Movimiento de dos bloques superpuestos

En las páginas previas, se ha estudiado problema del movimiento de un bloque sobre una superficie rugosa, ya sea horizontal o inclinada un cierto ángulo.

Las fuerzas sobre el bloque que desliza sobre una superficie horizontal son:

El peso, mg
La reacción del plano N=mg
La fuerza de rozamiento f
La fuerza aplicada P.

La máxima fuerza de rozamiento es F=μN

Si la fuerza aplicada P es menor que F entonces la fuerza de rozamiento f es igual a la fuerza aplicada P.

P≤F entonces f=P, el cuerpo permanece en reposo a=0

Si la fuerza aplicada P es mayor que F, la fuerza de rozamiento f se toma como constante e igual al valor máximo F, independiente del valor de P. Por simplicidad, supondremos que los valores de los coeficientes estático μ_s y cinético μ_k, coinciden, μ_k=μ_s .

P≥F entonces f=F, el cuerpo se mueve con una aceleración a=(P-F)/m

Movimiento de dos bloques superpuestos

El problema del movimiento de dos bloques superpuestos que pueden deslizar uno sobre el otro, es mucho más complejo como apreciaremos a lo largo de esta página.

Se aplica una fuerza P₂ al bloque inferior de masa m₂
Se aplica una fuerza P₁ al bloque superior de masa m₁

f₁ es la fuerza de rozamiento que describe la interacción entre las moléculas de las superficies de los dos bloques en contacto, su máximo valor es F₁.

f₂ es la fuerza de rozamiento que describe la interacción entre las moléculas de la superficie del bloque inferior y las del plano horizontal sobre el que descansa, su máximo valor es F₂.

Las fuerzas sobre el bloque superior de masa m₁ son:

El peso m₁g
La reacción de la superficie del bloque inferior sobre al que se apoya N₁=m₁g
La fuerza de rozamiento f₁
La fuerza aplicada P₁

Las fuerzas sobre el bloque inferior de masa m₂ son:

El peso m₂g
La reacción del bloque superior N₁
La reacción del plano horizontal sobre el que se apoya N₂=N₁+m₂g
La fuerza de rozamiento f_2,en la cara inferior
La fuerza de rozamiento f_1,en la cara superior
La fuerza aplicada P₂

Como vemos, hay dos fuerzas de interacción entre los dos cuerpos (iguales y de sentido contrario), la fuerza de rozamiento f₁ en las superficies en contacto y la reacción N₁.

Las ecuaciones del movimiento son:

P₁-f₁=m₁a₁P₂-f₂+f₁=m₂a₂

con |f₁|≤F₁ y |f₂|≤F₂

Por razones de simetría, el movimiento de los dos cuerpos cuando P₁>0 y P₂>0 es semejante al movimiento de los cuerpos cuando P₁<0 y P₂<0 pero en sentido contrario.

Del mismo modo, el movimiento de ambos cuerpos cuando P₂>0 y P₁<0 es semejante al movimiento de los cuerpos cuando P₂<0 y P₁>0 pero en sentido contrario.

Estudiaremos por tanto, el movimiento de ambos cuerpos cuando P₂ es positivo y P₁ es positivo o negativo.

Supondremos además que F₂>F₁, esta condición se cumple siempre si el coeficiente de rozamiento μ=μ_k=μ_s entre las superficies en contacto es el mismo.

F₂=μN₂=μ(m₁g+m₂g)
F₁=μN₁=μ(m₁g)

Diagrama de fases

Los tipos de movimientos que caben esperar para distintos pares de valores de la fuerza aplicada (P₁, P₂), siendo P₁ una fuerza positiva o negativa, y P₂ una fuerza positiva, son:

Que los dos bloques permanezcan en reposo, a₁=0, a₂=0.
Que el bloque superior se mueva hacia la derecha a₁>0 y el inferior esté en reposo a₂=0.
Que los dos bloques se muevan con distinta aceleración hacia la derecha a₁>a₂ ó a₂>a₁
Que los dos bloques se muevan con la misma aceleración a₁=a₂
Que el bloque superior se mueva hacia la izquierda y el inferior hacia la derecha a₁<0 y a₂>0
Que el bloque inferior se mueva hacia la izquierda a₁<0 y el inferior permanezca en reposo a₂=0.

Para analizar los distintos casos, dibujaremos un diagrama de fases, con P₁ en el eje vertical y P₂ en el eje horizontal.

Fase 0

Las ecuaciones de equilibrio de los dos cuerpos son:

P₁-f₁=0
P₂-f₂+f₁=0

El bloque superior empieza a deslizar cuando f₁=F₁. Para que este bloque permanezca en reposo, se tiene que cumplir que |P₁|<F₁

El bloque inferior empieza a deslizar cuando f₂=F₂. Para que este bloque permanezca en reposo, se tiene que cumplir que |P₂+P₁|<F₂

La recta P₁=-P₂+F₂ junto a las rectas P₁=F₁ y P₁=-F₁, delimitan la región en color amarillo que señala la fase 0.

Los dos puntos de intersección de la recta inclinada y las rectas horizontales son:

(F₂-F₁, F₁) y (F₂+F₁, -F₁)

señalados en la gráfica

Las fuerzas de rozamiento valen

f₁=P₁f₂=P₁+P₂

Las aceleraciones valen

a₁=0
a₂=0

Fase 1

Cuando P₁≥F₁ el bloque superior empieza a deslizar, la fuerza de rozamiento f₁=F₁.

El bloque inferior permanece en reposo mientras que |f₂|<F₂, es decir, mientras que P₂<F₂-F₁

La fase 1 está delimitada por el eje vertical P₂=0, las recta horizontal P₁=F₁ y la recta vertical P₂=F₂-F₁

Las fuerzas de rozamiento valen

f₁=F₁f₂=P₂+F₁

Las aceleraciones valen

$a_{1} = \frac{P_{1} - F_{1}}{m_{1}} > 0 a_{2} = 0$

Fase 6

Cuando P₁≤-F₁ el bloque superior empieza a deslizar hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento f₁=-F₁ cambia de sentido.

El bloque inferior permanece en reposo, mientras que |f₂|<F₂, es decir, mientras que P₂<F₂+F₁

La fase 6 está delimitada por el eje vertical P₂=0, las recta horizontal P₁=-F₁ y la recta vertical P₂=F₂+F₁

Las fuerzas de rozamiento valen

f₁=-F₁f₂=P₂-F₁

Las aceleraciones valen

$a_{1} = \frac{P_{1} - F_{1}}{m_{1}} < 0 a_{2} = 0$

Fase 5

Cuando P₁≤-F₁ y P₂≥F₂+F₁ los dos bloques se mueven en sentidos contrarios, el superior hacia la izquierda y el inferior hacia la derecha

Las fuerzas de rozamiento valen

f₁=-F₁f₂= F₂

Las aceleraciones valen

$a_{1} = \frac{P_{1} + F_{1}}{m_{1}} < 0 a_{2} = \frac{P_{2} - F_{1} - F_{2}}{m_{2}} > 0$

Fase 3

Los dos bloques tienen la misma aceleración a₁=a₂=a siempre que el bloque superior esté en reposo sobre el bloque inferior, es decir, siempre que |f₁|<F₁, mientras que el bloque inferior desliza f₂=F₂.

Las ecuaciones del movimiento son

P₁-f₁=m₁a
P₂-F₂+f₁=m₂a

Eliminando f₁ en el sistema de dos ecuaciones, obtenemos la aceleración

$a_{1} = a_{2} = \frac{P_{2} + P_{1} - F_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Eliminado la aceleración a obtenemos la fuerza de rozamiento f₁

$f_{1} = \frac{m_{2} P_{1} - m_{1} P_{2} + m_{1} F_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Como |f₁|<F₁ esta región está limitada por la recta

$F_{1} = \frac{m_{2} P_{1} - m_{1} P_{2} + m_{1} F_{2}}{m_{1} + m_{2}} P_{1} = \frac{m_{1}}{m_{2}} (P_{2} - F_{2}) + \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}} F_{1}$

de pendiente m₁/m₂ y que pasa por el punto (F₂-F₁, F₁) señalado en la figura

y la recta

$- F_{1} = \frac{m_{2} P_{1} - m_{1} P_{2} + m_{1} F_{2}}{m_{1} + m_{2}} P_{1} = \frac{m_{1}}{m_{2}} (P_{2} - F_{2}) - \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}} F_{1}$

de pendiente m₁/m₂ y que pasa por el punto (F₂+F₁, -F₁) señalado en la figura

La fuerza de rozamiento f₁cambia de sentido en esta región. La línea que separa f₁>0 de f₁<0 tiene de ecuación f₁=0

m₂P₁-m₁P₂+m₁F₂=0

que es la recta de pendiente m₁/m₂ que pasa por el punto (F₂, 0)

$P_{1} = \frac{m_{1}}{m_{2}} (P_{2} - F_{2})$

Las fuerzas de rozamiento valen

$f_{1} = \frac{m_{2} P_{1} - m_{1} P_{2} + m_{1} F_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
f₂= F₂

Las aceleraciones valen

$a_{1} = a_{2} = \frac{P_{2} + P_{1} - F_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Fase 2

La fase 2 es la región de transición entre la región 1 y la región 3. Los dos bloques deslizan

Las fuerzas de rozamiento valen

f₁=F₁f₂= F₂

Las aceleraciones valen

$a_{1} = \frac{P_{1} - F_{1}}{m_{1}} > 0 a_{2} = \frac{P_{2} + F_{1} - F_{2}}{m_{2}} > 0$

Se puede comprobar que a₁>a₂

Fase 4

La fase 4 es la región de transición entre la región 3 y la región 5. Los dos bloques deslizan

Las fuerzas de rozamiento valen

f₁=-F₁f₂= F₂

Las aceleraciones valen

$a_{1} = \frac{P_{1} + F_{1}}{m_{1}} > 0 a_{2} = \frac{P_{2} - F_{1} - F_{2}}{m_{2}} > 0$

Se puede comprobar que a₁<a₂

Cuando P₁=-F₁ entonces a₁=0, esta es la línea de separación entre las fases 4 y 5

Actividades

Se introduce

La masa m₁ del bloque superior, en el control titulado Bloque
La masa m₂ del bloque inferior, en el control titulado Plataforma
El coeficiente de rozamiento μ=μ_k=μ_s entre las superficies en contacto, en el control titulado Coef. rozamiento.
La aceleración de la gravedad se ha fijado en g=10 m/s².

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior izquierda, se muestra el diagrama de fases.

Con el puntero del ratón se mueve un pequeño círculo de color negro, para establecer los valores de las fuerzas aplicadas P₁ y P₂ en el bloque y la plataforma, respectivamente.

Se pulsa el botón titulado ►

En la parte derecha, se muestra los valores de

Las fuerzas aplicadas en los respectivos bloques P₁ y P₂
Las fuerzas de rozamiento f₁ y f₂
Los valores máximos de las fuerzas de rozamiento F₁ y F₂
Las aceleraciones de los bloques a₁ y a₂

En la parte inferior, se muestran los dos bloques superpuestos y se dibujan las fuerzas que actúan sobre cada uno de los bloques.

Como detalle final, cabe mencionar, que cuando el bloque superior desliza sobre el bloque inferior y llega a su extremo, ambos bloques se mueven juntos.

Se invita al lector, a calcular las aceleraciones de los bloques a₁ y a₂ y las fuerzas de rozamiento f₁ y f₂ para distintos pares de valores de las fuerzas aplicadas P₁ y P₂.

Bloque encima: Plataforma:
Coef. rozamiento:

Arrastre con el puntero del ratón el pequeño círculo de color negro

Referencias

Thomsen J. S. Coulomb friction with several blocks. Am. J. Phys. 21 (1953) pp. 446-452