Movimiento de una esfera que rueda sobre una cúpula semiesférica
Superficie cilíndrica convexa
En la página titulada Oscilaciones de un cuerpo que rueda sobre superficie cóncava, estudiamos el movimiento de un cuerpo que rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica cóncava
Como hemos demostrado, para que un cuerpo en forma de aro, cilindro o esfera de radio r, ruede sin deslizar en un plano horizontal o inclinado, se tiene que cumplir que vc=ωr, a fin de que la velocidad del punto P de contacto del cuerpo con el plano sea nula. Donde
- vc es la velocidad del centro de masas
- ω es la velocidad angular de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro
En el caso de que el cuerpo ruede sobre una superficie cilíndrica, la velocidad del centro de masas es
La velocidad angular de rotación es
Para que la velocidad del punto P de contacto sea nula, se tiene que cumplir que
La relación entre el desplazamiento angular del centro del cuerpo θ y el ángulo φ girado por el cuerpo es (R+r)θ=rφ
Vamos a comprobar esta relación de forma geométrica
Un cuerpo de radio r rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. El centro del cuerpo describe un arco s=(R+r)θ (en color verde), mientras el cuerpo rueda una longitud u=Rθ sobre la pista (en color negro) e igual al arco de color rojo pintado sobre el cuerpo. la posición angular del punto P del cuerpo, como vemos en la figura es, φ=u/r+θ o bien, (R+r)θ=rφ
Parte de la figura ha sido elaborada con el siguiente código
th=pi/3; %ángulo r=0.25; %radio del cuerpo que rueda hold on fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [0, pi/2], 'linewidth',1.5) ang=(1:360)*pi/180; x1=r*cos(ang); y1=(1+r)+r*sin(ang); fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7]) line([0,0],[0,1+r],'linestyle','--') line([0,1],[0,0],'linestyle','--') x1=(1+r)*sin(th)+r*cos(ang); y1=(1+r)*cos(th)+r*sin(ang); fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7]) line([0,(1+r)*sin(th)],[0,(1+r)*cos(th)],'linestyle','--','color','k') fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [pi/2-th,pi/2,], 'linewidth',1.5,'color','k') fplot(@(t) (1+r)*sin(th)+r*cos(t), @(t) (1+r)*cos(th)+r*sin(t), [-th/r-(pi/2+th),-(pi/2+th)], 'linewidth',1.5, 'color','r') fplot(@(t) (1+r)*cos(t), @(t) (1+r)*sin(t), [pi/2-th, pi/2], 'linewidth',1,'color','g') plot(0,1,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor', 'b','markerfacecolor','b') plot((1+r)*sin(th)+r*cos(-th/r-(pi/2+th)),(1+r)*cos(th)+ r*sin(-th/r-(pi/2+th)),'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor', 'b','markerfacecolor','b') hold off axis equal axis off
Movimiento de la esfera

La cúpula semiesférica tiene un radio R, y la esfera tiene un radio r. Se sitúa la esfera en el origen, en el vértice de la cúpula, θ=0. Cuando el centro de la esfera se ha desplazado un ángulo θ, las fuerzas que actúan son:
- El peso, mg
- La reacción N o fuerza que ejerce la cúpula sobre la esfera
- La fuerza de rozamiento Fr
Etapas del movimiento:
- Cuando Fr<μN la esfera rueda sin deslizar sobre la cúpula
- Cuando Fr=μN la esfera rueda y desliza
- Cuando N=0, la esfera deja de tener contacto con la cúpula. El centro de la esfera describe un movimiento parabólico hasta que impacta en el suelo.
La esfera rueda sin deslizar

Para que la esfera ruede si deslizar, el punto P de contacto de la esfera con la cúpula tiene que tener velocidad cero, lo que implica una relación entre la velocidad de traslación y la velocidad angular de rotación
O bien, una relación entre el ángulo θ que se desplaza el centro de la esfera y el ángulo φ que gira la esfera. Se supone que en el instante t=0, θ=0 y φ=0.
Principio de conservación de la energía

A medida que la esfera rueda sin deslizar, disminuye la energía potencial del centro de la esfera (punto de color negro en la figura) correspondiente a una altura h=(R+r)-(R+r)cosθ
Como consecuencia, se incrementa la energía cinética de traslación del centro de masa (c.m.) de la esfera y la energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. El momento de inercia de la esfera de masa m y radio r es 2mr2/5.
Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad angular de traslación dθ/dt y la de rotación dφ/dt, despejamos dθ/dt
Ecuaciones del movimiento

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera
-
Movimiento de traslación del centro de masa
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m
Si la esfera rueda sin deslizar, ambas aceleraciones están relacionadas (R+r)θ=rφ. Despejamos la fuerza de rozamiento Fr del sistema de ecuaciones

El centro de la esfera describe una arco de circunferencia de radio (R+r) con velocidad (R+r)dθ/dt. Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular,
Si la esfera rodase sin deslizar, la reacción N se haría cero para el ángulo cosθn=10/17. Para una partícula obtuvimos cosθn=2/3
Final de la primera etapa
En la figura, representamos Fr y μN en función del ángulo θ. Para el ángulo θ tal que Fr=μN la esfera empieza a deslizar. Este ángulo está señalado en la figura mediante una línea vertical a trazos
Se puede expresar como ecuación de segundo grado en cosθ
En este ejemplo, la cúpula tiene un radio R=1 y el coeficiente de rozamiento μ=0.4
R=1; %radio mu=0.4; %coef. rozamiento aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4))*180/pi; muN=@(x) mu*(17*cos(x*pi/180)-10)/7; Fr=@(x) 2*sin(x*pi/180)/7; hold on fplot(muN,[0,aDesliza+10]) fplot(Fr,[0,aDesliza+10]) line([aDesliza,aDesliza], [0,Fr(aDesliza)], 'LineStyle','--','color','k') hold off grid on xlabel('\theta') ylabel('\muN, F_r'); legend('\muN', 'F_r') title('Fuerza de rozamiento')
>> aDesliza ans = 39.2545
Este ángulo límite θs se incrementa con el coeficiente de rozamiento μ, tal como vemos en la figura más abajo
f=@(x) acos((170*x.^2+2*sqrt(189*x.^2+4))./(289*x.^2+4))*180/pi; fplot(f,[0,1]) grid on xlabel('\mu') ylabel('\theta_s') title('Empieza a deslizar')
Para este ángulo límite θs, el cuadrado de la velocidad angular (dθ/dt)s de traslación del c.m. de la esfera es
Caso particular: no hay rozamiento μ=0
Si el rozamiento fuera nulo μ=0, entonces cosθs=1, θs=0, no tendríamos movimiento de rotación, solamente de traslación, el principio de conservación de la energía se escribiría
La reacción de la cúpula N valdría
N se hace cero para el ángulo cosθs=2/3, que corresponde a un ángulo de 48° con la vertical, tal como ya hemos calculado al estudiar el movimiento de una partícula que desliza sin rozamiento sobre la cúpula.
La esfera rueda y desliza
Cuando θ>θs la esfera rueda y desliza, la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo, Fr=μN. Las ecuaciones del movimiento son:
Movimiento de traslación del centro de masa
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
No hay relación entre el movimiento de traslación y rotación
El centro de la esfera describe una arco de circunferencia de radio (R+r) con velocidad (R+r)dθ/dt. Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular,
Eliminamos N entre la primera y la tercera ecuación, y procedemos de forma similar al estudio del movimiento de una partícula que desliza con rozamiento sobre un cúpula semicircular
Teniendo en cuenta que
Se transforma una ecuación diferencial de segundo orden en otra de primero.
con z=ω2. La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:
La solución particular z1=Asinθ+Bcosθ
Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B
Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea
Integrando ambos miembros obtenemos lnz=2μθ+cte, o bien, z2=C·exp(2μθ)
La solución completa es z=z1+z2
La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=θs, dθ/dt=(dθ/dt)s
Finalmente, la ecuación que nos proporciona el cuadrado de la velocidad angular (dθ/dt)2 en función del ángulo θ, es
Ahora, calculamos la reacción N de la cúpula
N se hace cero para el ángulo crítico θn tal que
En este ejemplo, representamos la reacción N en función del ángulo θ>θs. La cúpula tiene un radio R=1 y el coeficiente de rozamiento μ=0.4. Calculamos el ángulo crítico θn para el cual N=0, conocido θs=39.25°
R=1; %radio mu=0.4; %coef. rozamiento aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4)); N=@(x) cos(x*pi/180)-exp(2*mu*(x*pi/180-aDesliza))* (10/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/(28*mu^2+7)+6*mu*sin(aDesliza)/(4*mu^2+1)) +6*mu*sin(x*pi/180)/(4*mu^2+1)-(4*mu^2-2)*cos(x*pi/180)/(4*mu^2+1); hold on fplot(N,[aDesliza,pi/2]*180/pi) f=@(x) 3*cos(x)+6*mu*sin(x)-(10*(4*mu^2+1)/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/7 +6*mu*sin(aDesliza))*exp(2*mu*(x-aDesliza)); aNormal=fzero(f,aDesliza)*180/pi; line([aNormal,aNormal], [-2.5,0], 'LineStyle','--','color','k') hold off grid on xlabel('\theta') ylabel('N') title('Reacción N')
>> aNormal = 52.5008
En la figura, se representa el ángulo θn en función del coeficiente de rozamiento μ. Este ángulo crece a partir de 48° cuando μ=0
g=@(x) acos((170*x.^2+2*sqrt(189*x.^2+4))./(289*x.^2+4)); roza=0:0.01:1; k=0; aNormal=zeros(1,length(roza)); for mu=roza aDesliza=g(mu); %ángulo límite rueda y desliza f=@(x) 3*cos(x)+6*mu*sin(x)-(10*(4*mu^2+1)/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/7 +6*mu*sin(aDesliza))*exp(2*mu*(x-aDesliza)); k=k+1; aNormal(k)=fzero(f,[aDesliza,pi/2]); %ángulo límite, N=0 end plot(roza,aNormal*180/pi) grid on xlabel('\mu') ylabel('\theta_c') title('Rueda y desliza')
Movimiento completo
En este apartado, describiremos el movimiento del c.m. de la esfera cuya posición angular es θ. En la figura, se muestran las etapas del movimiento de la esfera sobre la cúpula
- La posición inicial de partida, desviado un pequeño ángulo θ0 de la posición de equilibrio inestable θ=0
- Mientras la esfera está en contacto con la cúpula pueden ocurrir dos casos:
- La esfera rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento Fr es menor que el valor máximo μN en el intervalo entre θ0 y θs
- La fuerza de rozamiento Fr=μN y la esfera rueda y desliza, en el intervalo entre θs y θn, para este ángulo N=0
- La esfera deja de estar en contacto con con la cúpula y su centro describe una trayectoria parabólica hasta que impacta en el suelo
El estado inicial
Para que comience el movimiento de la esfera, hemos de desviarla un pequeño ángulo θ0 de su posición de equilibrio inestable θ=0. Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos la velocidad inicial de traslación del c.m. para este ángulo inicial
Rueda sin deslizar
Dado el coeficiente de rozamiento μ, calculamos el ángulo límite θs. Entre θ0 y θs la esfera rueda sin deslizar
Resolvemos aplicando procedimientos numéricos la ecuación diferencial que describe la posición angular θ del c.m. en función del tiempo t, con las condiciones iniciales especificadas, en el instante t=0, la posición inicial del c.m. es θ0 y la velocidad angular inicial es (dθ/dt)0
En este ejemplo, representamos la posición angular θ en función del tiempo t. La cúpula tiene un radio R=1, la esfera tiene radio r=0.3 y el coeficiente de rozamiento μ=0.4. La posición inicial de partida es θ0=0.01 rad
R=1; %radio mu=0.4; %coef. rozamiento r=0.3; %radio de la esfera aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4)); %ángulo límite %posición inicial y velocidad inicial del c.m. x0=[0.01,sqrt(980/R)*2*sin(0.01/2)]; f=@(t,x) [x(2);9.8*5*sin(x(1))/(7*(R+r))]; opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_esfera(t,x,aDesliza)); tspan=[0,100]; [t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts); tFin=t(end); hold on plot(t,x(:,1)*180/pi) ... %continúa
El procedimiento de cálculo se detiene cuando la posición angular θ del c.m. alcanza el ángulo límite θs, definiendo la función
function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_esfera(~,x,xFin) value=x(1)-xFin; isterminal=1; direction=0; end
Al finalizar la primera etapa, la posición angular del c.m. de la esfera es θs y la velocidad angular es
Rueda y desliza
Calculamos el ángulo límite θn para el cual la rueda deja de tener contacto con la cúpula, la reacción N=0, resolviendo la ecuación transcendente
En el intervalo angular entre θs y θn, la esfera rueda y desliza, la ecuación del movimiento del c.m. de la esfera es
Se resuelve aplicando procedimientos numéricos con las condiciones iniciales señaladas en el apartado anterior: la posición inicial del c.m. de la esfera es θs y su velocidad inicial (dθ/dt)s.
.... %ángulo límite, rueda sin deslizar aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4)); wDesliza=sqrt(10*9.8*(1-cos(aDesliza))/(7*(R+r))); f=@(x) 3*cos(x)+6*mu*sin(x)-(10*(4*mu^2+1)/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/7 +6*mu*sin(aDesliza))*exp(2*mu*(x-aDesliza)); aNormal=fzero(f,aDesliza); %ángulo límite para N=0 x0=[aDesliza,wDesliza]; f=@(t,x) [x(2); 9.8*sin(x(1))/(R+r)-mu*(9.8*cos(x(1))/(R+r)-x(2)^2)]; opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_esfera(t,x,aNormal)); tspan=[0,100]; %hasta un tiempo de 3 [t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts); plot(t+tFin,x(:,1)*180/pi) line([0,tFin], [aDesliza,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k') line([0,tFin+t(end)], [aNormal,aNormal]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k') line([tFin,tFin], [0,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k') line([tFin+t(end),tFin+t(end)], [0,aNormal]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k') hold off grid on xlabel('t') ylabel('\theta'); title('Posición angular en función del tiempo')
El procedimiento de cálculo se detiene cuando la posición angular θ del c.m. alcanza el ángulo límite θn
En color azul, se representa la primera etapa del movimiento: la esfera rueda sin deslizar. En color anaranjado, la segunda etapa: la esfera rueda y desliza, se señalan los instantes y los ángulos θs y θn
El ángulo límite es θn=52.5°. Comprobamos que la normal N para este ángulo es próxima a cero
>> w_c=sqrt(9.8*(exp(2*mu*(aNormal-aDesliza))* (10/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/(28*mu^2+7)+6*mu*sin(aDesliza)/(4*mu^2+1))- 6*mu*sin(aNormal)/(4*mu^2+1)+(4*mu^2-2)*cos(aNormal)/(4*mu^2+1))/(R+r)); >> normal=9.8*cos(aNormal)-(R+r)*w_c^2; >> aNormal*180/pi ans = 52.5008 >> normal normal = 1.7764e-15
Al finalizar la segunda etapa, la posición del c.m. de la esfera es θn y su velocidad angular (dθ/dt)n es
Tiro parabólico

El c.m. de la esfera describe un movimiento parabólico, que parte de la posición x0=(R+r)sinθn, y0=(R+r)cosθn, con velocidad inicial vn=(R+r)(dθ/dt)n y haciendo un ángulo θn por debajo de la horizontal, tal como se aprecia en la figura. Las ecuaciones del movimiento son:
Movimiento de rotación de la esfera
En la simulación más abajo, además del movimiento de traslación del centro de masas de la esfera, se visualiza el movimiento de rotación de la esfera alrededor de un eje que pasa por el cm.
Cuando la esfera rueda sin deslizar, en el intervalo de θ0 a θs. El ángulo φ que gira la esfera está relacionado con la posición angular θ del centro de la esfera, (R+r)θ=rφ
El ángulo y la velocidad angular al finalizar la primera etapa, cuando θ=θs valen
Estas son la posición angular y velocidad angular iniciales para la siguiente etapa del movimiento.
Cuando la esfera rueda y desliza, el movimiento de rotación y el movimiento de traslación no están relacionados. En esta etapa, entre los ángulos θs y θn, se resuelve por procedimientos numéricos el sistema de dos ecuaciones diferenciales
Con las condiciones iniciales especificadas: además de las mencionadas φs y (dφ/dt)s, las que corresponden al movimiento del c.m. de la esfera: la posición inicial θs y su velocidad inicial (dθ/dt)s, que describimos en apartados anteriores
Cuando la posición angular del centro de la esfera alcanza el ángulo crítico θn, la reacción N=0, la velocidad angular final de rotación de la esfera (dφ/dt)n se mantien constante. El ángulo girado por la esfera desde ese instante es
Siendo tn el instante en el que el centro de la esfera alcanza la posición θn y el ángulo girado por la esfera es φn
Actividades
Se introduce
- El radio r de la esfera en el control titulado Radio esfera
- El radio de la cúpula se ha fijado en R=1 m
- El coeficiente de rozamiento μ en el control titulado Coef. rozamiento que tendrá que ser mayor que cero
- El ángulo inicial de partida se ha fijado en θ0=0.01 rad
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento de traslación de la esfera sobre la cúpula y el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. Se señalan mediante líneas de color rojo y azul los ángulos críticos θs y θn.
Se calcula la energía (potencial gravitatoria, cinética de traslación y cinética de rotación) para cada etapa del movimiento, la energía se conserva excepto en la etapa en la que la esfera desliza, que disminuye ligeramente.
Se sugiere al lector probar con un rozamiento muy pequeño, pero no nulo. Para examinar el caso μ=0 se recomienda visitar la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica. Sin rozamiento
La esfera rueda sobre una cúpula semiesférica móvil

Supongamos que la cúpula semiesférica tiene masa M y se puede mover sin rozamiento en el plano horizontal. El análisis de este problema es similar al que se ha llevado a cabo en la página titulada Un cuerpo desliza sobre una cúpula semiesférica móvil.
Conservación del momento lineal
Sea M la masa de la cúpula y VM su velocidad. La conservación del momento lineal a lo largo del eje X se escribe
La velocidad de la cúpula, VM es de sentido contrario al indicado en la figura, la cúpula se mueve hacia la izquierda
Conservación de la energía
Teniendo en cuenta que la esfera rueda sin deslizar
En este sistema de dos ecuaciones, despejamos la velocidad de la cúpula VM y la velocidad del centro de masas de la esfera (R+r)dθ/dt
Ecuaciones del movimiento

Supongamos que la aceleración de la cúpula semiesférica es aM hacia la derecha. En la figura, se muestran las fuerzas sobre la esfera
- El peso, mg
- La reacción de la cúpula, N>0
- La fuerza de rozamiento, en el punto de contacto de la esfera con la cúpula, Fr
Para que la esfera ruede sin deslizar, Fr≤μN
La ecuación del movimiento del c.m. de la esfera en la dirección tangencial
La ecuación del movimiento del c.m. de la esfera en la dirección normal
La ecuación de la dinámica de rotación de la esfera
La ecuación del movimiento de la cúpula semiesférica a lo largo del eje X
En el sistema de cuatro ecuaciones eliminamos Fr y N, quedando el sistema de dos ecuaciones
Despejamos la aceleración de la cúpula aM
La aceleración del centro de masas de la esfera es
Angulos límite
La reacción N=0 de la cúpula se hace cero.
La esfera empieza a deslizar cuando Fr=μN
La esfera deja de estar en contacto con la cúpula semiesférica, aM=0
De la ecuación del movimiento en la dirección normal
De la conservación de la energía y momento lineal
El ángulo θn se obtiene resolviendo la ecuación cúbica en cosθ
Cuando la masa de la cúpula M o M+m es muy grande obtenemos el resultado anterior cosθn=10/17
La raíz de la ecuación transcendente, nos da el ángulo θs para el cual la esfera empieza a deslizar
Cuando la masa de la cúpula M o M+m es muy grande, aM≈0, obtenemos el resultado anterior (cúpula inmóvil)
Referencias
Diego C. de Souza, Vitor R. Coluci. The motion of a ball moving down a circular path. Am. J. Phys. 85 (2) February 2017, pp. 124-129
Chinese Physics Olympiad 2018 Finals. Theoretical Exam. Solution. Problem 1. https://physoly.tech/static/files/archive/CPhO-2018-F-S.pdf