con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra
-
La velocidad con la que impacta sobre la superficie de la Tierra es v=8999.6 m/s
El ángulo de disparo es φ=90º.
Alcance máximo
El alcance máximo se produce cuando el perigeo es R, y el apogeo es r0=h+R.
Como el momento angular y la energía son constantes en todos los puntos de la trayectoria y en particular, en el perigeo y en el apogeo, tenemos que
Los datos son r0 y R y las incógnitas v y v0. La velocidad de disparo es
Ejemplo: Sea h=6000 km o bien, la distancia a lo largo de la dirección radial es r0=12.37·106 m
La velocidad de disparo, v0=4681.969 m/s
El semieje mayor de la elipse es a=(R+r0)/2=14.37·106 m
El tiempo de vuelo es la mitad del periodo
t=P/2=4512 s
Posición del punto de impacto
Como vemos en la figura, el proyectil sale de la posición θ=π, e impacta en la posición θ=π-α cuando r=R.
Poniendo r=R en la ecuación de la trayectoria, despejamos el ángulo θ.
Ejemplo:
Continuando con los mismos datos de los casos anteriores:
- Distancia radial del disparo r0=12.37·106 m
- Velocidad inicial v0= 4500 m/s
- Angulo de disparo φ=90º.
Obtenemos los valores del momento angular y de la energía del proyectil
L=5.57·1010 m kgm2/s
E=-22.12·106 m J
Conocida la energía y el momento angular, se determina la ecuación de la trayectoria, el valor del parámetro d y la excentricidad ε
ε=0.372
d=7.77·106 m
Con estos datos, poniendo r=6.37·106 m en la ecuación de la trayectoria obtenemos el ángulo θ=0.934 rad.
La distancia angular entre el punto de impacto y la posición de disparo es
α=π-0.934=2.20 rad
Denominado alcance a la longitud del arco s de circunferencia de la Tierra que corresponde a esta distancia angular, s=R·α=14.03·106 m
Tiempo de vuelo empleando la constancia del momento angular
El área sombreada es el área barrida por el radio vector entre las posiciones angulares θ y π. En otras palabras, es la porción de elipse comprendida entre x y a menos el área del triángulo de base R·cosθ y altura R·sinθ, siendo x=-c-R·cosθ
Sabiendo que la ecuación de la elipse es
donde a es el semieje mayor de la elipse, b el semieje menor, y c la semidistancia focal.
El área de la porción de elipse comprendida entre x y a es
Para integrar, se ha hecho el cambio de variable x=a·sin z. Los nuevos límites de integración son:
- cuando x=a, z2=π/2,
- cuando -R·cosθ-c=a·sin z1
El área sombreada vale, por tanto
Para calcular el área necesitamos los siguientes datos
- a=9.82·106 m
- c=3.35·106 m
- b=8.37·106 m
A continuación, obtenemos z1 que es a función del ángulo θ=0.934 rad de la posición de impacto. Después de hacer algunas operaciones obtenemos el valor del área barrida por el radio vector A=1.022·1014.
Finalmente, el tiempo de vuelo t es
R=6.37e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r0=R+6e6; %6000 km de altura v0=4500; %velocidad de disparo ang=pi/2; %ángulo de tiro L=r0*v0*sin(ang); %momento angular d=L^2/(G*M); E=v0^2/2-G*M/r0; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); z1=asin((-R*cos(angulo)-ex*a)/a); area=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-R^2*sin(2*angulo)/4; fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',2*area/L)
El tiempo de vuelo (s) es 3671.5
Cálculo del tiempo de vuelo empleando la ecuación de Kepler
Dada la posición angular θ, determinamos el ángulo E mediante las relaciones
Dependiendo del signo del seno y del coseno, se determina el cuadrante y se calcula el ángulo E. Sustituyendo en la ecuación de Kepler, obtenemos el tiempo t
Creamos un script para calcular el tiempo de vuelo, T=t1-t0
R=6.37e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r0=R+6e6; %6000 km de altura v0=4500; %velocidad de disparo ang=pi/2; %ángulo de tiro L=r0*v0*sin(ang); %momento angular d=L^2/(G*M); E=v0^2/2-G*M/r0; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); th=angulo; %posición final c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t0=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); th=pi; c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t1=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',(t1-t0))
El tiempo de vuelo (s) es 3671.5
El ángulo de disparo es φ<90º
Trayectoria
Supongamos que el ángulo de disparo es φ distinto de 0º, 90º, ó 180º.
Como vemos en la figura, la trayectoria que sigue el proyectil es una elipse, pero que está girada un ángulo β. Este ángulo se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ
Continuando con los datos de los casos anteriores
- Distancia radial del disparo r0=12.37·106 m
- Velocidad inicial v0= 4500 m/s
- Angulo de disparo φ=30º.
La energía del proyectil no cambia, pero cambia el momento angular
L=2.78·1010 m kgm2/s
E=-22.12·106 m J
Conocida la energía y el momento angular se determina la ecuación de la trayectoria, el valor del parámetro d y la excentricidad ε
ε=0.886
d=1.94·106 m
Con estos datos calculamos el ángulo girado por el eje mayor de la elipse β=2.83 rad.
Posición del punto de impacto
Como vemos en la figura, calculamos el ángulo de impacto poniendo en la ecuación de la elipse r=R, lo que nos da el ángulo θ señalado en la figura, del mismo modo que en el caso anterior
Relacionamos los ángulos θ, α y β. para calcular la distancia angular α entre el punto de impacto y la posición de disparo.
α=2π-θ-β
Ejemplo:
con los datos anteriores θ=2.47, y β=2.83 rad, la distancia angular α=0.981 rad (56.2º)
Tiempo de vuelo empleando la constancia del momento angular
El tiempo de vuelo es proporcional a la suma de las áreas sombreadas de elipse
Las áreas se calculan como en el caso anterior. En primer lugar, necesitamos los valores de los parámetros de la elipse:
- semieje mayor a=9.02·106 m
- semidistancia focal c=7.99·106 m
- semieje menor b=4.18·106 m
Calculamos el área de la porción de elipse por encima del eje mayor, que es el área barrida por el radio vector desde la posición angular θ=2.47 hasta θ=π. Necesitamos conocer previamente, z1, que es a su vez función del ángulo θ de la posición de impacto.
-R·cosθ-c=a·sin z1
El resultado es A1=5.1786·1013
Calculamos el área por debajo del eje mayor barrida por el radio vector desde la posición angular β=2.83 rad hasta β =π.
Necesitamos conocer previamente, z1, que es a su vez función del ángulo β=2.83 rad que reemplaza al ángulo θ en la fórmula del área y r0 reemplaza a R
-r0·cosβ-c=a·sin z1
El resultado es A2=3.6620·1013
El tiempo de vuelo es
R=6.37e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r0=R+6e6; %6000 km de altura v0=4500; %velocidad de disparo ang=pi/6; %ángulo de tiro L=r0*v0*sin(ang); %momento angular d=L^2/(G*M); E=v0^2/2-G*M/r0; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); z1=asin((-R*cos(angulo)-ex*a)/a); area1=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-R^2*sin(2*angulo)/4; beta=acos((d-r0)/(r0*ex)); z1=asin((-r0*cos(beta)-ex*a)/a); area2=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-r0^2*sin(2*beta)/4; fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',2*(area1+area2)/L)
El tiempo de vuelo (s) es 6351.5
Tiempo de vuelo empleando la ecuación de Kepler
- Se calcula el tiempo t0 para posición angular θ
- Se calcula el tiempo t1 para posición 2π-β con
tal como apreciamos en la figura más arriba
R=6.37e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r0=R+6e6; %6000 km de altura v0=4500; %velocidad de disparo ang=pi/6; %ángulo de tiro L=r0*v0*sin(ang); %momento angular d=L^2/(G*M); E=v0^2/2-G*M/r0; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); th=angulo; %posición inicial c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t0=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); beta=acos((d-r0)/(r0*ex)); th=2*pi-beta; %posición final c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t1=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',(t1-t0))
El tiempo de vuelo (s) es 6351.5
El ángulo de disparo es φ>90º.
Trayectoria

Los proyectiles disparados con ángulos φ y 180-φ tienen la misma energía y el mismo momento angular, la trayectoria es una elipse con los mismos valores del parámetro d, y de la excentricidad ε, pero su orientación es distinta.
Si el ángulo de disparo es 150º, la energía y el momento angular son los mismos que cuando se dispara el proyectil con 30º
ε=0.886
d=1.94·106 m
Como vemos en la figura, la trayectoria que sigue el proyectil es una elipse, pero que está girada un ángulo β. Este ángulo se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria
Con estos datos calculamos el ángulo β=2.83 rad (color rojo) que gira el eje mayor de la elipse que es la solución que tomamos en el caso anterior, pero también es solución el ángulo β=2π-2.83=3.45 rad (color azul)
Posición del punto de impacto
En el apartado anterior, calculamos el ángulo de impacto poniendo en la ecuación de la elipse r=R, lo que nos daba el ángulo θ=2.47 rad
Relacionamos los ángulos θ, α y β. para calcular el ángulo de impacto α.
α+θ+β-π =π o bien,
α=2π-β-θ=0.36 rad (20.4º)
que es la misma relación que obtuvimos en el caso anterior.
Tiempo de vuelo empleando la constancia del momento angular
El área barrida por el radio vector desde la posición inicial de salida a la de impacto es la diferencia de dos áreas
-
El área A1 barrida por el radio vector desde la posición θ=2.47 a la posición θ=π
-
El área A2 barrida por el radio vector desde la posición angular 2π-β =2.83 a la posición π.
Estas dos áreas coinciden con las áreas A1 y A2 calculadas en el caso anterior
El tiempo de vuelo es
Tiempo de vuelo empleando la ecuación de Kepler
- Se calcula el tiempo t0 para posición angular θ
- Se calcula el tiempo t1 para posición 2π-β con
R=6.37e6; %radio Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r0=R+6e6; %6000 km de altura v0=4500; %velocidad de disparo ang=5*pi/6; %ángulo de tiro L=r0*v0*sin(ang); %momento angular d=L^2/(G*M); E=v0^2/2-G*M/r0; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse angulo=acos((d-R)/(R*ex)); th=angulo; %posición inicial c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t0=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); beta=2*pi-acos((d-r0)/(r0*ex)); th=2*pi-beta; %posición final c_E=(ex+cos(th))/(1+ex*cos(th)); s_E=sqrt(1-ex^2)*sin(th)/(1+ex*cos(th)); E=atan2(s_E,c_E); if E<0 E=2*pi+E; end t1=(E-ex*s_E)*a^(3/2)/sqrt(G*M); fprintf('El tiempo de vuelo (s) es %4.1f\n',(t1-t0))
El tiempo de vuelo (s) es 1088.5
Cálculo con MATLAB
Creamos un script de MATLAB que se aplica a los tres casos analizados en esta página, calcula el alcance, el tiempo de vuelo y representa la trayectoria, un arco de elipse
R=6.37e6; %radio de la Tierra M=5.98e24; %masa de la Tierra G=6.67e-11; %constante G r0=12.37e6; %(6000 km de altura) posición de disparo v0=4500; %velocidad de disparo ang=30; %ángulo de tiro en grados L=r0*v0*sin(ang*pi/180); %momento angular E=v0^2/2-G*M/r0; %energía ex=sqrt(1+2*L^2*E/(G*M)^2); %excentricidad d=L^2/(G*M); %ángulo de giro beta=acos((d/r0-1.0)/ex); if ang==90 beta=pi; if v0>sqrt(G*M/r0) beta=0.0; end end angulo=acos((d-R)/(R*ex)); alcance=(2*pi-angulo-beta); %alcance en radianes if ang>90 alcance=(-angulo+beta); %alcance end fprintf('Alcance (km) es %2.1f\n',alcance*R/1000) a=d/(1-ex^2); %semieje mayor de la elipse b=a*sqrt(1-ex^2); %semieje menor z1=asin((-ex*a-R*cos(angulo))/a); area1=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-R^2*sin(2*angulo)/4; z1=asin((-ex*a-r0*cos(beta))/a); area2=a*b*(pi/2-z1-sin(2*z1)/2)/2-r0^2*sin(2*beta)/4; if ang<90 P=2*(area1+area2)/L; elseif ang>90 P=2*(area1-area2)/L; else P=2*area1/L; %tiempo de vuelo end fprintf('El tiempo de vuelo (min) es %4.1f\n',P/60) hold on ax=(1:360)*pi/180; fill(cos(ax),sin(ax),'c') %la Tierra %trayectoria r=@(x) (d/R)./(1+ex*cos(2*pi-x-beta)); if ang>90 r=@(x) (d/R)./(1+ex*cos(-x+beta)); end fplot(@(x) r(x).*cos(x), @(x) r(x).*sin(x),[0,2*pi],'lineStyle','--') fplot(@(x) r(x).*cos(x), @(x) r(x).*sin(x),[0,alcance]) line([0,r0/R],[0,0],'lineStyle','--') plot(r0/R,0,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') line([0,cos(alcance)],[0,sin(alcance)],'lineStyle','--') plot(cos(alcance),sin(alcance),'ro','markersize',3,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') %quiver(r0/R,0,v0*cos(ang*pi/180)/1000,v0*sin(ang*pi/180)/1000); hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('Disparo de un proyectil')
Alcance (km) es 6246.1 El tiempo de vuelo (min) es 105.9
Actividades
Se introduce
-
La altura h en km desde la que se dispara el proyectil, en el control titulado Altura. La posición inicial del proyectil es r0=h·1000+6.37·106 m
-
La velocidad de disparo v0 en m/s, en el control titulado Velocidad
-
El ángulo de disparo, medido desde la dirección radial, en el control titulado Angulo
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se excluyen los ángulos 0 y 180º ya que su análisis es más simple y dan lugar, a errores por desbordamiento en la rutina principal de cálculo.
Se observa el movimiento del proyectil y se proporcionan los datos de la distancia angular entre el punto de impacto sobre la superficie de la Tierra y el lugar del lanzamiento, así como el tiempo de vuelo empleado por el proyectil.
Si la velocidad es grande, puede ocurrir que el proyectil se ponga en órbita alrededor de la Tierra.
Como ejercicios se sugiere,
-
Fijando la velocidad de disparo, cambiar el ángulo de tiro y buscar el ángulo para el cual el alcance es máximo
-
Fijada la altura de disparo, buscar la velocidad que hace que el proyectil describa una órbita circular alrededor de la Tierra.
Alcance máximo
En este apartado vamos a describir el problema del disparo de un proyectil con otra ecuación de la trayectoria cuya deducción resumimos a continuación:
Partimos de la ecuación del movimiento del proyectil en coordenadas polares
La segunda ecuación nos indica que el momento angular L (expresado en coordenadas polares es constante)
La ecuación del movimiento se convierte en
La solución de la ecuación diferencial es

Donde A, B y el momento angular L se determinan a partir de las condiciones iniciales.
El momento angular es L=mr0v0sinφ
La posición inicial en coodenadas polares es θ=0, r=r0
Las componentes de la velocidad en coordendas polares son:
- (dr/dt)0=v0cosφ
- r0(dθ/dt)0=v0sinφ
Teniendo en cuenta la relación
Derivando con respecto a θ la ecuación de la trayectoria
Para la posición inicial θ=0.
Expresamos la ecuación de la trayectoria en términos del ángulo de disparo φ y de un parámetro p relacionado con la velocidad de disparo v0 en la posición de disparo a una distancia r0 del centro de la Tierra
Alcance
El alcance angular del proyectil, α, es el ángulo θ que se obtiene para r=R
Despejamos el alcance α
Elevamos al cuadrado obteniendo una ecuación de segundo grado en cosα
Dibujamos la trayectoria de un proyectil disparado con un ángulo φ=π/6 (30°) desde una distancia al centro de la Tierra r0=1.2R, con una velocidad v0 o parámetro p=0.6,
R=1; %radio de la Tierra phi=pi/6; %ángulo de tiro r0=1.2*R; %distancia al centro p=0.6; %parámetro a=(p*sin(phi)^2-1)^2+(p*sin(2*phi))^2/4; b=2*(p*sin(phi)^2-1)*(1-r0*p*sin(phi)^2/R); c=(1-r0*p*sin(phi)^2/R)^2-(p*sin(2*phi))^2/4; %alcance alfa=real(acos((-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a))); if phi>pi/2 alfa=real(acos((-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a))); end hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra %trayectoria r=@(x) r0./(sin(phi-x)/sin(phi)+(1-cos(x))/(p*sin(phi)^2)); fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,real(alfa)]) line([0,r0/R],[0,0],'lineStyle','--') plot(r0/R,0,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') line([0,cos(alfa)],[0,sin(alfa)],'lineStyle','--') plot(cos(alfa),sin(alfa),'ro','markersize',3,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') quiver(r0,0,sqrt(p/r0)*cos(phi),sqrt(p/r0)*sin(phi)); hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('Disparo de un proyectil')
El alcance en grados es
>> alfa*180/pi ans = 39.6910
Alcance máximo
El alcance α máximo se obtiene para el ángulo φ tal que dα/dφ=0
Igulando el numerador a cero
Sustituimos tan(αm/2) en la ecuación del alcance
Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas
Se convierte en la expresión
El ángulo óptimo de disparo φm para el cual el alcance es máximo αm es
Dados la distancia al centro r0 y el parámetro p (relacionado con la velocidad de disparo v0), calculamos el ángulo de tiro óptimo φm para el cual el alcance es máximo αm. Representamos la trayectoria para este ángulo de tiro y para otros dos ángulos de tiro, mayor y menor en 10°, comprobando que el alcance de estos dos últimos es más pequeño
R=1; %radio de la Tierra r0=1.2*R; %distancia al centro p=0.8; %ángulo de tiro para el que el alcance sea máximo phi_m=atan(2*sqrt((r0/R-1+p/2)/(2/p-1-r0/R))/p); if phi_m<0 phi_m=phi_m+pi; end hold on ang=(1:360)*pi/180; %tierra fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra for phi=[phi_m-10*pi/180,phi_m,phi_m+10*pi/180] a=(p*sin(phi)^2-1)^2+(p*sin(2*phi))^2/4; b=2*(p*sin(phi)^2-1)*(1-r0*p*sin(phi)^2/R); c=(1-r0*p*sin(phi)^2/R)^2-(p*sin(2*phi))^2/4; %alcance alfa=real(acos((-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a))); if phi>pi/2 alfa=real(acos((-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a))); end disp(alfa*180/pi); %trayectoria r=@(x) r0./(sin(phi-x)/sin(phi)+(1-cos(x))/(p*sin(phi)^2)); fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,real(alfa)]) line([0,cos(alfa)],[0,sin(alfa)],'lineStyle','--') plot(cos(alfa),sin(alfa),'ro','markersize',3,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') end line([0,r0/R],[0,0],'lineStyle','--') plot(r0/R,0,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('Disparo de un proyectil')
El ángulo de tiro óptimo es φm=74.2°, los alcances para los ángulos de tiro: 64.2°,74.2°y 84.2° son, respectivamente
103.6312 109.4712 98.2124 >> phi_m*180/pi ans = 74.2068
El alcance máximo posible es αm=π, como tan(π/2)=∞, el denominador se ha de hacer cero. Cuando el alcance es αm=π, el ángulo de tiro φm=π/2
Sea el ángulo de tiro φ=π/2, asignamos al parámetro p el valor deducido para que el alcance del proyectil sea el máximo posible α=π
R=1; %radio de la Tierra phi=pi/2; %ángulo de tiro r0=1.2*R; %distancia al centro p=2/(1+r0/R); %parámetro a=(p*sin(phi)^2-1)^2+(p*sin(2*phi))^2/4; b=2*(p*sin(phi)^2-1)*(1-r0*p*sin(phi)^2/R); c=(1-r0*p*sin(phi)^2/R)^2-(p*sin(2*phi))^2/4; %alcance alfa=real(acos((-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a))); if phi>pi/2 alfa=real(acos((-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a))); end hold on ang=(1:360)*pi/180; fill(cos(ang),sin(ang),'c') %la Tierra %trayectoria r=@(x) r0./(sin(phi-x)/sin(phi)+(1-cos(x))/(p*sin(phi)^2)); fplot(@(x) r(x).*cos(x)/R, @(x) r(x).*sin(x)/R,[0,real(alfa)]) line([0,r0/R],[0,0],'lineStyle','--') plot(r0/R,0,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r') line([0,cos(alfa)],[0,sin(alfa)],'lineStyle','--') plot(cos(alfa),sin(alfa),'ro','markersize',3,'markeredgecolor', 'r','markerfacecolor','r') quiver(r0,0,sqrt(p/r0)*cos(phi),sqrt(p/r0)*sin(phi)); hold off axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('Disparo de un proyectil')
El alcance en grados y el valor del parámetro p son
>> alfa*180/pi ans = 180.0000 >> p p = 0.9091
Referencias
Leon Blitzer. Maximun Range of a Projectile in Vacuum on a Spherical Earth. Am. J. Phys. 25 1957, pp. 21-24