El mejor ángulo para arrastrar un bloque

En el análisis de este problema solamente estamos interesados en la situación de equilibrio, mientras el bloque está en reposo sobre el plano horizontal, pero no estamos directamente interesados en el movimiento del bloque una vez que ha empezado a deslizar, no obstante, escribiremos las ecuaciones del movimiento.

El bloque en reposo

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el bloque

Las condiciones de equilibrio se escriben

Tcosθ-Fr=0
T
sinθ+N-mg=0

Cuando el bloque empieza a deslizar la fuerza de rozamiento alcanza un valor máximo dado por FrsN, siendo μs el coeficiente de rozamiento estático, y N=mg-Tsinθ

En esta situación, despejamos T del sistema de ecuaciones.

T= μ s mg cosθ+ μ s sinθ

T es una función del ángulo θ que representamos gráficamente

m=1; %masa bloque
mu=0.7; %coeficiente estático
f=@(x) mu*m*9.8./(cos(x*pi/180)+mu*sin(x*pi/180)); %fuerza
fplot(f,[0,90])
ylim([0,10])
ang=atan(mu)*180/pi;
line([ang,ang],[0, mu*m*9.8/sqrt(1+mu^2)],'linestyle','--');
ylabel('T (N)')
xlabel('\theta')
grid on
title('Fuerza de empuje')

Esta función tiene un mínimo, el mejor ángulo para arrastrar el bloque, que se obtiene derivando T respecto de θ, e igualando a cero.

dT dθ = μ s mg(sinθ+ μ s cosθ) (cosθ+ μ s cosθ) 2 =0

El valor de la fuerza mínima T que tenemos que aplicar al cuerpo para que empiece a deslizar vale

tanθ= μ s T min = μ s mg 1+ μ s 2

El bloque en movimiento

Una vez que el bloque empieza a moverse, la fuerza de rozamiento disminuye, ya que el coeficiente cinético μk es, de ordinario, menor que el estático μs. En la simulación hemos tomado arbitrariamente la siguiente relación μk=0.9 μs.

Tenemos que aplicar las ecuaciones de la dinámica al bloque y a las pesas que cuelgan de la polea.

Como vemos en la parte derecha de la figura, cuando el bloque se desplaza x las pesas se desplazan y. La relación entre x e y es

y= d 2 + h 2 (dx) 2 + h 2

donde d es la distancia medida a lo largo del plano entre el origen y la posición de la polea y h es la altura de la polea sobre el plano horizontal. Para obtener la relación entre las aceleraciones a=d2x/dt2 y a’=d2y/dt2, hay que derivar dos veces respecto del tiempo la relación anterior entre x e y.

Para determinar la posición x del bloque en función del tiempo t, hemos de resolver una ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales en el instante t=0, x=x0, v=0.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Aplicamos la fuerza T colocando pesas en el extremo de la cuerda que pasa por la polea, para ello, se selecciona el tipo de pesa y se arrastra con el puntero del ratón hasta colgarla del gancho, o de la pesa previa.

Tenemos que acercarnos lo máximo posible al valor de la fuerza μsN que hace que el bloque comience a deslizar con el juego de pesas disponible. En este caso, se dispone de un total de 16 pesas, cuatro de cada tipo:

Ejemplo:

μs=0.75
θ=
30º

Procedimiento para acercarnos al valor máximo de la fuerza de rozamiento.

  1. Se empieza colocando una pesa de 500 g, el bloque no desliza. Se pone una segunda pesa de 500 g, el bloque desliza.
  2. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g. Se añade una pesa de 100 g, el bloque no desliza. Se añade otra pesa de 100 g, el bloque desliza.
  3. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g, y una pesa de 100 g. Se añade una pesa de 25 g, el bloque desliza.
  4. Se pulsa el botón titulado Repetir. Se pone una pesa de 500 g, una pesa de 100 g. Se añade una pesa de 5 g, el bloque desliza.

El valor de la tensión T de la cuerda más cercana al valor máximo μsN (por exceso) es

T= (500+100+5)10.0 1000 =6.05N

La aceleración de la gravedad se ha tomado como g=10.0 m/s2

En la parte superior izquierda, se dibujan las fuerzas sobre el bloque. Observamos que la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque no es constante e igual al peso del bloque mg sino que va cambiando a medida que se modifica la fuerza aplicada T o el ángulo θ que hace la cuerda con la horizontal.


La fuerza de rozamiento

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son:

Las condiciones de equilibrio se escriben

Tcosθ-Fr=0
T
sinθ+N-mg=0

Dado el valor de la fuerza aplicada T, calculamos la fuerza de rozamiento Fr y la fuerza N que ejerce el plano sobre el bloque:

N=mg-Tsinθ

La reacción N de la superficie horizontal se anula, es decir, el cuerpo se eleva sobre la superficie, si Tsinθmg. Si N>0 la fuerza de rozamiento Fr tiene uno u otro de los siguientes valores:

Siendo μs el coeficiente estático

En la figura, se representan tres curvas en función del ángulo θ¸comprendido entre 0º y 90º

Calculamos los ángulos θ para los cuales las curvas f·cosθ y μs(1-f·sinθ) se cortan.

f·cosθ =μs(1-f·sinθ)

Primero se divide por cosθ, a continuación se emplea la relación 1/cos2θ=1+tan2θ. Quedando la siguiente ecuación en x=tanθ.

μ s 1+ x 2 =f+ μ s fx

Elevando al cuadrado ambos miembros, nos queda una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son

tanθ=x= f 2 ± μ s 2 f 2 + f 2 μ s 2 μ s ( f 2 1)

Pueden ocurrir los siguientes casos:

Actividades:

Se introduce

Al pulsar el botón titulado Nuevo, el programa interactivo nos proporciona el valor de la fuerza de rozamiento fr=Fr/mg para cada valor del ángulo θ seleccionado.

Para evitar que la reacción N sea menor o igual que cero y por tanto, el cuerpo ascienda, se introduce un valor de f=T/mg menor que la unidad.

En la parte superior derecha, se dibujan las fuerzas sobre el bloque y se indica si el cuerpo está en reposo o desliza.



Referencias

Sütt D. Elementary discussion of an optimization problem concerning friction. Physics Education 29 (4) July 1994, 249-252

van den Berg W. The best angle for dragging a box. The Physics Teacher, Vol. 38 Nov. 2000, pp. 506-508