Movimiento oscilatorio de un carrete que rueda

En el dispositivo representado en la figura, la parte más difícil es conseguir una fuerza F constante que cambie de dirección a medida que se desplaza el carrete.

La tensión del hilo es F=Mg-Ma. Como vemos F no es constante ya que depende de la aceleración a del bloque de masa M que cuelga del hilo y que a su vez está relacionada con la aceleración del carrete. En el artículo mencionado en la referencia, se supone que F es aproximadamente constante y apunta hacia un punto fijo.

Posición del carrete

En la parte derecha de la figura, se muestra la posición inicial del carrete

En la parte izquierda de la figura, se muestra la posición del carrete en el instante t

x=-r·sinθ-d

tanθ= l 0 sin θ 0 r·cos θ 0 +r·cosθ d

Eliminado la variable auxiliar d

x=r·sinθ l 0 sin θ 0 +r(cosθcos θ 0 ) tanθ = r+( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 )cosθ sinθ

Energía cinética del carrete

El desplazamiento infinitesimal dx que necesitaremos más adelante vale

dx=( l 0 sin θ 0 +r(cosθcos θ 0 ) sin 2 θ )dθ

El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica la energía cinética de dicha partícula.

Si el carrete parte de la posición inicial x0 con velocidad inicial nula, la energía cinética del carrete de forma cilíndrica cuando su c.m. se encuentra en la posición x es

E k (x)= x 0 x m a c dx = x 0 x 2 3 F( cosθ r R )dx= 2 3 F θ 0 θ ( cosϕ r R )( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 +rcosϕ sin 2 ϕ ) dϕ= 2 3 F θ 0 θ ( ( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 r 2 R ) cosϕ sin 2 ϕ +( r r R ( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 ) ) 1 sin 2 ϕ r ) dϕ= 2 3 F ( ( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 r 2 R ) 1 sinϕ +( r r R ( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 ) ) 1 tanϕ rϕ ] θ 0 θ = 2 3 F ( ( l 0 sin θ 0 +rcos θ 0 + r 2 R ) 1 sinϕ +( r+ r R ( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 ) ) 1 tanϕ rϕ ] θ 0 θ

Así pues, la energía cinética Ek del carrete en una posición x, es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de una función f(θ) que depende del ángulo θ que hace la cuerda con la dirección horizontal

E k (x)=f(θ)f( θ 0 ) f(θ)= 2 3 F{ ( l 0 sin θ 0 +rcos θ 0 + r 2 R ) 1 sinθ +( r+ r R ( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 ) ) 1 tanθ rθ } x= r+( l 0 sin θ 0 rcos θ 0 )cosθ sinθ

La energía cinética vale cero en la posición de partida θ0, alcanza un máximo y se vuelve a valer cero para cierto ángulo θ1 solución de la ecuación trascendente

f(θ)- f(θ0)=0

La energía cinética alcanza un valor máximo que se calcula derivando f(θ), es decir, haciendo que el integrando sea cero o bien, que la aceleración ac sea cero. Esto es, para el ángulo θc tal que cosθc=r/R, se denomina ángulo crítico

Para representar la figura, se ha tomado r=1.0 y R=2.0. El carrete parte de θ0=45º alcanza una velocidad máxima para el ángulo crítico θc=60º y vuelve a detenerse cuando θ1 =78º, completando media oscilación. Conocido el dato de la longitud inicial de la cuerda l0 se puede calcular las posiciones x del centro de masa del carrete para los cuales la velocidad es nula o máxima. En esta descripción, hemos supuesto que no hay fuerzas disipativas y que la energía total se conserva.

r=1; %radio interior
R=2; %radio del cilindro
L0=20; %longitud inicial de la cuerda
F=1.5; %fuerza
phi_0=pi/4; %ángulo inicial
f=@(x) (2*F/3)*((-L0*sin(phi_0)+r*cos(phi_0)+r^2/R)./sin(x)
+(-r+r*(L0*sin(phi_0)-r*cos(phi_0))/R)./tan(x)-r*x);
g=@(x) f(x)-f(phi_0);
phi_1=fzero(g,[phi_0+0.1,pi/2]);
x=linspace(phi_0, phi_1,100);
plot(x,g(x))
set(gca,'xTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'xTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3',
'5\pi/12','\pi/2'})
xlabel('\theta')
ylabel('E_k')
title('Energía cinética')
grid on

Ecuación del movimiento

Ecuación del movimiento

v= 2 E k m v= dx dt = dx dθ dθ dt

Despejando dθ/dt obtenemos una ecuación diferencial de primer orden que resolvemos por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=θ0

dθ dt = sin 2 θ l 0 sin θ 0 +r(cosθcos θ 0 ) 2( f(θ)f( θ 0 ) ) m

Conocido el ángulo θ que forma la cuerda con la dirección horizontal en función del tiempo t, calculamos la posición x del c.m. de carrete en función del tiempo. El carrete presenta un movimiento oscilatorio que difiere del Movimiento Armónico Simple.

Actividades

Se introduce

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El movimiento del carrete está descrito cualitativamente por la curva de energía cinética (a la izquierda). Se representa la energía cinética en el intervalo angular en (θ0, θ1) en el que se mueve el carrete, o bien desde x0 a x1. El carrete parte de θ0 con velocidad cero o con energía cinética cero, va aumentando hasta alcanzar un máximo en el ángulo crítico θc=60º, decelera hasta que alcanza la posición de retorno θ1, donde la energía cinética vuelve a ser cero. El carrete invierte su dirección y vuelve de nuevo al punto de partida completando una oscilación.


Referencias

Carnero C, Carpena P, Aguiar J. The rolling body paradox: an oscillatory motion approach. Eur. J. Phys. 18 (1997) pp. 409-416