Un cuerpo A cuelga de una cuerda que pasa a través de una polea de masa despreciable y que está unida a un bloque B que puede deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sobre el bloque B se coloca un cuerpo C. Se supone que el rozamiento entre el cuerpo B y el plano horizontal es despreciable. Mientras que existe un rozamiento entre el cuerpo C y el cuerpo B.

En la figura, vemos el diagrama de fuerzas, a partir del cual obtenemos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos en las distintas situaciones

• Cuando el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B.



Ambos tienen la misma aceleración a que la del cuerpo A

Movimiento del cuerpo A

m_Ag-T=m_A·a

Movimiento del cuerpo B

T-F_r=m_B·a

Movimiento del cuerpo C

F_r=m_C·a

La fuerza de rozamiento F_r es la que hace que el cuerpo C se mueva con el cuerpo B: el cuerpo B ejerce una fuerza F_r sobre el cuerpo C dirigida hacia la derecha. Por el Principio de Acción y Reacción el cuerpo C ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre el cuerpo B.

De éstas ecuaciones obtenemos la aceleración a y la fuerza F_r de rozamiento entre los cuerpos B y C.

${\displaystyle a=\frac{m_{A}g}{m_A+m_B+m_C}}$

• Cuando el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B

Cuando F_r=m_C·a alcance el valor máximo μ_s·N o bien, μ_s·m_C·g, el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B. μ_s es el coeficiente estático.

Incrementando la masa de A, incrementamos la aceleración, en el momento en el que el cuerpo C va a empezar a deslizar se cumple que

a=μ_sg

Calculamos la aceleración crítica a, a partir de los valores de las masas m_A, m_B y m_C en la fórmula anterior y a continuación, obtenemos el valor del coeficiente estático.

• Cuando el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B



Cuando se incrementa aún más la masa de A, se incrementa la aceleración a, el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y vale ahora

F_r=μ_km_C·g

Donde μ_k es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento.

Las aceleraciones a del cuerpo B y la aceleración a' del cuerpo C ya no son las mismas

• Movimiento del cuerpo A, m_Ag-T=m_A·a

• Movimiento del cuerpo B, T-F_r=m_B·a

• Movimiento del cuerpo C, F_r=m_C·a’

• Fuerza de rozamiento, F_r=μ_k·m_C·g

${\displaystyle a=\frac{m_A-{\mu }_k{m}_C}{m_A+m_B}ga\text{'}={\mu }_{k}g}$

Como la aceleración a de B, es mayor que la aceleración a’ de C, la aceleración relativa de C respecto de B, es a’-a. Desde el punto de vista de un observador situado en B, el cuerpo C se mueve hacia atrás con una aceleración |a’-a|.

El cuerpo C tarda en llegar al final del cuerpo B un tiempo t, dado por

${\displaystyle x=\frac{1}{2}\left|a\text{'}-a\right|t^2}$

donde x es la distancia recorrida del cuerpo C sobre el cuerpo B.

La velocidad con respecto al Laboratorio del cuerpo C cuando abandona el cuerpo B será

${\displaystyle v_C=a\text{'}t}$

donde t es el tiempo que C está deslizando sobre B.

En el momento en el que el cuerpo C abandona el bloque B, la aceleración del sistema formado por los bloques A y B cambia,

• Movimiento del cuerpo A, m_Ag-T=m_A·a

• Movimiento del cuerpo B, T=m_B·a

${\displaystyle a=\frac{m_A}{m_A+m_B}g}$

• El cuerpo C abandona el cuerpo B



Ahora el cuerpo C que tiene una velocidad inicial v_C dirigida hacia la derecha, se mueve bajo la sola influencia de su peso. Describe, por tanto, un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad, o un tiro parabólico.

El tiempo que tarda en llegar al plano horizontal es

${\displaystyle h=\frac{1}{2}g{t}^2}$

donde h es la altura del bloque B.

La distancia que recorre horizontalmente es

x=v_Ct

• El cuerpo C desliza sobre el plano horizontal



Una vez que el cuerpo C entra en contacto con el plano horizontal, sobre el cuerpo C actúa una fuerza de rozamiento que hace que se pare al cabo de un cierto tiempo.

Suponemos que la fuerza de rozamiento entre el plano horizontal y el bloque C, es la misma que entre el bloque C y el bloque B. El cuerpo C, con una velocidad inicial horizontal v_C, se parará después de haber recorrido una distancia x, dada por

${\displaystyle \begin{array}{l}0=v_C-{\mu }_{k}gtx=v_{C}t-\frac{1}{2}{\mu }_{k}g{t}^2\\ x=\frac{v_C^2}{2{\mu }_{k}g}\end{array}}$

Ejemplos

Supongamos que los coeficientes de rozamiento son:

• Coeficiente estático μ_s=0.34
• Coeficiente cinético μ_k=0.25

Las masas de los bloques B y C están fijadas por el programa interactivo

• Masa del bloque B, m_B=2.5 kg
• Masa del bloque C, m_C=1.5 kg

La masa del bloque A se puede cambiar.

Ejemplo 1

Masa del bloque A, m_A=1.3 kg

Observamos que el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B, la aceleración vale

${\displaystyle a=\frac{m_A}{m_A+m_B+m_C}g=\frac{1.3}{1.3+2.5+1.5}9.8=2.40{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

La fuerza de rozamiento F_r que hace que el cuerpo C se mueva con aceleración a es

F_r=m_C·a=1.5·2.4=3.60 N

Que  es inferior a la máxima μ_s·N=μ_s·m_C·g=0.34·1.5·9.8=5.0 N

Ejemplo 2

Masa del bloque A, m_A=6.3 kg

Si suponemos que el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B, la aceleración vale

${\displaystyle a=\frac{m_A}{m_A+m_B+m_C}g=\frac{6.3}{6.3+2.5+1.5}9.8=5.99{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

La fuerza de rozamiento F_r que que hace que el cuerpo C se mueva con aceleración a es

F_r=m_C·a=1.5·5.99=8.99 N

Que como vemos es superior al máximo valor μ_s·N=μ_s·m_C·g=0.34·1.5·9.8=5.0 N

• El cuerpo C desliza sobre el bloque B.

La fuerza que actúa sobre el cuerpo C es la de rozamiento F_r= μ_k·N= μ_k·m_C·g=0.25·1.5·9.8=3.67 N, y su aceleración vale a'= μ_k·g=0.25·9.8=2.45 m/s²

La aceleración de los bloques A y B valen ahora

${\displaystyle a=\frac{m_A-{\mu }_k{m}_C}{m_A+m_B}g=\frac{6.3-0.25·1.5}{6.3+2.5}=6.60{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

El bloque C desliza hacia atrás con una aceleración de a-a'=4.15 m/s² sobre el bloque B. Como el bloque B mide 0.5 m de largo, tarda un tiempo t₁=0.49 s en abandonarlo con una velocidad de v_C=a'·t₁=2.45·0.49=1.20 m/s

En este tiempo el bloque B se habrá desplazado

${\displaystyle x_B=\frac{1}{2}a{t}_1^2=\frac{1}{2}6.60·{0.49}^2=0.79\text{m}}$

y tendrá una velocidad de v_B=a·t₁=6.60·0.49=3.24 m/s

El cuerpo C se habrá desplazado

${\displaystyle x_C=\frac{1}{2}{a}_C{t}_1^2=\frac{1}{2}2.45·{0.49}^2=0.30\text{m}}$

A partir de este instante, la aceleración del sistema formado por el bloque A y el B cambia y vale

${\displaystyle a=\frac{m_A}{m_A+m_B}g=\frac{6.3}{6.3+2.5}9.8=7.02{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

• El cuerpo C describe una trayectoria parabólica hasta que llega al suelo.

Como la altura del bloque B es de 0.25 m el tiempo que tarda en llegar al suelo es t₂=0.23 s.

El desplazamiento del cuerpo C en este tiempo será v_C·t₂=1.20·0.23=0.27 m

La posición del cuerpo C cuando toca el suelo será la suma de ambos desplazamientos

x_C=0.30+0.27=0.57 m

Esta es la posición del cuerpo C en el instante t₁+t₂=0.49+0.23=0.72 s.

• El cuerpo C desliza con rozamiento sobre el suelo hasta que se para.

La velocidad inicial del cuerpo C es v_C. El tiempo que tarda en parase

${\displaystyle t_3=\frac{v_C}{{\mu }_{k}g}=\frac{1.2}{0.25·9.8}=0.49\text{s}}$

El desplazamiento del móvil C durante este tiempo es de 0.29 m

La posición de C en el instante t₁+t₂+t₃=0.49+0.23+0.49=1.21 s. es

x_C=0.57+0.29=0.86 m

El desplazamiento del bloque B desde el instante t₁=0.49 s en el que se desprende el bloque C al instante t=1.21 s en el que se para el bloque C vale

${\displaystyle v_B(t-t_1)+\frac{1}{2}a{\left(t-t_1\right)}^2=3.24·0.72+\frac{1}{2}7.02·{0.72}^2=4.15\text{m}}$

La posición del cuerpo B será x_B=0.79+4.15=4.94 m. Esta posición no aparece en la simulación ya que el máximo desplazamiento de B es de 2.3 m.

Ejemplo 3

Determinación del coeficiente estático

Se modifica la masa de A hasta observar que el bloque C comienza a moverse sobre el bloque B. Por ejemplo, observamos que el bloque C no se mueve cuando la masa de A, m_A=2.0, y observamos que el bloque C se mueve cuando m_A=2.1 kg.

Si refinamos un poco las medidas, veremos que el bloque C no se mueve cuando m_A=2.05 y se mueve cuando m_A=2.06.

La aceleración crítica del sistema tomando m_A=2.05  es

${\displaystyle a=\frac{m_A}{m_A+m_B+m_C}g=\frac{2.05}{2.05+2.5+1.5}9.8=3.32{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

El coeficiente estático valdrá entonces a=μ_sg, por lo que μ_s=0.34, que es el dato que nos ha suministrado el programa interactivo.

Actividades

Las masas de los bloques B y C vienen fijadas por el programa en 2.5 y 1.5 kg respectivamente. La masa de A se puede cambiar para modificar la aceleración del sistema. A continuación, se pulsa el botón Nuevo.

Si el bloque C no se mueve sobre el bloque B, incrementamos la masa de A y volvemos a pulsar el botón Nuevo y así sucesivamente, hasta que el bloque empiece a deslizar.

Activando la casilla titulada Fuerzas se representan los vectores fuerza que actúan sobre el bloque C . Apreciamos como aumenta la fuerza de rozamiento a medida que aumenta la aceleración del sistema mientras el bloque C está en reposo sobre el bloque B.

Cuando la fuerza de rozamiento alcanza el valor máximo, el bloque C empieza a deslizar sobre el bloque B, ambos bloques B y C tienen entonces distinta aceleración. El bloque C desliza hacia atrás visto por un observador situado en el bloque B.

Ejercicio

El sistema de la figura, está formado por dos partículas de masas m₁ y m₂ situadas sobre dos planos inclinados de ángulos θ₁ y θ₂, respectivamente. Las partículas están unidas por una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea ideal.

Los planos no son lisos, hay rozamiento entre las partículas y los planos inclinados, cuyo coeficiente estático es μ_s.

Las masas m₁ y m₂ se eligen de modo que el sistema está a punto de deslizar hacia la derecha

¿Cuanta masa Δm₁ hemos de añadir a la a partícula de masa m₁ para que el sistema esté a punto de deslizar hacia la izquierda?

• Está a punto de deslizar hacia la derecha



Las fuerzas sobre la partícula de masa m₁ son

• El peso, m₁g
• La reacción del plano, N₁=m₁gcosθ₁
• La fuerza de rozamiento, F₁=μ_sN₁=μ_sm₁gcosθ₁
• La tensión de la cuerda, T

En la situación de equilibrio

${\displaystyle T=m_{1}g\sin {\theta }_1+{\mu }_s{m}_{1}g\cos {\theta }_1}$

Las fuerzas sobre la partícula de masa m₂ son

• El peso, m₂g
• La reacción del plano, N₂=m₂gcosθ₂
• La fuerza de rozamiento, F₂=μ_sN₂=μ_sm₂gcosθ₂
• La tensión de la cuerda, T

En la situación de equilibrio

${\displaystyle T+{\mu }_s{m}_{2}g\cos {\theta }_2=m_{2}g\sin {\theta }_2}$

Eliminando la tensión, T

${\displaystyle m_1\sin {\theta }_1+{\mu }_s{m}_1\cos {\theta }_1=m_2\sin {\theta }_2-{\mu }_s{m}_2\cos {\theta }_2}$

Llamamos μ_s=tanλ

${\displaystyle \begin{array}{l}{m}_1\sin {\theta }_1+m_1\cos {\theta }_1\tan \lambda =m_2\sin {\theta }_2-m_2\cos {\theta }_2\tan \lambda \\ m_1\left(\sin {\theta }_1\cos \lambda +\cos {\theta }_1\sin \lambda \right)=m_2\left(\sin {\theta }_2\cos \lambda -\cos {\theta }_2\sin \lambda \right)\\ m_1\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2-\lambda \right)\end{array}}$

• Se añade la masa Δm₁ para que esté a punto de deslizar hacia la izquierda



Las fuerzas sobre la partícula de masa m₁+Δm₁, son

• El peso, (m₁+Δm₁)g
• La reacción del plano, N₁=(m₁+Δm₁)gcosθ₁
• La fuerza de rozamiento, F₁=μ_sN₁=μ_s(m₁+Δm₁)gcosθ₁
• La tensión de la cuerda, T

En la situación de equilibrio

${\displaystyle T+{\mu }_s\left(m_1+\Delta m_1\right)g\cos {\theta }_1=\left(m_1+\Delta m_1\right)g\sin {\theta }_1}$

Las fuerzas sobre la partícula de masa m₂ son

• El peso, m₂g
• La reacción del plano, N₂=m₂gcosθ₂
• La fuerza de rozamiento, F₂=μ_sN₂=μ_sm₂gcosθ₂
• La tensión de la cuerda, T

En la situación de equilibrio

${\displaystyle T=m_{2}g\sin {\theta }_2+{\mu }_s{m}_{2}g\cos {\theta }_2}$

Eliminando la tensión T

${\displaystyle \left(m_1+\Delta m_1\right)\sin {\theta }_1+{\mu }_s\left(m_1+\Delta m_1\right)\cos {\theta }_1=m_2\sin {\theta }_2+{\mu }_s{m}_2\cos {\theta }_2}$

Llamamos μ_s=tanλ

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(m_1+\Delta m_1\right)\left(\sin {\theta }_1\cos \lambda -\cos {\theta }_1\sin \lambda \right)=m_2\left(\sin {\theta }_2\cos \lambda -\cos {\theta }_2\sin \lambda \right)\\ \left(m_1+\Delta m_1\right)\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2+\lambda \right)\\ \Delta m_1\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2+\lambda \right)-m_1\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)\end{array}}$

Nos queda un sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{m}_1\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2-\lambda \right)\\ \Delta m_1\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2+\lambda \right)-m_1\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)\end{array}}$

Eliminamos m₁

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta m_1\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2+\lambda \right)-m_2\frac{\sin \left({\theta }_2-\lambda \right)}{\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)}\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)\\ \Delta m_1\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)=m_2\left\{\sin \left({\theta }_2+\lambda \right)\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)-\sin \left({\theta }_2-\lambda \right)\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)\right\}\end{array}}$

Simplificamos el primer miembro

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)=\left(\sin {\theta }_1\cos \lambda -\cos {\theta }_1\sin \lambda \right)\left(\sin {\theta }_1\cos \lambda +\cos {\theta }_1\sin \lambda \right)=\\ {\sin }^2{\theta }_1{\cos }^2\lambda -{\cos }^2{\theta }_1{\sin }^2\lambda ={\sin }^2{\theta }_1\left(1-{\sin }^2\lambda \right)-\left(1-{\sin }^2{\theta }_1\right){\sin }^2\lambda ={\sin }^2{\theta }_1-{\sin }^2\lambda \end{array}}$

Simplificamos el segundo miembro, empleando las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\\ \cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\\ \sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \left({\theta }_2+\lambda \right)\sin \left({\theta }_1+\lambda \right)-\sin \left({\theta }_2-\lambda \right)\sin \left({\theta }_1-\lambda \right)=\\ \frac{\cos \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)-\cos \left({\theta }_1+{\theta }_2+2\lambda \right)}{2}-\frac{\cos \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)-\cos \left({\theta }_1+{\theta }_2-2\lambda \right)}{2}=\\ \frac{\cos \left({\theta }_1+{\theta }_2-2\lambda \right)-\cos \left({\theta }_1+{\theta }_2+2\lambda \right)}{2}=\sin \left({\theta }_2+{\theta }_1\right)\sin \left(2\lambda \right)\end{array}}$

Finalmente, despejamos la masa añadida, Δm₁

${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta m_1\left({\sin }^2{\theta }_1-{\sin }^2\lambda \right)=m_2\sin \left({\theta }_2+{\theta }_1\right)\sin \left(2\lambda \right)\\ \Delta m_1=m_2\frac{\sin \left({\theta }_2+{\theta }_1\right)\sin \left(2\lambda \right)}{{\sin }^2{\theta }_1-{\sin }^2\lambda }\end{array}}$

Referencias

Indian National Physics Olympiad. Homi Bhabha Centre for Science Eduaction. Solved papers NSEP & INPhO, 2016-2018. Ejemplo 45, pp. 46