Medida del coeficiente cinético (I).

Medida del coeficiente cinético (I)

No hay rozamiento

Si suponemos que el plano inclinado de ángulo θ no presenta rozamiento μ=0

Las fuerzas sobre el cuerpo son:

El peso mg
La reacción del plano N

Como hay equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado

N=mgcosθ

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento a lo largo del plano

ma= mgsinθ
a= gsinθ

Si el cuerpo parte del reposo en la posición A, las ecuaciones del movimiento son:

$v = g \sin θ \cdot t x = \frac{1}{2} g \sin θ \cdot t^{2}$

Conocido el ángulo θ que forma el plano inclinado con la horizontal, el desplazamiento x del móvil entre A y B y el tiempo t que emplea en desplazarse, despejamos la aceleración de la gravedad g

$g = \frac{2 x}{t^{2} \cdot \sin θ}$

Cuando hay rozamiento

Para que el cuerpo se mueva hacia abajo, la componente del peso mgsinθ tiene que ser mayor o igual que el máximo valor de la fuerza de rozamiento μ_sN=μ_smgcosθ. El ángulo θ del plano inclinado deberá cumplir, tanθ≥μ_s

Supongamos que los coeficientes estático μ_s y cinético μ_k son iguales

Movimiento hacia abajo

Las fuerzas sobre el cuerpo son:

El peso mg
La reacción del plano N
La fuerza F_r de rozamiento que se opone al movimiento del cuerpo

Supondremos que el coeficiente de rozamiento μ es pequeño, de modo que se cumple siempre que tanθ>μ

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del cuerpo en la dirección del plano inclinado hacia abajo.

ma₁=mgsinθ-F_r,
F_r=μN=μmgcosθ

La aceleración a₁, vale

a₁=g(sinθ-μcosθ)

Se mide el desplazamiento x₁ del cuerpo, desde A hasta B y el tiempo t₁ que emplea en desplazarse partiendo de A en reposo. A partir de estos dos datos, se obtiene la aceleración a₁

$x_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2}$

Movimiento hacia arriba

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del cuerpo en la dirección del plano inclinado hacia arriba.

ma₂=mgsinθ+F_r,
F_r=μN=μmgcosθ

La aceleración a₂, vale

a₂=g(sinθ+μcosθ)

Se lanza el cuerpo en A con velocidad inicial v₀, se mide el desplazamiento x₂, desde A hasta que se para en B, y el tiempo t₂ que emplea en desplazarse. A partir de estos dos datos, se obtiene la aceleración a_2.Teniendo en cuenta, que la velocidad inicial v₀y la aceleración a₂ son de signos contrarios.

$\begin{array}{l} 0 = v_{0} - a_{2} t_{2} x_{2} = v_{0} t_{2} - \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2} \\ x_{2} = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2} \end{array}$

Conocidas las aceleraciones a₁ y a₂ y el ángulo θ que forma el plano inclinado con la horizontal, se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las cuales se despeja g y μ.

a₁=g(sinθ-μcosθ)
a₂=g(sinθ+μcosθ)

$μ = \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{1} + a_{2}} \tan θ g = \frac{a_{1} + a_{2}}{2·sin θ}$

Medida del coeficiente cinético de rozamiento y la aceleración de la gravedad

Una de las dificultades experimentales consiste en establecer con precisión la posición inicial y la velocidad inicial de un cuerpo. Se empieza a contar el tiempo cuando el cuerpo inicialmente en reposo en una determinada posición, se suelta. También es difícil medir con precisión la posición final del cuerpo, cuando su velocidad se hace cero, entonces se para el cronómetro.

Estas dificultades se evitan si disponemos a lo largo del plano inclinado de tres detectores que ponen en marcha y paran dos cronómetros.

Movimiento hacia abajo

El cuerpo desciende a lo largo del plano inclinado con aceleración a₁ y llega a A con una velocidad v₁ desconocida. Tomando A como posición inicial, mediante detectores se mide el tiempo t_B que tarda en llegar a B y el tiempo t_C que tarda en llegar a la posición C. En este caso, la velocidad inicial y la aceleración son del mismo signo.

$\begin{array}{l} x_{B} = v_{1} t_{B} + \frac{1}{2} a_{1} t_{B}^{2} \\ x_{C} = v_{1} t_{C} + \frac{1}{2} a_{1} t_{C}^{2} \end{array}$

Eliminando v₁ y despejando a₁

$a_{1} = 2 \frac{x_{C} t_{B} - x_{B} t_{C}}{t_{B} t_{C} (t_{C} - t_{B})}$

Movimiento hacia arriba

El cuerpo asciende a lo largo del plano inclinado con aceleración a₂, y llega a A con velocidad v₂ desconocida. Tomando A como posición de partida, mediante detectores se mide el tiempo t_B que tarda en llegar a la posición B, y el tiempo t_C que tarda llegar a C. En este caso, la velocidad inicial y la aceleración son de signos contrarios.

$\begin{array}{l} x_{C} = v_{2} t_{C} - \frac{1}{2} a_{2} t_{C}^{2} \\ x_{B} = v_{2} t_{B} - \frac{1}{2} a_{2} t_{B}^{2} \end{array}$

Eliminando v₂ y despejando a₂, obtenemos la misma expresión cambiada de signo

$a_{2} = - 2 \frac{x_{C} t_{B} - x_{B} t_{C}}{t_{B} t_{C} (t_{C} - t_{B})}$

Una vez que hemos calculado a₁ y a₂ se determina el coeficiente cinético de rozamiento μ y la aceleración de la gravedad g mediante las fórmulas deducidas en el apartado anterior.

$μ = \frac{a_{2} - a_{1}}{a_{1} + a_{2}} \tan θ g = \frac{a_{1} + a_{2}}{2·sin θ}$

Ejemplo

Plano inclinado de ángulo θ=20º

Movimiento hacia abajo

x_B=0.5 m, t_B=0.72 s
x_C=1.0 m, t_C=1.19 s

$a_{1} = 2 \frac{1.0 \cdot 0.72 - 0.5 \cdot 1.19}{0.72 \cdot 1.19 (1.19 - 0.72)} = 0.61 {m/s}^{2}$

Movimiento hacia arriba

x_B=0.5 m, t_B=0.16 s
x_C=1.0 m, t_C=0.44 s

$a_{2} = - 2 \frac{1.0 \cdot 0.16 - 0.5 \cdot 0.44}{0.16 \cdot 0.44 (0.44 - 0.16)} = 6.10 {m/s}^{2}$

Resultados

$μ = \frac{6.10 - 0.61}{6.10 + 0.61} \tan 20 º = 0.30 g = \frac{6.10 + 0.61}{2·sin20º} = 9.81 {m/s}^{2}$

Actividades

Se establece el ángulo del plano inclinado θ, en el control titulado Angulo
Se activa el botón de radio titulado hacia abajo

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento hacia abajo del cuerpo deslizando a lo largo del plano inclinado. Dos relojes situados en la parte inferior, miden el tiempo que tarda el cuerpo en desplazarse desde la posición del primer detector A a la del segundo B y desde la posición del primer detector A a la del tercero C.

Sin cambiar el ángulo del plano inclinado, se activa el botón de radio titulado hacia arriba

La regla cambia de sentido y la posición de los detectores se invierte, el primer detector A está ahora, en la parte inferior y el tercer detector C, en la parte superior

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento hacia arriba del cuerpo deslizando a lo largo del plano inclinado.

Dos relojes situados en la parte inferior, miden el tiempo que tarda el cuerpo en desplazarse desde la posición del primer detector A a la del segundo B y desde la posición del primer detector A a la del tercero C.

Activando la casilla Fuerzas, observamos las fuerzas sobre el cuerpo, cuando asciende a lo largo del plano inclinado y cuando desciende.

Angulo Fuerzas

Referencias

Venable D. D., Batra A.P., Hubsch T., Modifying the inclined-plane experiment. The Physics Teacher, 39, April 2001, pp. 215-217