Movimiento sobre una cúpula semiesférica

Sin rozamiento

La partícula se encuentra inicialmente en reposo sobre el vértice de la cúpula, en una posición de equilibrio inestable. Cuando se desvía ligeramente de esta posición, la partícula desliza sin rozamiento, incrementando su velocidad hasta que llega un momento en el que deja de tener contacto con la cúpula. En este apartado, calcularemos la posición θc para la cual la reacción N de superficie semiesférica es nula.

Conservación de la energía

La energía de la partícula en la posición inicial θ=0, es

Ei=mgR

La energía de la partícula en la posición θ es

E f = 1 2 m v 2 +mgRcosθ

Aplicando el principio de conservación de la energía Ei=Ef, calculamos la velocidad del móvil v en la posición θ

v 2 =2gR(1cosθ)v=2 gR sin( θ 2 )

Dinámica

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son

La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton a un movimiento circular de radio R

La segunda ecuación, junto al principio de conservación de la energía, nos permite calcular la reacción del plano N, en la posición θ

N=mgcosθm v 2 R N=3mgcosθ2mg

La partícula deja de estar en contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el ángulo θc tal que

cosθ= 2 3

Aproximadamente, 48º medidos desde la vertical. Como vemos el ángulo límite es independiente del radio de la cúpula, de la masa de la partícula y de la aceleración de la gravedad g.

La velocidad de la partícula cuando alcanza en esta posición es

v 0 2 = 2 3 gR

La primera ecuación nos permite calcular la posición angular θ en función del tiempo t.

R d 2 θ d t 2 =gsinθ

Que se resuelve por procedimientos numéricos. Si se establece las condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0. La partícula permanece todo el tiempo en esta posición de equilibrio inestable. Las condiciones iniciales serán t=0, θ=θ0, dθ/dt=ω0.Donde θ0 es un pequeño ángulo y ω0 es la velocidad angular de la partícula correspondiente a este ángulo, que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía. En la figura, se representa la posición θ de la partícula en función del tiempo t

R=1; %radio
x0=[0.01,sqrt(9.8/R)*2*sin(0.01/2)];
f=@(t,x) [x(2);9.8*sin(x(1))/R]; 
opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x,acos(2/3)));
tspan=[0,100]; %hasta un tiempo de 3
[t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);
tFin=t(end);

plot(t,x(:,1)*180/pi)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Cúpula semiesférica sin rozamiento')

El procedimiento de cálculo se termina cuando se alcanza la posición final θ=arccos(2/3), para ello se define la función

function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x,xFin)
    value=x(1)-xFin; 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

Una vez que la partícula deja de tener contacto con la cúpula, se mueve bajo la acción de su propio peso, es decir, describe una trayectoria parabólica desde el punto de coordenadas

x0=R·sinθ
y0=R·cosθ

Con velocidad inicial

v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 sinθ

Las ecuaciones del movimiento son

x= x 0 + v 0 cosθt y= y 0 v 0 sinθt 1 2 g t 2

El punto de impacto sobre el suelo se calcula poniendo y=0 en la segunda ecuación, despejando el tiempo t y sustituyéndolo en la primera.

Ejemplo:

Sea el radio de la cúpula es R=1 m. En el momento en el que la partícula deja de tener contacto con la cúpula N=0, su posición angular es cosθ= 2/3 y su velocidad es,

v 0 = 2 3 9.8·1 =2.56m/s

Cuando llega al suelo y=0. Se resuelve la ecuación de segundo grado t=0.222 s

Se calcula el alcance medido desde el centro de la cúpula x=1.12 m

R=1;
angulo=acos(2/3);
v0=sqrt(2*R*9.8/3);
%tiempo que tarda en llegar al suelo, y=0
t=(sqrt((v0*sin(angulo))^2+2*9.8*R*cos(angulo))-v0*sin(angulo))/9.8;
%alcance
x=R*sin(angulo)+v0*cos(angulo)*t
x =1.1246

Actividades

El radio R de la cúpula se ha fijado en 1 m

Se pulsa el botón Nuevo.

El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Observamos que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula.

Mediante una línea roja a trazos se señala el ángulo límite arccos(2/3), para el cual la reacción N=0

Movimiento en una pista de forma f(x)

Consideremos una pista con la forma dada por la función f(x) en un intervalo dado. Lanzamos la partícula en el punto más alto con velocidad inicial v0, queremos conocer si la partícula se saldrá de la pista. Si hay algún punto x donde la reacción se anule, N=0

Aplicando el principio de conservación de la energía, calculamos la velocidad v de la partícula en una punto de abscisa x es

1 2 m v 0 2 +mg y 0 =mgy+ 1 2 m v 2 v 2 = v 0 2 +2g( y 0 y )

Dibujamos la dirección normal, la aceleración normal apunta al centro de curvatura C, sea ρ el radio de curvatura.

ρ= ( 1+ ( dy dx ) 2 ) 3/2 | d 2 y d x 2 |

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

mgcosθN=m v 2 ρ

π-θ es el ángulo que forma la tangente a la pista en el punto (x,y) con la horizontal, tan(π-θ)=dy/dx

cosθ= 1 1+ tan 2 θ = 1 1+ tan 2 ( πθ ) = 1 1+ ( dy dx ) 2

La partícula deja la pista, cuando la reacción N se anule, en los puntos tales que cumplen

mgcosθ=m v 2 ρ g( 1+ ( dy dx ) 2 )={ v 0 2 +2g( y 0 y ) }| d 2 y d x 2 |

Analizaremos varias formas de pista, empezando por la más simple, la pista semicircular, estudiada en el primer apartado

Semicircular

Sea una pista circular de radio R. La ecuación es x2+y2=R2. Se lanza la partícula con velociad inicial v0 desde el punto más alto y0=R

dy dx = x R 2 x 2 d 2 y d x 2 = R 2 ( R 2 x 2 ) 3/2

La partícula se sale de la pista circular, cuando la reacción N se anule, en los puntos tales que cumplen

g( 1+ x 2 R 2 x 2 )={ v 0 2 +2g( Ry ) } R 2 ( R 2 x 2 ) 3/2 g={ v 0 2 +2g( Ry ) } 1 R 2 x 2 3gy= v 0 2 +2gR y= 2 3 R+ v 0 2 gR

Si la velocidad inicial v0=0, cosθ=y/R=2R/3, resultado ya obtenido

Elíptica

Cosideremos una pista de forma semielíptica de semejes a y b. La ecuación es

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

Se proporciona una pequeña velocidad inicial v0≈0, a la partícula en el punto más alto o posición de equilibrio inestable.

La ecuación del movimiento en la dirección normal a la pista en el punto (x,y) es

mgcosθN=m v 2 ρ

Expresamos la reacción N en términos de la altura y del punto en la pista

N=mgcosθm v 2 ρ = N mg = ay b 4 +( a 2 b 2 ) y 2 2(by) ( b 4 +( a 2 b 2 ) y 2 ) 3/2 a b 4 = a b 4 +( a 2 b 2 ) y 2 ( y 2(by) b 4 b 4 +( a 2 b 2 ) y 2 )

Representamos N/(mg) para b= 1 m y tres valores de el semeje a= 2, 1, 0.5 m

b=1; %semieje menor
hold on
for a=[2,1,0.5] %semieje mayor
    f=@(y) a*(y-2*(b-y)*b^4./(b^4+(a^2-b^2)*y.^2))./sqrt(b^4+(a^2-b^2)*y.^2);
    fplot(f,[0.5,1],'displayName',num2str(a))
end
hold off
xlabel('y')
ylabel('N/(mg)')
ylim([0,1])
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
title('Reacción N de la cúpula')

La reacción N se anula, la partícula deja de estar en contacto con la pista, a la altura yc tal que

y 2(by) b 4 b 4 +( a 2 b 2 ) y 2 =0 ( a 2 b 2 ) y 3 +3 b 4 y2 b 5 =0

Utilizamos la función roots de MATLAB para calcular las raíces de la ecuación de tercer gardo. Alternativamente, se puede utilizar la función raices_3

>> a=2; b=1;
>> roots([a^2-b^2,0,3*b^4,-2*b^5])
ans =
  -0.2617 + 1.0979i
  -0.2617 - 1.0979i
   0.5233 + 0.0000i
>> a=1;
>> roots([a^2-b^2,0,3*b^4,-2*b^5])
ans =    0.6667

>> a=0.5;
>> roots([a^2-b^2,0,3*b^4,-2*b^5])
ans =
   -2.2743
    1.4845
    0.7899

Forma de, Acos(kx)

La pista responde a la ecuación y=Acos(kx) en el intervalo (-π/(2k), π/(2k)). Supongamos que la partícula parte del reposo, v0=0, desde la cúspide a una altura y0=A

dy dx =kAsin(kx) d 2 y d x 2 = k 2 Acos(kx)

La partícula deja la pista, cuando la reacción N se anule, en los puntos tales que cumplen

1+ k 2 A 2 sin 2 (kx)=2( AAcos(kx) ) k 2 Acos(kx) k 2 A 2 cos 2 (kx)2 k 2 A 2 cos(kx)+1+ k 2 A 2 =0 cos 2 (kx)2cos(kx)+ 1 k 2 A 2 +1=0 cos(kx)= 2± 44( 1 k 2 A 2 +1 ) 2 =1±i 1 kA

No hay raíces reales de la ecuación de segundo grado en cos(kx), por lo que la partícula desliza a lo largo de la pista

Parábola

La pista es un tramo de parábola que responde a la ecuación, y=-αx2. La partícula se lanza con velocidad inicial v0 desde la altura y0=0

dy dx =2αx d 2 y d x 2 =2α

La partícula se sale la pista, cuando la reacción N se anule, en los puntos tales que cumplen

g( 1+4 α 2 x 2 )={ v 0 2 +2gα x 2 }2α v 0 2 = g 2α

Esta es la velocidad inicial crítica vc que hace que N sea cero

Cuando la partícula se lanza con otra velocidad inicial v0 distanta de vc, la reacción N de la pista es

N=mgcosθm v 2 ρ = mg 1+ ( dy dx ) 2 m v 0 2 +2g( 0+α x 2 ) ( 1+ ( dy dx ) 2 ) 3/2 | d 2 y d x 2 | = mg 1+4 α 2 x 2 m v 0 2 +2gα x 2 ( 1+4 α 2 x 2 ) 3/2 2α N= mg 1+4 α 2 x 2 ( 1 2α v 0 2 g +4 α 2 x 2 1+4 α 2 x 2 )

Se presentan los siguientes casos:

Referencias

Ejemplos

Kirk T. McDonald. Skiing on a Cosine Hill. https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/

Amir Aghamohammadi. The point of departure of a particle sliding on a curved surface. Eur. J. Phys. 33 (2012) pp. 1111–1117

R. S. Dutra, L. C. Ribeiro, C. M. Porto. Uma aplicação da dinâmica de uma partícula em uma trajetória predeterminada: o problema do iglu elipsoidal. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 41, nº 2, e20180185 (2019)