Movimiento de un bloque sobre una plataforma móvil

El bloque se mueve con velocidad constante

Una plataforma de masa M, se puede mover sobre la superficie horizontal de una mesa, sin rozamiento. Sobre la plataforma hay un bloque de masa m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la plataforma es μ. Tal como se aprecia en la figura, el bloque se une a un soporte mediante una cuerda. Un motor enrolla la cuerda de modo que el bloque mueve con velocidad constante v₀ respecto a la mesa.

Dibujamos las fuerzas sobre los dos bloques

Sobre el bloque actúan

El peso, mg
La reacción de la plataforma, N
La fuerza que ejerce la cuerda, T
La fuerza de rozamiento entre el bloque y la plataforma F_r=μ·N

Equilibrio en la dirección vertical, N=mg

Se mueve con velocidad constante v₀ en la dirección horizontal, T=F_r

Sobre la plataforma actúan

El peso, Mg
La reacción de superficie de la mesa, N'
Las fuerzas que ejerce el bloque sobre la plataforma, que por la tercera ley de Newton son iguales y de sentido contrario a las que ejerce la plataforma sobre el bloque, N y F_r=μ·mg

Equilibrio en la dirección vertical, N'=N+Mg=(m+M)g

Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección horizontal: Ma=F_r. La aceleración a de la plataforma es

$a = \frac{μ m g}{M}$

La plataforma parte del reposo y acelera hasta que su velocidad v se hace igual a la del bloque, v₀. A partir de ese momento, se mueven juntos. En esta etapa, tarda un tiempo t y se desplaza x_p

$\begin{array}{l} v_{0} = a t t = \frac{M v_{0}}{μ m g} \\ x_{p} = \frac{1}{2} \frac{M}{μ m g} v_{0}^{2} \end{array}$

El desplazamiento del bloque es

$x_{b} = v_{0} t = \frac{M}{μ m g} v_{0}^{2}$

El desplazamiento del bloque relativo a la plataforma es x_b-x_p

$Δ x = x_{b} - x_{p} = \frac{1}{2} \frac{M}{μ m g} v_{0}^{2}$

Actividades

Se introduce

La masa m del bloque, en el control titulado Masa A
La masa M de la plataforma, en el control titulado Masa B
El coeficiente de rozamiento μ entre las superficies del bloque y la plataforma en el control titulado Coef. rozamiento AB

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Masa A: Masa B:
Coef. rozamiento AB:

Un cuerpo que cae, tira del bloque

Supongamos un bloque C que está sobre una plataforma B. El bloque C está unido por una cuerda que pasa por una polea a un bloque A, tal como se muestra en la figura.

Se deja caer el bloque A y se observa el movimiento de la plataforma B sobre el plano horizontal y del bloque C sobre dicha plataforma.

La plataforma B de longitud L dispone de dos topes situados en sus extremos, que hacen que cuando el bloque C llegue a dichos extremos ambos se muevan con la misma velocidad.

Supondremos que la polea tiene masa despreciable de modo que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos. Supondremos también que los coeficientes estático y cinético de rozamiento entre las superficies en contacto tienen el mismo valor. El coeficiente de rozamiento entre el bloque C y la plataforma B sobre el que desliza vale μ_BC.El coeficiente entre la plataforma B y el plano horizontal sobre el que desliza vale μ_B

En la figura se muestran las fuerzas sobre los tres cuerpos

Sobre el bloque A actúan dos fuerzas:

El peso m_Ag
La tensión de la cuerda T

Sobre el bloque C actúan

El peso, m_Cg
La tensión de la cuerda, T
La reacción de la superficie sobre la que descansa, N_BC
La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento del bloque sobre dicha superficie, f_BC

Sobre la plataforma B actúan

El peso, m_Bg
La reacción de la superficie sobre la que descansa, N_B
Por el principio de acción y reacción, la plataforma B ejerce una fuerza N_BC sobre el bloque C y éste ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre la plataforma
Del mismo modo, la plataforma B ejerce una fuerza f_BC sobre el bloque C y éste ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre la plataforma
La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento de la plataforma sobre la superficie horizontal f_B

Los cuerpos están en equilibrio en la dirección vertical de modo que

N_BC=m_Cg

N_B=m_Cg+N_BC=(m_C+m_B)g

El bloque C desliza sobre la plataforma B si la fuerza de rozamiento f_BC alcanza su valor máximo μ_BC·N_BC= μ_BC·m_Cg

La plataforma B desliza sobre el plano horizontal si la fuerza de rozamiento f_B alcanza su valor máximo μ_B·N_B=μ_B·(m_C+m_B)g

Vamos a considerar las distintas situaciones

Equilibrio

Si m_Ag<μ_BC·m_Cg el bloque C permanece en reposo y la fuerza de rozamiento vale f_BC= m_Ag
Si f_BC< μ_B·(m_C+m_B)g la plataforma B permanece en reposo y la fuerza de rozamiento f_B=f_BC

Ecuaciones del movimiento

Cuando el bloque A se mueve su aceleración es a_A

m_Ag-T=m_Aa_A

Si m_Ag ≥ μ_BC·m_Cg el bloque C se mueve y la fuerza de rozamiento entre la plataforma B y el bloque C alcanza su valor máximo f_BC= μ_BC·m_Cg

La aceleración del bloque C, a_C es

T- μ_BC·m_Cg=m_Ca_C

Como los bloques A y C están unidos por una cuerda, sus aceleraciones son iguales a_C= a_A

$a_{C} = a_{A} = \frac{m_{A} - μ_{B C} m_{C}}{m_{A} + m_{C}} g$

Cuando f_BC≥ μ_B·(m_C+m_B)g la plataforma B se mueve arrastrado por el bloque C, la fuerza de rozamiento entre la plataforma B y el plano horizontal alcanza su valor máximo f_B= μ_B·(m_C+m_B)g, la aceleración de la plataforma B es

$a_{B} = \frac{μ_{B C} m_{C} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{B}} g$

Cuando f_BC< μ_B·(m_C+m_B)g, la plataforma B no se mueve a_B=0 y la fuerza de rozamiento vale f_B=μ_BC·m_Cg

Si m_Ag<μ_BC·m_Cg

La fuerza de rozamiento entre el bloque C y la plataforma B es f_BC=m_Ag, el bloque C queda pegado a la plataforma B.

Si f_BC≥ μ_B·(m_C+m_B)g, la plataforma B se mueve y arrastra consigo al bloque C. La ecuación del movimiento de B y C es
T- μ_B·(m_C+m_B)g =(m_B+m_C)a_BC

Como la ecuación del movimiento del bloque A es
m_Ag-T=m_Aa_A

La aceleración de los bloques A, B y C es la misma e igual a
$a_{A} = a_{B} = a_{C} = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g$
Si f_B< μ_B·(m_C+m_B)g, todos los bloques permanecen en reposo, la fuerza de rozamiento entre la plataforma B y el plano horizontal vale f_B=f_BC=m_Ag

Si μ_B es pequeño, como ocurre en la experiencia de laboratorio, la plataforma B es arrastrada por el bloque C.

Si el rozamiento entre las superficies BC es grande, el bloque C queda pegado a la plataforma B y todos se mueven con la misma aceleración.

Los bloques parten del reposo y se desplazan horizontalmente, sus posiciones al cabo de un cierto tiempo t son.

$x_{C} = \frac{1}{2} a_{C} t^{2} x_{B} = \frac{1}{2} a_{B} t^{2}$

Choque

Si a_C≠a_B el cuerpo C llega al extremo derecho o izquierdo de la plataforma B. Si L es su longitud, el tiempo que tarda en llega a dicho extremo es

$\frac{L}{2} = \frac{1}{2} | a_{c} - a_{B} | t_{0}^{2} t_{0} = \sqrt{\frac{L}{| a_{c} - a_{B} |}}$

con velocidades

$v_{C} = a_{C} t_{0} v_{B} = a_{B} t_{0}$

La velocidad común después del choque es

$\begin{array}{l} (m_{B} + m_{C}) v_{B C} = m_{B} v_{B} + m_{C} v_{C} \\ v_{B C} = \frac{m_{B} a_{B} + m_{C} a_{C}}{m_{B} + m_{C}} t_{0} \end{array}$

A partir de este momento las ecuaciones del movimiento del conjunto de los dos cuerpos B y C y del bloque impulsor A son

m_Ag-T=m_Aa

T-μ_B·(m_C+m_B)g=(m_C+m_B)a

$a = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{B} + m_{C})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}}$

Las posiciones posteriores de los cuerpos B y C son

$\begin{array}{l} x_{C} = \frac{1}{2} a_{C} t_{0}^{2} + v_{B C} (t - t_{0}) + \frac{1}{2} a {(t - t_{0})}^{2} \\ x_{B} = x_{C} + \frac{L}{2} a_{C} < a_{B} \\ x_{B} = x_{C} - \frac{L}{2} a_{C} > a_{B} \end{array}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Rozamiento: μ_BC=0.4, μ_B=0.7
Masa de los bloques: m_A=2, m_B=2, m_C=1

Se cumple que

m_Ag ≥ μ_BC·m_Cg

La aceleración de los bloques A y C es

$a_{C} = a_{A} = \frac{m_{A} - μ_{B C} m_{C}}{m_{A} + m_{C}} g = \frac{2 - 0.4 \cdot 1}{2 + 1} 9.8 = 5.227 {m/s}^{2}$

La fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo f_BC= μ_BC·m_Cg

Sin embargo, f_BC< μ_B·(m_C+m_B)g por lo que el cuerpo B permanece en reposo a_B=0

Al cabo de un tiempo

$t_{0} = \sqrt{\frac{L}{| a_{c} - a_{B} |}} = \sqrt{\frac{1.0}{5.2}} = 0.437 s$

el bloque C llega al extremo derecho de la plataforma B, su velocidad común es

$v_{B C} = \frac{m_{B} a_{B} + m_{C} a_{C}}{m_{B} + m_{C}} t_{0} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 5.2}{2 + 1} \cdot 0.437 = 0.762 m/s$

La aceleración del bloque impulsor A y de los cuerpos B y C a partir de dicho instante es

$a = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{B} + m_{C})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{2 - 0.7 (2 + 1)}{2 + 2 + 1} 9.8 = - 0.196 {m/s}^{2}$

Los bloques se detienen al cabo de un tiempo Δt=3.88 s, en la posición

x_B=1.47 m.

Ejemplo 2

Rozamiento: μ_BC=0.7, μ_B=0.1
Masa de los bloques: m_A=0.8, m_B=2, m_C=1

Se cumple que

m_Ag ≥ μ_BC·m_Cg

La aceleración de los bloques A y C es

$a_{C} = a_{A} = \frac{m_{A} - μ_{B C} m_{C}}{m_{A} + m_{C}} g = \frac{0.8 - 0.7 \cdot 1}{0.8 + 1} 9.8 = 0.544 {m/s}^{2}$

La fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo f_BC= μ_BC·m_Cg

Como, f_BC> μ_B·(m_C+m_B)g por lo que el cuerpo B se mueve con aceleración a_B

$a_{B} = \frac{μ_{B C} m_{C} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{B}} g = \frac{0.7 \cdot 1 - 0.1 \cdot (1 + 2)}{2} 9.8 = 1.96 {m/s}^{2}$

Al cabo de un tiempo

$t_{0} = \sqrt{\frac{L}{| a_{c} - a_{B} |}} = \sqrt{\frac{1.0}{| 0.54 - 1.96 |}} = 0.840 s$

el bloque C llega al extremo izquierdo de la plataforma B, su velocidad común es

$v_{B C} = \frac{m_{B} a_{B} + m_{C} a_{C}}{m_{B} + m_{C}} t_{0} = \frac{2 \cdot 1.96 + 1 \cdot 0.54}{2 + 1} \cdot 0.84 = 1.251 m/s$

La aceleración del bloque impulsor A y de los cuerpos B y C a partir de dicho instante es

$a = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{B} + m_{C})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{0.8 - 0.1 (2 + 1)}{0.8 + 2 + 1} 9.8 = 1.289 {m/s}^{2}$

Los bloques continúan su movimiento acelerado

Ejemplo 3

Rozamiento: μ_BC=0.7, μ_B=0.1
Masa de los bloques: m_A=0.4, m_B=2, m_C=1

Se cumple que m_Ag < μ_BC·m_Cg el bloque C queda pegado a la plataforma B. La fuerza de rozamiento entre los cuerpos B y C es f_BC= m_Ag

Como, f_BC> μ_B·(m_C+m_B)g por lo que el cuerpo B se mueve arrastrando al cuerpo C con aceleración a_B

$a_{A} = a_{B} = a_{C} = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{0.4 - 0.1 \cdot (1 + 2)}{0.4 + 2 + 1} 9.8 = 0.288 {m/s}^{2}$

Actividades

Se introduce

La masa m_A del bloque A, en el control titulado Masa A
La masa m_B de la plataforma B, en el control titulado Masa B
La masa del bloque C se ha fijado en el valor m_C=1 kg
El coeficiente de rozamiento μ_BC entre las superficies de los bloques B y C, en el control titulado Coef. rozamiento BC
El coeficiente de rozamiento μ_B entre la plataforma B y el plano horizontal, en el control titulado B:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de los cuerpos B y C, primero separadamente y luego, cuando van juntos una vez que el bloque C haya alcanzado uno de los extremos de la plataforma B

En la parte superior, se muestran los datos del tiempo t, y de las aceleración del bloque C, a_C y de la plataforma B, a_B.

Masa A: Masa B:
Coef. rozamiento BC: B:

Referencias

Problemas de la IV Olimpiada International de Física, Moscú, 1970

Sullivan P., Novak J., Sancilio P.A block dragging a cart. The Physics Teacher 44, February 2006, pp. 114-116