Las fuerzas sobre la pelota de masa m son

• El peso, mg

• La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, F_r

${\displaystyle \overrightarrow{F_r}=-k\overrightarrow{v}=-k\left(v_y\widehat{j}+v_z\widehat{k}\right)}$

La fuerza debida al efecto Magnus, F_L

${\displaystyle \overrightarrow{F_L}=\mu \left(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{v}\right)=\mu \left|\begin{array}{ccc}\widehat{i}& \widehat{j}& \widehat{k}\\ \omega & 0& 0\\ 0& v_y& v_z\end{array}\right|=\mu \omega \left(-v_z\widehat{j}+v_y\widehat{k}\right)}$

Las ecuaciones del movimiento de la pelota son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m\frac{d{v}_y}{dt}=-k{v}_y-\mu \omega v_z\\ m\frac{d{v}_z}{d{t}^2}=-mg-k{v}_z+\mu \omega v_y\end{array}}$

Las condiciones iniciales son

${\displaystyle t=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}y=0\\ z=0\end{array},\{\begin{array}{l}{v}_y=v_0\cos \theta \\ v_z=v_0\sin \theta \end{array}}$

La pelota parte del origen, v₀ es la velocidad de disparo y θ es el ángulo de tiro

Despejamos v_z de la primera ecuación diferencial y sustituimos en la segunda

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_z=-\frac{m}{\mu \omega }\left(\frac{k}{m}{v}_y+\frac{d{v}_y}{dt}\right)\\ -\frac{m}{\mu \omega }m\frac{d}{dt}\left(\frac{k}{m}{v}_y+\frac{d{v}_y}{dt}\right)=-mg+k\frac{m}{\mu \omega }\left(\frac{k}{m}{v}_y+\frac{d{v}_y}{dt}\right)+\mu \omega v_y\\ \frac{d^2{v}_y}{d{t}^2}+\frac{2k}{m}\frac{d{v}_y}{dt}+\frac{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}{m^2}{v}_y=\frac{\mu \omega }{m}g\end{array}}$

La solución particular es una constante C tal que

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}{m^2}C=\frac{\mu \omega }{m}g\\ C=\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\end{array}}$

Para la solución de la ecuación diferencial homogénea, obtenemos las raíces de la ecuación característica

${\displaystyle \begin{array}{l}{s}^2+\frac{2k}{m}s+\frac{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}{m^2}=0\\ s=-\frac{k}{m}\mp i\frac{\mu \omega }{m}\\ v_y=C_1\exp \left(\left(-\frac{k}{m}+i\frac{\mu \omega }{m}\right)t\right)+C_2\exp \left(\left(-\frac{k}{m}-i\frac{\mu \omega }{m}\right)\right)\end{array}}$

Los coeficientes C₁ y C₂ son números complejos

${\displaystyle v_y=\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\left(A_1+i{A}_2\right)\exp \left(\left(i\frac{\mu \omega }{m}\right)t\right)+\left(B_1+i{B}_2\right)\exp \left(\left(-i\frac{\mu \omega }{m}\right)\right)\right)=}$

Tomando la parte real

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_y=\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\left(A_1+B_1\right)\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\left(B_2-A_2\right)\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)\\ v_y=\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(D_1\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+D_2\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)\end{array}}$

La solución completa de la ecuación diferencial en v_y es la suma de la solución particular y de la homogénea

${\displaystyle v_y=\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(D_1\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+D_2\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}}$

Conocida la expresión de v_y calculamos v_z

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_z=-\frac{m}{\mu \omega }\left(\frac{k}{m}{v}_y+\frac{d{v}_y}{dt}\right)=\\ -\frac{m}{\mu \omega }\left(\frac{k\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}+\frac{\mu \omega }{m}\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(-D_1\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+D_2\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)\right)\\ v_z=-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}+\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(D_1\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-D_2\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)\end{array}}$

Los coeficientes D₁ y D₂ se calculan a partir de las componentes de la velocidad inicial

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{v}_y=\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}+\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(D_1\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+D_2\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)\\ v_z=-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}+\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(D_1\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-D_2\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)\end{array}\\ t=\mathrm{0,}\{\begin{array}{l}{v}_0\cos \theta =\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}+D_1\\ v_0\sin \theta =-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}-D_2\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}=\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(A\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-B\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\\ \frac{dz}{dt}=\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(A\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+B\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\end{array}\\ A=v_0\cos \theta -\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2},B=v_0\sin \theta +\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\end{array}}$

Calculamos la posición (y,z) del centro de la pelota en función del tiempo, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen

Primero, tenemos que resolver por partes ésta integrales

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int e^{-at}}\cos \left(bt\right)dt,\{\begin{array}{l}u=e^{-at},du=-a{e}^{-at}dt\\ dv=\cos \left(bt\right)dt,v=\frac{1}{b}\sin \left(bt\right)\end{array}\\ \frac{e^{-at}}{b}\sin \left(bt\right)+\frac{a}{b}{\displaystyle \int e^{-at}\sin \left(bt\right)dt},\{\begin{array}{l}u=e^{-at},du=-a{e}^{-at}dt\\ dv=\sin \left(bt\right)dt,v=-\frac{1}{b}\cos \left(bt\right)\end{array}\\ \frac{e^{-at}}{b}\sin \left(bt\right)+\frac{a}{b}\left\{-\frac{e^{-at}}{b}\cos \left(bt\right)-\frac{a}{b}{\displaystyle \int e^{-at}}\cos \left(bt\right)dt\right\}\\ \left(1+\frac{a^2}{b^2}\right){\displaystyle \int e^{-at}}\cos \left(bt\right)dt=\frac{e^{-at}}{b}\sin \left(bt\right)-\frac{a}{b^2}{e}^{-at}\cos \left(bt\right)\\ {\displaystyle \int e^{-at}}\cos \left(bt\right)dt=\frac{e^{-at}\left(b\sin \left(bt\right)-a\cos \left(bt\right)\right)}{a^2+b^2}\end{array}}$

y ésta otra integral

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int e^{-at}}\sin \left(bt\right)dt,\{\begin{array}{l}u=e^{-at},du=-a{e}^{-at}dt\\ dv=\sin \left(bt\right)dt,v=-\frac{1}{b}\cos \left(bt\right)\end{array}\\ -\frac{e^{-at}}{b}\cos \left(bt\right)-\frac{a}{b}{\displaystyle \int e^{-at}\cos \left(bt\right)dt},\{\begin{array}{l}u=e^{-at},du=-a{e}^{-at}dt\\ dv=\cos \left(bt\right)dt,v=\frac{1}{b}\sin \left(bt\right)\end{array}\\ -\frac{e^{-at}}{b}\cos \left(bt\right)-\frac{a}{b}\left\{\frac{e^{-at}}{b}\sin \left(bt\right)+\frac{a}{b}{\displaystyle \int e^{-at}}\sin \left(bt\right)dt\right\}\\ \left(1+\frac{a^2}{b^2}\right){\displaystyle \int e^{-at}}\sin \left(bt\right)dt=-\frac{e^{-at}}{b}\cos \left(bt\right)-\frac{a}{b^2}{e}^{-at}\sin \left(bt\right)\\ {\displaystyle \int e^{-at}}\sin \left(bt\right)dt=-\frac{e^{-at}\left(b\cos \left(bt\right)+a\sin \left(bt\right)\right)}{a^2+b^2}\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}y-0=A{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)}dt-B{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)}dt+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ y=A\left\{\frac{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{m}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-\frac{k}{m}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}+\frac{\frac{k}{m}}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}\right\}-B\left\{-\frac{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{m}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\frac{k}{m}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}+\frac{\frac{\mu \omega }{m}}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}\right\}+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\\ y=\frac{A}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\mu \omega m\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-km\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+km\right\}+\frac{B}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\mu \omega m\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+km\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)-\mu \omega m\right\}+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\\ y=\frac{Akm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+1\right\}+\frac{Bkm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)-\frac{\mu \omega }{k}\right\}+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\\ z-0=A{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)}dt+B{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)}dt-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ z=A\left\{-\frac{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{m}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\frac{k}{m}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}+\frac{\frac{\mu \omega }{m}}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}\right\}+B\left\{\frac{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{m}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-\frac{k}{m}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}+\frac{\frac{k}{m}}{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\mu \omega }{m}\right)}^2}\right\}-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\\ z=\frac{A}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\mu \omega m\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+km\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+\mu \omega m\right\}+\frac{B}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\mu \omega m\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-km\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+km\right\}-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\\ z=\frac{Bkm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+1\right\}-\frac{Akm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)-\frac{\mu \omega }{k}\right\}-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\end{array}}$

La posición (y,z) del centro del balón en función del tiempo t

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=\frac{Akm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+1\right\}+\frac{Bkm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)-\frac{\mu \omega }{k}\right\}+\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\\ z=\frac{Bkm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)+1\right\}-\frac{Akm}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\left\{\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\left(\frac{\mu \omega }{k}\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)\right)-\frac{\mu \omega }{k}\right\}-\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}t\end{array}\\ A=v_0\cos \theta -\frac{m\mu \omega g}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2},B=v_0\sin \theta +\frac{kmg}{{\mu }^2{\omega }^2+k^2}\end{array}}$

Ejemplos

• Velocidad de disparo, v₀= 8 m/s
• Angulo de tiro, θ= 0.6 rad (34.4°)
• Parámetro, μ=0.01
• Velocidad angular de rotación, ω=12.56 rad/s
• Masa de la pelota, m=0.02 kg
• Constante de la fuerza de rozamiento, k=0.05
• Aceleración de la gravedad, g=10 m/s²

Representamos la trayectoria hasta el tiempo t=2 s

v0=8; %velocidad inicial
th=0.6; %ángulo de tiro
mu=0.01;
w=12.56; %velocidad angular de rotación
m=0.02; %masa
k=0.05;
g=10; %aceleración de la gravedad

A=v0*cos(th)-m*mu*w*g/(mu^2*w^2+k^2);
B=v0*sin(th)+k*m*g/(mu^2*w^2+k^2);
y=@(t) A*k*m*(exp(-k*t/m).*(mu*w*sin(mu*w*t/m)/k-cos(mu*w*t/m))+1)
/(mu^2*w^2+k^2)+B*k*m*(exp(-k*t/m).*(mu*w*cos(mu*w*t/m)/k
+sin(mu*w*t/m))-mu*w/k)/(mu^2*w^2+k^2)+m*mu*w*g*t/(mu^2*w^2+k^2);
z=@(t) -A*k*m*(exp(-k*t/m).*(mu*w*cos(mu*w*t/m)/k+sin(mu*w*t/m))
-mu*w/k)/(mu^2*w^2+k^2)+B*k*m*(exp(-k*t/m).*(mu*w*sin(mu*w*t/m)/k
-cos(mu*w*t/m))+1)/(mu^2*w^2+k^2)-k*m*g*t/(mu^2*w^2+k^2);
fplot(@(t) y(t), @(t) z(t),[0,2])
grid on
xlabel('y')
ylabel('z')
title('Trayectoria')

Cambiamos la velocidad de disparo, en el código la variable v0=3.8;. Representamos la trayectoria hasta el tiempo t=1.5 s

Cambiamos la velocidad de disparo, en el código la variable v0=2;. Representamos la trayectoria hasta el tiempo t=1 s

Cambiamos el ángulo de tiro, en el código la variable th=0; (tiro horizontal) manteniendo la velocidad de disparo v0=8;. Representamos la trayectoria hasta el tiempo t=2 s

Cambiamos el ángulo de tiro, en el código la variable th=pi/2; (tiro vertical) manteniendo la velocidad de disparo v0=8;. Representamos la trayectoria hasta el tiempo t=2 s

Establecemos un ángulo de tiro tal que el coeficiente A=0, en el código th=acos(m*mu*w*g/(v0*(mu^2*w^2+k^2)));. El ángulo de tiro es θ=1.3981 rad (80.1°)

>> th
th =    1.3981
>> th*180/pi
ans =   80.1066

Establecemos un ángulo de tiro tal que el coeficiente B=0, en el código th=asin(-k*m*g/(v0*(mu^2*w^2+k^2)));. El ángulo de tiro es θ=-0.0685 rad (-3.9°) por debajo de la horizontal

>> th
th =    -0.0685
>> th*180/pi
ans =   -3.9220

Cambiamos la velocidad de disparo, en el código la variable v0=6;, el ángulo de tiro, la variable th=pi/4; (45°) la velocidad angular de rotación, w=28.26;. Representamos la trayectoria hasta el tiempo t=2 s

Casos particulares

• Sin rozamiento, k=0, ω≠0

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=\frac{m}{\mu \omega }\left\{A\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)+B\left(\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-1\right)+gt\right\}\\ z=\frac{m}{\mu \omega }\left\{B\sin \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-A\left(\cos \left(\frac{\mu \omega }{m}t\right)-1\right)\right\}\end{array}\\ A=v_0\cos \theta -\frac{mg}{\mu \omega },B=v_0\sin \theta \end{array}}$

• Sin efecto Magnus, ω=0, k≠0

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y=\frac{m}{k}{v}_0\cos \theta \left(1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right)\\ z=\frac{m}{k}\left(v_0\sin \theta +\frac{mg}{k}\right)\left(1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right)-\frac{mg}{k}t\end{array}}$

Son las ecuaciones que hemos obtenido para un tiro con una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

• Cuando k→0 (sin rozamiento)

Desarrollamos en serie la exponencial

>> syms a x;
>> taylor(exp(-a*x),x,0,'order',3)
ans =(a^2*x^2)/2 - a*x + 1

${\displaystyle \begin{array}{l}\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)=1-\frac{k}{m}t+\frac{1}{2}\frac{k^2}{m^2}{t}^2+\mathrm{...}\\ 1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\approx \frac{k}{m}t-\frac{1}{2}\frac{k^2}{m^2}{t}^2\\ y=m{v}_0\cos \theta \frac{\frac{k}{m}t-\frac{1}{2}\frac{k^2}{m^2}{t}^2}{k}=v_0\cos \theta \left(t-\frac{1}{2}\frac{k}{m}{t}^2\right)\approx v_0\cos \theta ·t\\ z=\frac{m}{k}\left(v_0\sin \theta +\frac{mg}{k}\right)\left(\frac{k}{m}t-\frac{1}{2}\frac{k^2}{m^2}{t}^2\right)-\frac{mg}{k}t=\\ v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}{v}_0\sin \theta ·\frac{k}{m}{t}^2+\frac{mg}{k}t-\frac{1}{2}g{t}^2-\frac{mg}{k}t\\ z\approx v_0\sin \theta ·t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Son las ecuaciones del tiro parabólico

Referencias

HAO Cheng-hong，HUANG Yao-qing，WANG Huan，HONG Yan，LI Zi-jing，DUAN Jun-sheng. The projectile motion of diabolo with air friction. College Physics. 2016, 35 (3):