Cilindro macizo que rueda en el interior de un tubo que gira alrededor de su eje.

Un cuerpo cilíndrico de radio r rueda sin deslizar sobre la superficie interior de un tubo radio R. El tubo gira alrededor de su eje, en el instante t ha girado un ángulo ø, la posición angular del eje del cilindro es θ y la posición angular del punto P es φ
El centro del cilindro describe un arco s=(R-r)(θ-ø) (en color azul), mientras rueda una longitud u=R/=(θ-ø) sobre la pista (en color negro) e igual al arco de color rojo pintado sobre el cuerpo. La relación entre los ángulos es
Parte de la figura ha sido elaborada con el siguiente código
r=0.25; %radio del cuerpo que rueda hold on %pista fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [0,2*pi], 'linewidth',1.5) %cuerpo ang=(1:360)*pi/180; th=15*pi/180; %ángulo x1=(1-r)*sin(th)+r*cos(ang); y1=-(1-r)*cos(th)+r*sin(ang); fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7]) line([0,sin(th)],[0,-cos(th)],'linestyle','--') plot(0,0,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','k', 'markerfacecolor','k') th=60*pi/180; %ángulo x1=(1-r)*sin(th)+r*cos(ang); y1=-(1-r)*cos(th)+r*sin(ang); fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7]) line([0,sin(th)],[0,-cos(th)],'linestyle','--','color','b') fplot(@(t) (1-r)*sin(th)+r*cos(t), @(t) -(1-r)*cos(th)+r*sin(t),[-th/r-(pi/2-th) ,-(pi/2-th)], 'linewidth',1.5, 'color','r') fplot(@(t) (1-r)*cos(t), @(t) (1-r)*sin(t), [-pi/2+pi/12,-(pi/2-th)], 'linewidth',1,'color','b') fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [-pi/2+pi/12,-(pi/2-th)], 'linewidth', 1.5,'color','k') plot(sin(pi/12),-cos(pi/12),'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor', 'b','markerfacecolor','b') plot((1-r)*sin(th)+r*cos(-th/r-(pi/2-th)),-(1-r)*cos(th)+r*sin(-th/r-(pi/2- th)),'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','b', 'markerfacecolor','b') plot(0,0,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','k', 'markerfacecolor','k') line([0,sin(pi/12)],[0,-cos(pi/12)],'linestyle','--','color','k') line([0,0],[0,-1],'linestyle','--') hold off axis equal axis off
Ecuaciones del movimiento

Sobre el cilindro actúan tres fuerzas
- El peso, mg
- la reacción N de la superficie del tubo en el punto de contacto
- La fuerza de rozamiento Fr que hace que el cilindro ruede sin deslizar por la superficie interior del tubo
Escribimos las ecuaciones del movimiento del cilindro y del tubo
Movimiento del cilindro
Movimiento de traslación del centro de masas
Movimiento de rotación alrededor del eje del cilindro
Movimiento de rotación del tubo alrededor de su eje fijo
Fr es la fuerza que ejerce el tubo sobre el cilindro

Por la tercera ley de Newton, la fuerza que el cilindro ejerce sobre el tubo Fr es igual y de sentido contrario.
Tenemos un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Entre las dos primeras eliminamos la fuerza de rozamiento Fr
Combinamos la segunda y tercera ecuación del movimiento
Aparece una constante del movimiento que denominaremos J
Energía del sistema
La energía del sistema formado por el cilindro y el tubo es constante
- Energía de rotación del tubo con velocidad angular dø/dt
- Energía de traslación del c.m. del cilindro con velocidad (R-r)dθ/dt y de rotación alrededor de su eje con velocidad angular dφ/dt
- Energía potencial del c.m. del cilindro referida al punto más bajo del tubo
Ecuaciones de Lagrange
Volvemos a obtener las ecuaciones del movimiento. La lagrangiana es
La primera ecuación del movimiento es
Como la lagrangiana L no depende de ø, hay una cantidad que se conserva
Movimiento del cilindro
En el sistema de dos ecuaciones
Eliminamos d2ø/dt2
El c.m. del cilindro se comporta como un péndulo simple, por lo que cabe esperar que describa oscilaciones o rotaciones, dependiendo de las condiciones iniciales
Cuando las oscilaciones son de pequeña amplitud, sinθ≈θ. El cilindro describe un Movimiento Armónico Simple de periodo
La reacción N y la fuerza de rozamiento Fr
La ecuación del movimiento del cilindro en la dirección normal, véase la primera figura, es
De la ecuación del movimiento del c.m. del cilindro obtenemos Fr
Se tiene que cumplir que la reacción N>0, y que el valor absoluto la fuerza de rozamiento |Fr|<μsN, sea menor que el valor máximo, en caso contrario el cilindro desliza
Ejemplos
Resolveremos el sistema de dos ecuaciones diferenciales
Con distintas condiciones iniciales, comprobaremos que la energía del sistema se mantiene constante
- Radio del tubo, R=1 m
- Radio del cilindro, r=0.25 m
- Masa del tubo, M=1 kg
- Masa del cilindro, m=2 kg
En el instante t=0
- Posición angular del tubo, ø=0, velocidad angular, dø/dt=0
- Posición angular del cilindro, θ=0, velocidad angular, dθ/dt=1. Velocidad angular de rotación dφ/dt=0
Se le proporciona una velocidad inicial al cilindro
R=1; %radio del tubo r=0.4; %radio del cilindro M=1; %masa del tubo m=2; %masa del cilindro w2=(2*M+m)*9.8/((3*M+m)*(R-r)); vx=1; vy=0; J=(2*M+m)*R*vy-m*(R-r)*vx; f=@(t,x) [x(2);-w2*sin(x(1)); (J+m*(R-r)*x(2))/((2*M+m)*R)]; [t,x]=ode45(f,[0,5],[0,vx,0]); hold on plot(t,x(:,1)) %cilindro macizo plot(t,x(:,3)) %tubo hold off grid on xlabel('t') ylabel('\theta') legend('cilindro','tubo','location','best') title('Movimiento del cilindro') %energía E_ini=3*m*(R-r)^2*vx^2/4; vy=(J+m*(R-r)*x(:,2))/((m+2*M)*R); E=(2*M+m)*R*R*vy.^2/4-m*R*(R-r)*vy.*x(:,2)/2+3*m*(R-r)^2*x(:,2).^2/4 +m*9.8*(R-r)*(1-cos(x(:,1)));
Observamos oscilaciones de pequeña delcilindro alrededor de la posición θ=0. Mientras, el tu gira en el sentido de las agujas del reloj. Comprobamos que el periodo de las oscilaciones aproximadamente coincide con la aproximación sinθ≈θ
Comprobamos que la energía se mantiene constante
>> E_ini E_ini = 0.5400 >> E E = 0.5400 0.5400 ..... 0.5396 0.5394
En el instante t=0
- Posición angular del tubo, ø=0, velocidad angular, dø/dt=0
- Posición angular del cilindro, θ=π/3 (60°), velocidad angular, dθ/dt=0. Velocidad angular de rotación dφ/dt=0
Desplazamos el cilindro un ángulo de 60° y lo soltamos
R=1; %radio del tubo r=0.4; %radio del cilindro M=1; %masa del tubo m=2; %masa del cilindro w2=(2*M+m)*9.8/((3*M+m)*(R-r)); th_0=pi/3; J=0; f=@(t,x) [x(2);-w2*sin(x(1)); (J+m*(R-r)*x(2))/((2*M+m)*R)]; [t,x]=ode45(f,[0,5],[th_0,0,0]); hold on plot(t,x(:,1)) %cilindro macizo plot(t,x(:,3)) %tubo hold off grid on xlabel('t') ylabel('\theta') legend('cilindro','tubo','location','best') title('Movimiento del cilindro') %energía E_ini=m*9.8*(R-r)*(1-cos(th_0)); J=0; vy=(J+m*(R-r)*x(:,2))/((m+2*M)*R); E=(2*M+m)*R*R*vy.^2/4-m*R*(R-r)*vy.*x(:,2)/2+3*m*(R-r)^2*x(:,2).^2/4 +m*9.8*(R-r)*(1-cos(x(:,1)));
Observamos oscilaciones del cilindro y del tubo. Comprobamos que la energía se matiene constante
>> E_ini E_ini = 5.8800 >> E E = 5.8800 5.8800 .... 5.8424 5.8424
Representamos el cociente entre el valor absoluto de la fuerza de rozamiento y la reacción del tubo, |Fr|/N en función del tiempo t. Vemos que si el coeficiente estático es mayor que 0.35, el cilindro rueda sin deslizar
R=1; %radio del tubo r=0.4; %radio del cilindro M=1; %masa del tubo m=2; %masa del cilindro w2=(2*M+m)*9.8/((3*M+m)*(R-r)); th_0=pi/3; J=0; f=@(t,x) [x(2);-w2*sin(x(1)); (J+m*(R-r)*x(2))/((2*M+m)*R)]; [t,x]=ode45(f,[0,5],[th_0,0,0]); Fr=abs(-m*M*9.8*sin(x(:,1))/(3*M+m)); N=m*9.8*cos(x(:,1))+m*x(:,2).^2*(R-r); plot(t,Fr./N) grid on xlabel('t') ylabel('F_r') title('Fuerza de rozamiento')
Actividades
Se introduce
- La masa del cilindro, m, en el control titulado Masa cilindro
- El radio del cilindro, r, en el control titulado Radio
- La masa del tubo se ha fijado en M=1 kg
- El radio del tubo se ha fijado en R=1 m
- La posición angular inicial (en grados) del cilindro en el control titulado Posición
- La velocidad inicial (en rad/s) del c. m. del cilindro en el control titulado Velocidad
- La velocidad angular inicial de rotación del cilindro dφ/dt=0
- Se ha fijado la posición angular ø=0 y la velocidad angular inicial de rotación del tubo dø/dt=0
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento de rotación del tubo y al cilindro rodando sin deslizar por el interior del tubo
En la parte derecha, se proporcionan los datos del
- El tiempo t en s
- La posición angular θ del c.m. del cilindro
- La velocidad angular dθ/dt del c. m. del cilindro
- La posición angular ø del tubo
- La reacción N del tubo
El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente
donde E es la energía del sistema en cualquier instante t, y E0 es la energía inicial del sistema.
Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte inferior derecha. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.
Cuando la reacción N≤0 del tubo, la animación se detiene
Referencias
APhO Problems and Solutions, 2009 Thailand. Rolling Cylinders