La rueda cuadrada

Ecuación de la catenaria

Supongamos una rueda cuadrada de lado 2a, cuyo centro de masa se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal y permanece justo encima del punto de contacto entre uno de los lados de la rueda y el camino.

El triángulo isósceles ABE representa un octante del cuadrado. Como vemos en la figura AE=a, y AB= 2 a .

Inicialmente la esquina B del rectángulo está situada en el origen, al moverse rodando sin deslizar la longitud BC será igual a la longitud del arco OC. Por otra parte, el punto C será tal que la longitud AC+CD=AB se mantendrá constante durante todo el movimiento, es decir, el centro del rectángulo describe una trayectoria que es una recta horizontal.

Si la ordenada del punto C es y y el ángulo que forma el lado BE con la horizontal es α, la relación  AC+CD=AB se escribe

a cosα +y= 2 a

Recordando la interpretación geométrica de la derivada, la tangente del ángulo α es

tanα= dy dx

Aplicamos la conocida relación 1+tan2α=sec2α, obtenemos

1+ ( dy dx ) 2 = ( 2 ay a ) 2

Hacemos la sustitución

u= 1 cosα = 2 y a du= 1 a dy

La ecuación diferencial está lista para ser integrada

1 a dx= du u 2 1

La condición inicial es que la curva ha de pasar por el origen x=0, y=0 con lo que se determina la constante de integración k.

cosh 1 u= x a +kk= cosh 1 2 =0.88137

o bien,

u=cosh( k x a )

Deshaciendo el cambio, se llega a la ecuación de una catenaria

y=a( 2 cosh( k x a ) )

A medida que el cuadrado rueda sin deslizar gira 90º y retorna a la configuración inicial, excepto una traslación d. Esta traslación se determina haciendo y=0 en la ecuación de la catenaria y se obtiene d=2ka.

El vértice de la catenaria se encuentra en el punto simétrico x=ka y vale y=( 2 1)a

a=0.5;
k=acosh(sqrt(2));
x=linspace(0,2*k*a,100);
y=a*(sqrt(2)-cosh(k-x/a));
fill(x,y, 'y');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Catenaria')

Relación entre la velocidad del c.m. y la velocidad angular de rotación

Como la distancia entre el punto de contacto C y el centro de la rueda A no es constante la conocida relación v=ω·r deja de ser válida. Para obtener la nueva relación entre v y ω procedemos del siguiente modo:

v= dx dt ω= dα dt

Si tomamos como sentido positivo de ω el de las agujas del reloj, nos fijaremos que α disminuye a medida que la rueda se mueve:

ω= dα dx dx dt = dα dx v

Teniendo en cuenta que la pendiente de la recta tangente a la catenaria en el punto x es

dy dx =tanα

Derivamos y respecto de x en la ecuación de la catenaria

dy dx =sinh( k x a )

Derivamos tanα con respecto de x

1 cos 2 α dα dx = 1 a cosh( k x a )

Teniendo en cuenta que

u= 1 cosα =cosh( k x a )

Nos queda

dα dx = 1 a cosα dα dt dt dx = 1 a cosα

Finalmente

ωa=v·cosα

Energía cinética de rotación y de traslación

La rueda tiene dos clases de energía cinética

En primer lugar, calculamos el momento de inercia de una rueda cuadrada de masa M y de lado 2a respecto de un eje perpendicular al plano de la rueda y que pasa por su centro.

El momento de inercia de una varilla de masa dm y longitud 2a respecto de un eje perpendicular a la varilla delgada que pasa por su centro vale (línea de color rojo en la figura)

dI= 1 12 (2a) 2 dm= 1 3 a 2 dm

Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia de dicha varilla respecto de un eje paralelo que pasa por el centro del cuadrado, siendo x la distancia entre ejes.

d I c = 1 3 a 2 dm+ x 2 dm

La masa dm de la varilla de longitud 2a y anchura dx es

dm= M 4 a 2 2adx= M 2a dx

Integrando respecto de x entre –a y +a obtenemos el momento de inercia del cuadrado respecto de un eje perpendicular al mismo y que pasa por su centro.

I c = a a ( Ma 6 + M 2a x 2 ) dx= 2 3 M a 2

La energía cinética de la rueda cuadrada es

E k = 1 2 M v 2 + 1 2 2 3 M a 2 ω 2 = 1 2 M v 2 ( 1+ 2 3 cos 2 α )

Si no hay pérdidas de energía debido al rozamiento, a medida que el cuadrado rueda sin deslizar, la energía cinética Ek se mantendrá constante. Sin embargo, la velocidad del c.m. v no es constante.

Para una esfera el cociente entre la energía cinética de rotación y de traslación del c.m. es constante, ya que la relación entre la velocidad v de traslación y la velocidad angular ω de rotación es constante,  v= ω·R

E k (rotación) E k  (traslación) = 1 2 ( 2 5 m R 2 ) ω 2 1 2 m v 2 = 2 5

Para una rueda cuadrada este cociente no es constante

E k (rotación) E k  (traslación) = 1 2 ( 2 3 M a 2 ) v 2 a 2 cos 2 α 1 2 M v 2 = 2 3 cos 2 α

Como α varía entre –π/4 y +π/4. El cociente varía entre 1/3 para α =π/4 ó α =-π/4 y 2/3 para α=0.

Si tomamos la energía cinética total Ek como la unidad,

La energía cinética de traslación varía entre un mínimo de 3/5 y un máximo de 3/4 de la energía cinética total.

Ecuación del movimiento

Conocida la energía cinética total Ek, despejamos la velocidad v del centro del cuadrado

v= 2 E k /M 1+ 2 3 cos 2 α

De la relación entre la velocidad v del centro del cuadrado y la velocidad angular ω=-dα/dt de rotación ωa=v·cosα, obtenemos la ecuación diferencial

dα dt = 1 a 2 E k M 1 1+ 2 3 cos 2 α cosα

que se resuelve por procedimientos numéricos con la condición inicial t=0, parte del origen x=0, α=π/4.

Una vez calculada el ángulo α de la tangente a la catenaria (véase la segunda figura de esta página) en función del tiempo t se calcula la ordenada y mediante la relación deducida al principio de esta página

a cosα +y= 2 a

Que junto con la ecuación de la catenaria

y=a( 2 cosh( k x a ) ) 

dan lugar a la ecuación trascendente.

  1 cosα cosh( k x a )=0

que se resuelve por procedimientos numéricos para calcular el valor de la abscisa x.

Actividades

1 a 2 E k M =1

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Se observa el movimiento de rodar sin deslizar de un cuadrado sobre un camino formado por tres catenarias invertidas. Se señala el punto de contacto entre un lado del cuadrado y la catenaria a medida que se desplaza la rueda.

Se observa que el punto de contacto está siempre debajo del centro del cuadrado y que el centro del cuadrado está siempre a la misma altura.

Observamos como cambia la velocidad v del c.m. y la velocidad de rotación ω a medida que se desplaza rueda. Un diagrama en forma de tarta nos muestra cómo cambia la energía cinética de rotación y de traslación manteniéndose la suma constante.

Referencias

Klein N. Square wheel. Am. J. Phys. 61(10) October 1993, pp. 893-896.