Sucesivos rebotes en un plano inclinado

Primera etapa: caída libre

La pelota se deja caer verticalmente desde una altura h0. Parte con velocidad inicial cero, desde la posición

x0=-h0·sinθ,
y0
=h0·cosθ

Las componentes de la aceleración son

ax=g·sinθ
ay
=-g·cosθ

El movimiento a lo largo de la recta vertical es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados. Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

vx= g·sinθ·t
vy
=-g·cosθ·t

Las coordenadas de la pelota son

x= h 0 sinθ+ 1 2 gsinθ· t 2 y= h 0 cosθ 1 2 gcosθ· t 2

La trayectoria es la línea recta y=-x/tanθ

La pelota llega al origen x=0, y=0 en el instante

t 0 = 2 h 0 g

La velocidad con la que llega al origen es

vx= g·sinθ·t0
vy
=-g·cosθ·t0

Segunda etapa

La pelota rebota:

La pelota parte del origen x0=0, y0=0, en el instante t0, con una velocidad inicial

v0x= g·sinθ·t0
v0y
=e·g·cosθ·t0

Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

vx=v0x+ g·sinθ·(t-t0)
vy
=v0y-g·cosθ·(t-t0)

Las coordenadas de la pelota son

x= v 0x (t t 0 )+ 1 2 gsinθ· ( t t 0 ) 2 y= v 0y (t t 0 ) 1 2 gcosθ· ( t t 0 ) 2

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t1.

t 1 = t 0 + 2 v 0y g·cosθ = t 0 (1+2e)

La posición x1 del punto de impacto es

x 1 =2g t 0 2 e(1+e)sinθ

Las componentes de la velocidad final son

vx=g·t0·(1+2e)·sinθ
vy=-e·g·t0
·cosθ

Tercera etapa

La pelota rebota:

La pelota parte de la posición x1, y1=0 en el instante t1, con una velocidad inicial

v1x= g·t0·(1+2e)·sinθ
v1y
=e2·g·t0·cosθ

Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

vx=v1x+ g·sinθ·(t-t1)
vy
=v1y-g·cosθ·(t-t1)

Las coordenadas de la pelota son

x= x 1 + v 1x (t t 1 )+ 1 2 gsinθ· ( t t 1 ) 2 y= v 1y (t t 1 ) 1 2 gcosθ· ( t t 1 ) 2

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t2.

t 2 = t 1 + 2 v 1y g·cosθ = t 0 (1+2e+2 e 2 )

La posición x2 del punto de impacto es

x 2 =2g t 0 2 (e+2 e 2 +2 e 3 + e 4 )sinθ

Las componentes de la velocidad final son

vx=g·t0·(1+2e+2e2)·sinθ
vy=-e2·g·t0
·cosθ

Cuarta etapa

La pelota rebota:

La pelota parte de la posición  x2, y2=0, en el instante t2, con una velocidad inicial

v2x= g·t0·(1+2e+2e2)·sinθ
v2y
=e3·g·t0·cosθ

Las componentes de la velocidad en función del tiempo son

vx=v2x+ g·sinθ·(t-t2)
vy
=v2y-g·cosθ·(t-t2)

Las coordenadas de la pelota son

x= x 2 + v 2x (t t 2 )+ 1 2 gsinθ· ( t t 2 ) 2 y= v 2y (t t 2 ) 1 2 gcosθ· ( t t 2 ) 2

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t3.

t 3 = t 2 + 2 v 2y g·cosθ = t 0 (1+2e+2 e 2 +2 e 3 )

La posición x3 del punto de impacto es

x 3 =2g t 0 2 (e+2 e 2 +3 e 3 +3 e 4 +2 e 5 + e 6 )sinθ

Las componentes de la velocidad final son

vx=g·t0·(1+2e+2e2+2e3)·sinθ
vy=-e3·g·t0
·cosθ

Quinta etapa

La pelota rebota:

La pelota parte de x3, y3=0, en el instante t3, con una velocidad inicial

v3x= g·t0·(1+2e+2e2+2e3)·sinθ
v3y
=e4·g·t0·cosθ

Las componentes de la velocidad de la pelota en función del tiempo son

vx=v3x+ g·sinθ·(t-t3)
vy
=v3y-g·cosθ·(t-t3)

Las coordenadas de la pelota son

x= x 3 + v 3x (t t 3 )+ 1 2 gsinθ· ( t t 3 ) 2 y= v 3y (t t 3 ) 1 2 gcosθ· ( t t 3 ) 2

La pelota llega al plano inclinado cuando y=0, en el instante t4.

t 4 = t 3 + 2 v 3y g·cosθ = t 0 (1+2e+2 e 2 +2 e 3 +2 e 4 )

La posición x4 del punto de impacto es

x 4 =2g t 0 2 (e+2 e 2 +3 e 3 +4 e 4 +4 e 5 +3 e 6 +2 e 7 + e 8 )sinθ

Las componentes de la velocidad final son

vx=g·t0·(1+2e+2e2+2e3+2e4)·sinθ
vy=-e4·g·t0
·cosθ

Etapa n

Al finalizar la etapa n, la posición de la pelota es

x n =2g t 0 2 ( i=1 n i· ( e i + e 2n+1i ) )sinθ

que se alcanza en el instante

t n = t 0 ( 1+2e( i=0 n1 e i ) )

Las componentes de la velocidad final son

v x =g·sinθ· t 0 ( 1+2e( i=0 n1 e i ) ) v y = e n g· t 0 cosθ

Después de muchos rebotes (n→∞)

Sabiendo que

i=0 e i = 1 1e

es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a0=1, y cuya razón es e<1

t = t 0 1+e 1e

El valor de t es idéntico al que hemos obtenido para el caso de rebotes en el plano horizontal.

Las componentes de la velocidad tienden a

v x =g t 0 1+e 1e sinθ v y =0

Teniendo en cuenta que

lim n ( i=1 n i· ( e i + e 2n+1i ) )= e (1e) 2

Comprobamos con e=0.8, y n=200

x=0.8;  %coeficiente de restitución
n=200;
k=1:n;
s=sum(k.*(x.^k+x.^(2*n+1-k)));
y=x/(1-x)^2;
disp([s, y])
>> 20.0000   20.0000

Utilizamos Math Symbolic para sumar la serie

>> syms x k n;
>> assume(x>0 & x<1);
>> sum=symsum(k*(x^k+x^(2*n+1-k)),k,1,n)
 sum =(x - x*x^n - n*x*x^n + n*x^n*x^2)/(x - 1)^2 - 
(x^n*x^2 - x^(2*n)*x^2 - n*x*x^n + n*x^n*x^2)/(x - 1)^2
>> limit(sum,n,inf)
ans =x/(x - 1)^2

La posición de los sucesivos rebotes en el plano inclinado, alcanza un límite x

x =2g t 0 2 e (1e) 2 sinθ

En la figura, se muestra la variación de la componente Y de la velocidad, al final de cada una de las etapas del movimiento de la pelota. Como vemos vy tiende a cero cuando tt.

e=0.8; %coeficiente de restitución
N=20;
t=zeros(N,1);
v=zeros(N,1);
for n=1:N;
    k=1:n;
    t(n)=1+2*e*sum(e.^(k-1));
    v(n)=-e^n;
end
plot(t,v,'ro','markersize',2,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t/t_0')
ylabel('v_y/(g·t_0·cos\theta)')
title('Componente v_y de la velocidad')

En la figura, se muestra la variación de la componente X de la velocidad, al final de cada una de las etapas del movimiento de la pelota. Como vemos vx tiende a un valor límite cuando tt.

e=0.8; %coeficiente de restitución
N=20;
t=zeros(N,1);
v=zeros(N,1);
for n=1:N;
    k=1:n;
    t(n)=1+2*e*sum(e.^(k-1));
    v(n)=t(n);
end
plot(t,v,'ro','markersize',2,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t/t_0')
ylabel('v_x/(g·t_0·sin\theta)')
title('Componente v_x de la velocidad')

En la figura, se muestra la posición xi de la pelota en el momento que rebota en el plano inclinado Como vemos x no crece indefinidamente, sino que tiende a un valor límite x cuando tt.

e=0.8; %coeficiente de restitución
N=20;
t=zeros(N,1);
x=zeros(N,1);
for n=1:N;
    k=1:n;
    t(n)=1+2*e*sum(e.^(k-1));
    x(n)=sum(k.*(e.^k+e.^(2*n+1-k)));
end
plot(t,x,'ro','markersize',2,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t/t_0')
ylabel('x/(2·g·t_0^2·sin\theta)')
title('Desplazamiento x')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa los sucesivos rebotes de la pelota en el plano inclinado.

En la parte superior, se proporcionan los datos de la posición y velocidad de la pelota en función del tiempo, referidos a un sistema de Referencia en el que el eje X está en el plano horizontal y el eje Y es perpendicular al mismo


Referencias

Physics challenges for teachers and students. Solutions to October 2004. The Physics Teacher, 42 (2004) pp. S2