Dibujamos las fuerzas (peso y la tensión T de la cuerda) sobre cada uno de los dos cuerpos y aplicamos la segunda ley de Newton. La aceleración a de los cuerpos es la misma al estar unidos por una cuerda inextensible

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}Mg-T=Ma\\ T-mg=ma\end{array}\\ a=\frac{M-m}{M+m}g\end{array}}$

Sin rozamiento

Un cuerpo de masa m puede deslizar por un plano horizontal, está unido a otro cuerpo que cuelga de masa M por una cuerda inextensible y de masa despreciable. La cuerda pasa por una polea ideal de radio muy pequeño y momento de inercia despreciable

En este apartado, estudiamos el movimiento del bloque de masa m en ausencia de rozamiento.

Situamos el origen en la polea y los ejes tal como indica la figura de la derecha, el eje Y apuntando hacia abajo

Dibujamos las fuerzas sobre cada uno de los dos cuerpos y aplicamos la segunda ley de Newton.

• Movimiento de las pesas

Las pesas situadas en un platillo se mueven verticalmente con una aceleración que es distinta de la aceleración del bloque.

${\displaystyle M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=Mg-T}$

• Movimiento del bloque

El bloque está en equilibrio en la dirección vertical

Tsinθ+N-mg=0

Donde la reacción del plano horizontal N tiene que ser una cantidad positiva, para que el bloque se mantenga deslizando

El bloque se mueve con aceleración a lo largo del plano horizontal

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-T\cos \theta =-T\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}}$

El máximo valor de la tensión T=Mg. El mínimo valor de N, cuando θ=π/2, es mg-T. Para que N>0, se tiene que cumplir que m>M

Eliminamos la tensión T para obtener la ecuación

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{M}{m}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-g\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}}$

En un instante dado t, el bloque dista x de la polea y las pesas se encuentran en la posición y por debajo de la polea. La relación entre x e y es

${\displaystyle l=\sqrt{x^2+h^2}+y}$

donde l es la longitud de la cuerda y h la altura de la polea sobre el plano horizontal.

Derivando con respecto del tiempo

${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=0}$

Para obtener la relación entre las aceleraciones d²x/dt² y d²y/dt², derivamos respecto del tiempo la relación anterior.

${\displaystyle \frac{h^2}{{\left(x^2+h^2\right)}^{3/2}}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=0}$

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \left(1+\frac{M}{m}\frac{x^2}{x^2+h^2}\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{M}{m}\left(g+\frac{h^2}{{\left(x^2+h^2\right)}^{3/2}}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}=0}$

Para determinar la posición x del bloque en función del tiempo t, tenemos que resolver una ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales en el instante t=0, x=x₀, dx/dt=0, parte del reposo.

La posición y de las pesas es

${\displaystyle y=l-\sqrt{x^2+h^2}}$

Cuando no hay rozamiento, la energía se conserva. La energía inicial es E₀=-Mgy₀. El nivel cero de energía potencial se sitúa en la polea

La energía en el instante t es la potencial de las pesas y las cinéticas del bloque y las pesas

${\displaystyle E=-Mgy+\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}M{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}$

La conservación de la energía nos permite verificar si el procedimiento numérico, produce buenos resultados.

Consideremos el siguiente sistema

• Masa del bloque, m=1 kg
• Masa de las pesas que cuelgan, M=0.8 kg
• Longitud de la cuerda, l=1.5 m
• Altura de la polea sobre el plano horizontal, h=1 m
• Posición inicial del bloque, x₀=0.8 m

Se representa la posición x del bloque y la posición y de las pesas en función del tiempo t.

function  arrastra_2()
    m=1; %bloque
    M=0.8; %pesas
    h=1; %altura polea
    l=1.5; %longitud cuerda
    x0=0.8;
    [t,x]=ode45(@aceleracion,[0,5.4],[x0,0]);
    y=l-sqrt(x(:,1).^2+h^2);
    plot(t,x(:,1),t,y) %tiempo t, posición y
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('x,y');
    legend('x','y','location','best')
    title('Movimiento')
    %conservación de la energía
    y0=l-sqrt(x0^2+h^2);
    E0=-M*9.8*y0;
    vy=-(x(:,1).*x(:,2))./sqrt(x(:,1).^2+h^2);
    E=-M*9.8*y+M*vy.^2/2+m*x(:,2).^2/2;
    disp(E0)
    disp(E)
    
   function z=aceleracion(~,x)
       a=(M/m)*x(1)^2/(x(1)^2+h^2)+1;
       b=-(M/m)*(9.8+h^2*x(2)^2/(x(1)^2+h^2)^(3/2))*x(1)/sqrt(x(1)^2+h^2);
       z=[x(2); b/a]; 
   end 
end

Mientras bloque se desplaza desde x₀ a x=0, las pesas se desplazan desde
$y_0=l-\sqrt{x_0^2+h^2}$, a y=l-h. Un cuarto de periodo después el bloque se encuentra en -x₀ y las pesas en y₀

Comprobamos la conservación de la energía

    -1.7199 %incial E0

    -1.7199 
    -1.7199 %en el instante t, E
   ...
   -1.7093
   -1.7094

El procedimiento numérico ode45 en este caso, no produce excelentes resultados como en otras ocasiones

Con rozamiento

Cuando hay rozamiento, la fuerza de rozamiento F_r=μ_kN, se opone al movimiento del bloque. Cuando el bloque se mueve a lo largo del eje X hacia la izquierda (dx/dt<0) la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha, es positiva. Cuando se mueve hacia la derecha (dx/dt>0) es negativa

${\displaystyle \begin{array}{l}N=mg-T\sin \theta \\ m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-T\cos \theta +F_r\\ m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-T\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}-{\mu }_k\left(mg-T\frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}}\right)·\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\end{array}}$

La función sgn(dx/dt) determina el signo de la velocidad del bloque.

Eliminamos la tensión T en las ecuaciones del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-T\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}-{\mu }_k\left(mg-T\frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}}\right)·\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\ M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=Mg-T\end{array}}$

Con la relación establecida en el apartado anterior entre las aceleraciones a la largo del eje X y a lo largo del eje Y, obtenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{M}{m}\left(g-\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}-{\mu }_k\left(g-\frac{M}{m}\left(g-\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)\frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}}\right)·\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-g{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(g-\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)\frac{M}{m}\frac{\left(-x+h{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\right)}{\sqrt{x^2+h^2}}\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-g{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(g+\frac{h^2}{{\left(x^2+h^2\right)}^{3/2}}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\right)\frac{M}{m}\frac{\left(-x+h{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\right)}{\sqrt{x^2+h^2}}\end{array}}$

La ecuación diferencial que describe el movimiento del bloque es

${\displaystyle \left(1+\frac{M}{m}\frac{x\left(x-h{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\right)}{x^2+h^2}\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+g{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)+\left(g+\frac{h^2}{{\left(x^2+h^2\right)}^{3/2}}{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2\right)\frac{M}{m}\frac{\left(x-h{\mu }_k\mathrm{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right)\right)}{\sqrt{x^2+h^2}}=0}$

La posición y de las pesas es

${\displaystyle y=l-\sqrt{x^2+h^2}}$

Comprobamos que cuando μ_k=0, (no hay rozamiento), obtenemos la ecuación del movimiento del apartado anterior

Cuando se detiene (la velocidad es nula pero no lo es la aceleración) se calcula la tensión T de la cuerda a partir de la ecuación del movimiento del bloque. Se comprueba si la componente horizontal de la tensión de la cuerda Tcosθ supera el máximo valor de la fuerza de rozamiento μ_sN=μ_s(mg-Tsinθ) en cuyo caso el movimiento del bloque continúa. En caso contario, el bloque se detiene

Energías

Se ha tomado como nivel cero de energía potencial, la altura 2h-l de la posición y=l-h de las pesas, cuando el bloque se encuentra en el origen x=0

• Energía potencial cuando la posición de las pesas es y, E_p=Mg(l-h-y). Cuando y=l-h la energía potencial E_p es nula

• La energía cinética del bloque es

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2}$

• La energía cinética de las pesas es

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}M{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=\frac{1}{2}M{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\frac{dx}{dt}\right)}^2}$

La suma de las tres contribuciones es la energía E del sistema

La energía inicial, es la potencial de las pesas cuando el bloque se ha desplazado a x₀

${\displaystyle E_0=Mg\left(\sqrt{x_0^2+h^2}-h\right)}$

La diferencia E-E₀ es el trabajo de la fuerza de rozamiento

Actividades

Se introduce

• La masa del las pesas que cuelgan M, en el control titulado Masa pesas
• La masa del bloque se ha fijado en m=1 kg
• El coeficiente de rozamiento μ_s=μ_k, en el control titulado Coef. rozamiento
• La posición inicial del bloque, x₀ en el control titulado Posición
• La longitud de la cuerda se ha fijado en l=1.5 m
• La altura de la polea se ha fijado en h=1 m

El bloque no se puede desplazar hacia la derecha más de $x_0=\sqrt{l^2-h^2}$

El programa interactivo muestra el balance energético

La energía E se divide en dos sectores: energía potencial (sector azul) de las pesas y la cinética (sector rojo) del bloque y las pesas . El radio del círculo que representa la energía total E va disminuyendo. Parte de la energía inicial E₀ se va transformando en trabajo de la fuerza de rozamiento (en color negro)

En la parte superior derecha, se porporcionan los datos de

• El tiempo t
• La posición x del bloque
• La velocidad dx/dt del bloque
• La posición y de las pesas

Otra variante de la máquina de Atwood

Se trata de una máquina de Atwood en forma de V. En el vértice hay una polea móvil, los extremos distan 2r y el ángulo entre las cuerdas es 2θ

La polea móvil soporta un peso M. La cuerda pasa por una polea fija, del extremo libre de la cuerda cuelga un peso m, tal como se muestra en la figura.

Supondremos que la cuerda de longitud L es inextensible y de masa despreciable y que no hay rozamiento en las dos poleas de pequeñ,o radio.

y es el desplazamiento de la polea móvil, x el desplazamiento del peso m y θ es la mitad del ángulo del vértice. La relación es

${\displaystyle \begin{array}{l}L=x+2\sqrt{y^2+r^2}\\ \tan \theta =\frac{r}{y}\end{array}}$

Derivamos respecto del tiempo, relacionando velocidades y aceleracciones

${\displaystyle \begin{array}{l}0=\frac{dx}{dt}+\frac{2y}{\sqrt{y^2+r^2}}\frac{dy}{dt}\\ 0=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{2y}{\sqrt{y^2+r^2}}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{2r^2}{{\left(y^2+r^2\right)}^{3/2}}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2\end{array}}$

Ecuaciones del movimiento

• Polea móvil



Sea T la tensión de la cuerda. En la figura, se muestran las fuerzas sobre la polea móvil. La ecuación del movimiento es

${\displaystyle Mg-2T\cos \theta =M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$

 

• Peso m

En la figura, se muestran las fuerzas sobre el peso m. La ecuación del movimiento es



${\displaystyle mg-T=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$

Eliminamos la tensión T en el sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle Mg-2mg\cos \theta =M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\cos \theta }$

Es más conveniente resolver una única ecuación diferencial en términos de ángulo θ y su derivada

Aceleración del peso m

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos \theta =\frac{y}{\sqrt{y^2+r^2}},r^2+y^2=r^2\left(1+\frac{1}{{\tan }^2\theta }\right)=\frac{r^2}{{\sin }^2\theta }\\ \tan \theta =\frac{r}{y},\frac{dy}{dt}=-\frac{r}{{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{dt}\\ 0=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{2y}{\sqrt{y^2+r^2}}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{2r^2}{{\left(y^2+r^2\right)}^{3/2}}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2\\ 0=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\cos \theta \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{2r^2}{{\left(\frac{r^2}{{\sin }^2\theta }\right)}^{3/2}}{\left(-\frac{r}{{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-2\cos \theta \frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{2r}{\sin \theta }{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\end{array}}$

Aceleración de la polea móvil

${\displaystyle \begin{array}{l}Mg-2mg\cos \theta =M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\cos \theta \\ Mg-2mg\cos \theta =M\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2m\left(2\cos \theta \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{2r}{\sin \theta }{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)\cos \theta \\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{Mg-2mg\cos \theta -4mr\frac{\cos \theta }{\sin \theta }{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}{M+4m{\cos }^2\theta }\end{array}}$

Obtenemos la ecuación diferencial en términos del ángulo θ, teniendo en cuenta que

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \theta =\frac{r}{y}\\ \frac{dy}{dt}=-\frac{r}{{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-r\frac{\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-2\cot \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}{{\sin }^2\theta }\end{array}}$

Resolveremos la ecuación diferencial en θ por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales. En el instante t=0, θ=θ₀, dθ/dt=0

${\displaystyle \begin{array}{l}-r\frac{\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-2\cot \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}{{\sin }^2\theta }=\frac{Mg-2mg\cos \theta -4mr\cot \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}{M+4m{\cos }^2\theta }\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=2\cot \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{{\sin }^2\theta }{r}\frac{2mg\cos \theta -Mg+4mr\cot \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}{M+4m{\cos }^2\theta }\end{array}}$

Conservación de la energía

${\displaystyle E=-Mgy+\frac{1}{2}M{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2-mgx+\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2}$

En términos del ángulo θ

${\displaystyle \begin{array}{l}x=L-2\sqrt{y^2+r^2}=L-2\sqrt{{\left(\frac{r}{\tan \theta }\right)}^2+r^2}=L-2\frac{r}{\sin \theta }\\ \frac{dx}{dt}=2r\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{dt}\\ E=-Mg\frac{r}{\tan \theta }+\frac{1}{2}M{\left(-\frac{r}{{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-mg\left(L-2\frac{r}{\sin \theta }\right)+\frac{1}{2}m{\left(2r\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\\ E=\frac{r^2}{{\sin }^4\theta }\left(\frac{1}{2}M+2m{\cos }^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\frac{Mgr}{\tan \theta }+\frac{2mgr}{\sin \theta }-mgL\end{array}}$

Podemos omitir el último término que es constante

Solución numérica

Resolvemos la ecuación diferencial en θ utilizando el procedimiento ode45 de MATLAB. Terminaremos el procedimiento cuando la velocidad dθ/dt=0, se detiene el movimiento, o cuando el ángulo θ sea mayor de 75°, con el fin de evitar que alcance los 90°

Datos

• Masa del bloque unido a la polea móvil, M=5 kg
• Masa que cuelga del extremo libre, m=7 kg
• Angulo inicial entre las cuerdas, θ₀=65°
• Separación, r=3 m

function atwood_8
    M=5;
    m=7;
    th_0=65*pi/180; %ángulo inicial
    r=3;
    opts=odeset('events',@stop_atwood);
    f=@(t,x)[x(2); 2*x(2)^2/tan(x(1))+sin(x(1))^2*(2*m*9.81*cos(x(1))-
M*9.81+4*m*r*x(2)^2/tan(x(1)))/(r*(M+4*m*cos(x(1))^2))];
    [t,x]=ode45(f,[0,2],[th_0,0],opts);
    %aceleraciones
    a1=-(M*9.81-2*m*9.81*cos(x(:,1))-4*m*r*x(:,2).^2./tan(x(:,1))).
/(M+4*m*cos(x(:,1)).^2);
    a2=2*cos(x(:,1)).*a1-(2*r*x(:,2).^2)./sin(x(:,1));
    hold on
    plot(t,a1)
    plot(t,a2)
    hold off
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('a');
    legend('a_1','a_2','location', 'best')
    title('Máquina de Atwood')
    
    figure %velocidad
    plot(t,x(:,2))
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('d\theta/dt');
    title('Máquina de Atwood')
    disp(x(end,1)*180/pi)
   
   %energía
    E=(r^2*(M/2+2*m*cos(x(:,1)).^2).*x(:,2).^2)./(sin(x(:,1)).^4)-
M*9.81*r./tan(x(:,1))+2*m*9.81*r./sin(x(:,1));
    disp(E)

    function [value,isterminal,direction]=stop_atwood(~,x)
        value=[x(2), x(1)-75*pi/180];  
        isterminal=[1, 1];
        direction=[-1,1]; 
    end
end

El script de MATLAB realiza las siguientes tareas:

• Representa la aceleración a₁=-d²y/dt² (hacia arriba) de la masa M, unida a la polea móvil y la aceleración de la masa m que cuelga del extremo libre, a₂=d²x/dt² (hacia abajo).

Las pesas m y M parten del reposo, se aceleran y luego, se frenan. En un instante dado, la aceleración se hace nula



• Representa la velocidad dθ/dt en función del tiempo

La velocidad se incrementa, se hace máxima en un instante determinado, disminuye y se anula cuando el ángulo θ=73.26°. Para este ángulo, el sistema vuelve a estar en reposo



73.2642

Comprobamos que la energía se mantiene constante

  385.9966
  385.9966
  ....
  385.9966

Referencias

H J Herrera Suárez, M Machado-Higuera, J H Muñoz. Two blocks connected by a string with variable tension: a dynamic case. Phys. Educ. 55 (2020) 055022

Carl E Mungan. Comment on 'Two blocks connected by a string with variable tension: a dynamic case'. Phys. Educ. 56 (2021) 028001

Salam Sakr. Counterintuitive mass dependence in a variable-geometry Atwood machine. Eur. J. Phys. 47 (2026) 035013