Rozamiento en el plano inclinado

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m2 son:

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m1 son:

El equilibrio en el sentido perpendicular al plano inclinado, implica que N=m1gcosθ

Cuerpos en reposo

Cuando los cuerpos están en equilibrio, en reposo, la tensión de la cuerda T=m2g

Vamos a calcular el ángulo o los ángulos θs del plano inclinado para los cuales el módulo de la fuerza de rozamiento F alcanza su valor máximo, μsm1gcosθs

m2g-m1gsinθsμsm1gcosθs

Llamando M=m2/m1

Msin θ s =± μ s 1 sin 2 θ s

Elevando al cuadrado, despejamos sinθs

sin θ s = M± μ s 1 M 2 + μ s 2 1+ μ s 2

Para que existan raíces reales el discriminante tiene que ser mayor o igual a cero

Para que los dos ángulos sean positivos se tiene que cumplir además que M>μs

Los cuerpos en movimiento

Cuando la fuerza de rozamiento F alcanza el valor máximo μsm1gcosθ, el cuerpo de masa m1 empieza a deslizar, la fuerza de rozamiento se reduce ligeramente a μkm1gcosθ, opuesta a la velocidad del cuerpo. Los dos cuerpos se mueven con la misma aceleración a. Las ecuaciones del movimiento son

m2g-T=m2a

T-m1gsinθ-μkm1gcosθ=m1a

Eliminando la tensión T de la cuerda

a= m 2 m 1 sinθ μ k m 1 cosθ m 2 + m 1 g a= Msinθ μ k cosθ M+1 g

La tensión de la cuerda es un poco menor que el peso, T=m2(g-a)

Ejemplos

Vamos a representar las funciones

M>1

La primera función, M-sinθ, es siempre positiva, por lo que solamente dibujamos la función μscosθ

M<1

Actividades

Se introduce

El programa calcula:

Cuando el módulo de la resultante es mayor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento, el cuerpo acelera a lo largo del plano inclinado, hacia arriba o hacia abajo dependiento del signo de la resultante.

Se dibujan las fuerzas sobre el cuerpo que desliza


Referencias

William M. Wehrbein. Frictional forces on an inclined plane. Am. J. Phys. 60 (1), January 1992, pp. 57-58