Movimiento de una esfera que rueda sobre una cúpula semiesférica

Superficie cilíndrica convexa

En la página titulada Oscilaciones de un cuerpo que rueda sobre superficie cóncava, estudiamos el movimiento de un cuerpo que rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica cóncava

Como hemos demostrado, para que un cuerpo en forma de aro, cilindro o esfera de radio r, ruede sin deslizar en un plano horizontal o inclinado, se tiene que cumplir que vc=ωr, a fin de que la velocidad del punto P de contacto del cuerpo con el plano sea nula. Donde

En el caso de que el cuerpo ruede sobre una superficie cilíndrica, la velocidad del centro de masas es

v c = ds dt =(R+r) dθ dt

La velocidad angular de rotación es

ω= dφ dt

Para que la velocidad del punto P de contacto sea nula, se tiene que cumplir que

(R+r) dθ dt =r dφ dt

La relación entre el desplazamiento angular del centro del cuerpo θ y el ángulo φ girado por el cuerpo es (R+r)θ=rφ

Vamos a comprobar esta relación de forma geométrica

Un cuerpo de radio r rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. El centro del cuerpo describe un arco s=(R+r)θ (en color verde), mientras el cuerpo rueda una longitud u=Rθ sobre la pista (en color negro) e igual al arco de color rojo pintado sobre el cuerpo. la posición angular del punto P del cuerpo, como vemos en la figura es, φ=u/r+θ o bien, (R+r)θ=rφ

φ= R+r r θ

Parte de la figura ha sido elaborada con el siguiente código

th=pi/3; %ángulo
r=0.25; %radio del cuerpo que rueda
hold on
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [0, pi/2], 'linewidth',1.5)
ang=(1:360)*pi/180;
x1=r*cos(ang);
y1=(1+r)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,0],[0,1+r],'linestyle','--')
line([0,1],[0,0],'linestyle','--')

x1=(1+r)*sin(th)+r*cos(ang);
y1=(1+r)*cos(th)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,(1+r)*sin(th)],[0,(1+r)*cos(th)],'linestyle','--','color','k')
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [pi/2-th,pi/2,], 'linewidth',1.5,'color','k')
fplot(@(t) (1+r)*sin(th)+r*cos(t), @(t) (1+r)*cos(th)+r*sin(t), 
[-th/r-(pi/2+th),-(pi/2+th)], 'linewidth',1.5, 'color','r')
fplot(@(t) (1+r)*cos(t), @(t) (1+r)*sin(t), [pi/2-th, pi/2], 
'linewidth',1,'color','g')
plot(0,1,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')
plot((1+r)*sin(th)+r*cos(-th/r-(pi/2+th)),(1+r)*cos(th)+
r*sin(-th/r-(pi/2+th)),'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')

hold off
axis equal
axis off

Movimiento de la esfera

La cúpula semiesférica tiene un radio R, y la esfera tiene un radio r. Se sitúa la esfera en el origen, en el vértice de la cúpula, θ=0. Cuando el centro de la esfera se ha desplazado un ángulo θ, las fuerzas que actúan son:

Etapas del movimiento:

La esfera rueda sin deslizar

Para que la esfera ruede si deslizar, el punto P de contacto de la esfera con la cúpula tiene que tener velocidad cero, lo que implica una relación entre la velocidad de traslación y la velocidad angular de rotación

( R+r ) dθ dt =r dφ dt ( R+r )θ=rφ

O bien, una relación entre el ángulo θ que se desplaza el centro de la esfera y el ángulo φ que gira la esfera. Se supone que en el instante t=0, θ=0 y φ=0.

Principio de conservación de la energía

A medida que la esfera rueda sin deslizar, disminuye la energía potencial del centro de la esfera (punto de color negro en la figura) correspondiente a una altura h=(R+r)-(R+r)cosθ

Como consecuencia, se incrementa la energía cinética de traslación del centro de masa (c.m.) de la esfera y la energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. El momento de inercia de la esfera de masa m y radio r es 2mr2/5.

mg(R+r)mg(R+r)cosθ= 1 2 m ( (R+r) dθ dt ) 2 + 1 2 ( 2 5 m r 2 ) ( dφ dt ) 2

Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad angular de traslación dθ/dt y la de rotación dφ/dt, despejamos dθ/dt

( dθ dt ) 2 = 10g 7(R+r) (1cosθ) dθ dt =2 5g 7(R+r) sin θ 2

Ecuaciones del movimiento

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

Si la esfera rueda sin deslizar, ambas aceleraciones están relacionadas (R+r)θ=rφ. Despejamos la fuerza de rozamiento Fr del sistema de ecuaciones

F r = 2 7 mgsinθ

El centro de la esfera describe una arco de circunferencia de radio (R+r) con velocidad (R+r)dθ/dt. Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular,

m(R+r) ( dθ dt ) 2 =mgcosθN N= mg 7 ( 17cosθ10 )

Si la esfera rodase sin deslizar, la reacción N se haría cero para el ángulo cosθs=10/17. Para una partícula obtuvimos cosθs=2/3

Final de la primera etapa

En la figura representamos Fr y μN en función del ángulo θ. Para el ángulo θ tal que Fr=μN la esfera empieza a deslizar. Este ángulo está señalado en la figura mediante una línea vertical a trazos

2 7 mgsinθ=μ mg 7 (17cosθ10)

Elevamos al cuadrado ambos miembros, quedando la ecuación de segundo grado

(289 μ 2 +4) cos 2 θ340 μ 2 cosθ+100 μ 2 4=0 cos θ s = 170 μ 2 +2 189 μ 2 +4 289 μ 2 +4

En este ejemplo, la cúpula tiene un radio R=1 y el coeficiente de rozamiento μ=0.4

R=1; %radio
mu=0.4; %coef. rozamiento

aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4))*180/pi;
muN=@(x) mu*(17*cos(x*pi/180)-10)/7;
Fr=@(x) 2*sin(x*pi/180)/7;

hold on
fplot(muN,[0,aDesliza+10])
fplot(Fr,[0,aDesliza+10])
line([aDesliza,aDesliza], [0,Fr(aDesliza)], 'LineStyle','--','color','k')
hold off

grid on
xlabel('\theta')
ylabel('\muN, F_r');
legend('\muN', 'F_r')
title('Fuerza de rozamiento')

>> aDesliza
ans =   39.2545

Este ángulo límite θs se incrementa con el coeficiente de rozamiento μ, tal como vemos en la figura más abajo

f=@(x) acos((170*x.^2+2*sqrt(189*x.^2+4))./(289*x.^2+4))*180/pi;
fplot(f,[0,1])
grid on
xlabel('\mu')
ylabel('\theta_s')
title('Empieza a deslizar')

Para este ángulo límite θs, el cuadrado de la velocidad angular (dθ/dt)s de traslación del c.m. de la esfera es

( dθ dt ) s 2 = 10g 7(R+r) (1cos θ s )

Caso particular: no hay rozamiento μ=0

Si el rozamiento fuera nulo μ=0, entonces cosθs=1, θs=0, no tendríamos movimiento de rotación, solamente de traslación, el principio de conservación de la energía se escribiría

mg(R+r)mg(R+r)cosθ= 1 2 m ( (R+r) dθ dt ) 2 ( dθ dt ) 2 = 2g (R+r) (1cosθ)

La reacción de la cúpula N valdría

m(R+r) ( dθ dt ) 2 =mgcosθN N=3mgcosθ2mg

N se hace cero para el ángulo cosθs=2/3, que corresponde a un ángulo de 48° con la vertical, tal como ya hemos calculado al estudiar el movimiento de una partícula que desliza sin rozamiento sobre la cúpula.

La esfera rueda y desliza

Cuando θ>θs la esfera rueda y desliza, la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo, Fr=μN. Las ecuaciones del movimiento son:

No hay relación entre el movimiento de traslación y rotación

El centro de la esfera describe una arco de circunferencia de radio (R+r) con velocidad (R+r)dθ/dt. Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular,

mgcosθN=m(R+r) ( dθ dt ) 2

Eliminamos N entre la primera y la tercera ecuación, y procedemos de forma similar al estudio del movimiento de una partícula que desliza con rozamiento sobre un cúpula semicircular

m(R+r) d 2 θ d t 2 =mgsinθμ( mgcosθm(R+r) ( dθ dt ) 2 )

Teniendo en cuenta que

d 2 θ d t 2 = dω dt = dω dθ dθ dt =ω dω dθ = 1 2 d ω 2 dθ ω= dθ dt

Se transforma una ecuación diferencial de segundo orden en otra de primero.

1 2 d ω 2 dθ μ ω 2 = g (R+r) ( sinθμcosθ ) 1 2 dz dθ μz= g (R+r) ( sinθμcosθ )

con z=ω2. La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular z1=Asinθ+Bcosθ

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B

A= 6μ 4 μ 2 +1 g (R+r)                   B= 4 μ 2 2 4 μ 2 +1 g (R+r)

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

1 2 dz dθ μz=0       dz z =2μ·dθ     dz z = 2μ·dθ

Integrando ambos miembros obtenemos lnz=2μθ+cte, o bien, z2=C·exp(2μθ)

La solución completa es z=z1+z2

z=Cexp(2μθ)+ g (R+r) 6μ·sinθ+(4 μ 2 2)cosθ 4 μ 2 +1

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=θs, dθ/dt=(dθ/dt)s

Finalmente, la ecuación que nos proporciona el cuadrado de la velocidad angular (dθ/dt)2 en función del ángulo θ, es

( dθ dt ) 2 = g (R+r) { exp( 2μ(θ θ s ) )( 10 7 68 μ 2 4 7(4 μ 2 +1) cos θ s + 6μ 4 μ 2 +1 sin θ s ) 6μ 4 μ 2 +1 sinθ+ (4 μ 2 2) 4 μ 2 +1 cosθ }

Ahora, calculamos la reacción N de la cúpula

N=mgcosθm(R+r) ( dθ dt ) 2

N se hace cero para el ángulo crítico θn tal que

3cosθ+6μsinθ exp( 2μ(θ θ s ) ){ 10 7 (4 μ 2 +1) 68 μ 2 4 7 cos θ s +6μsin θ s }=0

En este ejemplo, representamos la reacción N en función del ángulo θ>θs. La cúpula tiene un radio R=1 y el coeficiente de rozamiento μ=0.4. Calculamos el ángulo crítico θn para el cual N=0, conocido θs=39.25°

R=1; %radio
mu=0.4; %coef. rozamiento
aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4));

N=@(x) cos(x*pi/180)-exp(2*mu*(x*pi/180-aDesliza))*
(10/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/(28*mu^2+7)+6*mu*sin(aDesliza)/(4*mu^2+1))
+6*mu*sin(x*pi/180)/(4*mu^2+1)-(4*mu^2-2)*cos(x*pi/180)/(4*mu^2+1);
hold on
fplot(N,[aDesliza,pi/2]*180/pi)
f=@(x) 3*cos(x)+6*mu*sin(x)-(10*(4*mu^2+1)/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/7
+6*mu*sin(aDesliza))*exp(2*mu*(x-aDesliza));
aNormal=fzero(f,aDesliza)*180/pi;

line([aNormal,aNormal], [-2.5,0], 'LineStyle','--','color','k')
hold off
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('N')
title('Reacción N')

>> aNormal =   52.5008

En la figura, se representa el ángulo θn en función del coeficiente de rozamiento μ. Este ángulo crece a partir de 48° cuando μ=0

g=@(x) acos((170*x.^2+2*sqrt(189*x.^2+4))./(289*x.^2+4));
roza=0:0.01:1;
k=0;
aNormal=zeros(1,length(roza));

for mu=roza
   aDesliza=g(mu); %ángulo límite rueda y desliza
    f=@(x) 3*cos(x)+6*mu*sin(x)-(10*(4*mu^2+1)/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/7
+6*mu*sin(aDesliza))*exp(2*mu*(x-aDesliza));
    k=k+1;
    aNormal(k)=fzero(f,[aDesliza,pi/2]); %ángulo límite, N=0 
end
plot(roza,aNormal*180/pi)
grid on
xlabel('\mu')
ylabel('\theta_c')
title('Rueda y desliza')

Movimiento completo

En este apartado, describiremos el movimiento del c.m. de la esfera cuya posición angular es θ. En la figura, se muestran las etapas del movimiento de la esfera sobre la cúpula

El estado inicial

Para que comience el movimiento de la esfera, hemos de desviarla un pequeño ángulo θ0 de su posición de equilibrio inestable θ=0. Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos la velocidad inicial de traslación del c.m. para este ángulo inicial

( dθ dt ) 0 =2 5g 7(R+r) sin θ 0 2

Rueda sin deslizar

Dado el coeficiente de rozamiento μ, calculamos el ángulo límite θs. Entre θ0 y θs la esfera rueda sin deslizar

cos θ s = 170 μ 2 +2 189 μ 2 +4 289 μ 2 +4

Resolvemos aplicando procedimientos numéricos la ecuación diferencial que describe la posición angular θ del c.m. en función del tiempo t, con las condiciones iniciales especificadas, en el instante t=0, la posición inicial del c.m. es θ0 y la velocidad angular inicial es (dθ/dt)0

(R+r) d 2 θ d t 2 = 5 7 gsinθ

En este ejemplo, representamos la posición angular θ en función del tiempo t. La cúpula tiene un radio R=1, la esfera tiene radio r=0.3 y el coeficiente de rozamiento μ=0.4. La posición inicial de partida es θ0=0.01 rad

R=1; %radio
mu=0.4; %coef. rozamiento
r=0.3; %radio de la esfera
aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4)); %ángulo límite

%posición inicial y velocidad inicial del c.m.
x0=[0.01,sqrt(980/R)*2*sin(0.01/2)]; 
f=@(t,x) [x(2);9.8*5*sin(x(1))/(7*(R+r))]; 
opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_esfera(t,x,aDesliza));
tspan=[0,100]; 
[t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);
tFin=t(end);
hold on
plot(t,x(:,1)*180/pi)
... %continúa

El procedimiento de cálculo se detiene cuando la posición angular θ del c.m. alcanza el ángulo límite θs, definiendo la función

function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_esfera(~,x,xFin)
    value=x(1)-xFin; 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Al finalizar la primera etapa, la posición angular del c.m. de la esfera es θs y la velocidad angular es

( dθ dt ) s =2 5g 7(R+r) sin θ s 2

Rueda y desliza

Calculamos el ángulo límite θn para el cual la rueda deja de tener contacto con la cúpula, la reacción N=0, resolviendo la ecuación transcendente

3cosθ+6μsinθ exp( 2μ(θ θ s ) ){ 10 7 (4 μ 2 +1) 68 μ 2 4 7 cos θ s +6μsin θ s }=0

En el intervalo angular entre θs y θn, la esfera rueda y desliza, la ecuación del movimiento del c.m. de la esfera es

(R+r) d 2 θ d t 2 =gsinθμ( gcosθ(R+r) ( dθ dt ) 2 )

Se resuelve aplicando procedimientos numéricos con las condiciones iniciales señaladas en el apartado anterior: la posición inicial del c.m. de la esfera es θs y su velocidad inicial (dθ/dt)s.

....
 %ángulo límite, rueda sin deslizar
aDesliza=acos((170*mu^2+2*sqrt(189*mu^2+4))/(289*mu^2+4)); 
wDesliza=sqrt(10*9.8*(1-cos(aDesliza))/(7*(R+r)));

f=@(x) 3*cos(x)+6*mu*sin(x)-(10*(4*mu^2+1)/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/7
+6*mu*sin(aDesliza))*exp(2*mu*(x-aDesliza));
aNormal=fzero(f,aDesliza); %ángulo límite para N=0

x0=[aDesliza,wDesliza];
f=@(t,x) [x(2); 9.8*sin(x(1))/(R+r)-mu*(9.8*cos(x(1))/(R+r)-x(2)^2)]; 
opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_esfera(t,x,aNormal));
tspan=[0,100]; %hasta un tiempo de 3
[t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);
plot(t+tFin,x(:,1)*180/pi)
line([0,tFin], [aDesliza,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
line([0,tFin+t(end)], [aNormal,aNormal]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
line([tFin,tFin], [0,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
line([tFin+t(end),tFin+t(end)], [0,aNormal]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')

hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Posición angular en función del tiempo')

El procedimiento de cálculo se detiene cuando la posición angular θ del c.m. alcanza el ángulo límite θn

En color azul, se representa la primera etapa del movimiento: la esfera rueda sin deslizar. En color anaranjado, la segunda etapa: la esfera rueda y desliza, se señalan los instantes y los ángulos θs y θn

El ángulo límite es θn=52.5°. Comprobamos que la normal N para este ángulo es próxima a cero

>> w_c=sqrt(9.8*(exp(2*mu*(aNormal-aDesliza))*
(10/7-(68*mu^2-4)*cos(aDesliza)/(28*mu^2+7)+6*mu*sin(aDesliza)/(4*mu^2+1))-
6*mu*sin(aNormal)/(4*mu^2+1)+(4*mu^2-2)*cos(aNormal)/(4*mu^2+1))/(R+r));
>> normal=9.8*cos(aNormal)-(R+r)*w_c^2;
>> aNormal*180/pi
ans =   52.5008
>> normal
normal =   1.7764e-15

Al finalizar la segunda etapa, la posición del c.m. de la esfera es θn y su velocidad angular (dθ/dt)n es

( dθ dt ) n 2 = g (R+r) { exp( 2μ( θ n θ s ) )( 10 7 68 μ 2 4 7(4 μ 2 +1) cos θ s + 6μ 4 μ 2 +1 sin θ s ) 6μ 4 μ 2 +1 sin θ n + (4 μ 2 2) 4 μ 2 +1 cos θ n }

Tiro parabólico

El c.m. de la esfera describe un movimiento parabólico, que parte de la posición x0=(R+r)sinθn, y0=(R+r)cosθn, con velocidad inicial vn=(R+r)(dθ/dt)n y haciendo un ángulo θn por debajo de la horizontal, tal como se aprecia en la figura. Las ecuaciones del movimiento son:

v { v x = v n cos θ n v y = v n sin θ n gt r { x=Rsin θ n + v n cos θ n t y=R( 1cos θ n ) v n sin θ n t 1 2 g t 2

Movimiento de rotación de la esfera

En la simulación más abajo, además del movimiento de traslación del centro de masas de la esfera, se visualiza el movimiento de rotación de la esfera alrededor de un eje que pasa por el cm.

Cuando la esfera rueda sin deslizar, en el intervalo de θ0 a θs. El ángulo φ que gira la esfera está relacionado con la posición angular θ del centro de la esfera, (R+r)θ=rφ

El ángulo y la velocidad angular al finalizar la primera etapa, cuando θ=θs valen

φ s = ( R+r ) r θ s ( dφ dt ) s = ( R+r ) r ( dθ dt ) s

Estas son la posición angular y velocidad angular iniciales para la siguiente etapa del movimiento.

Cuando la esfera rueda y desliza, el movimiento de rotación y el movimiento de traslación no están relacionados. En esta etapa, entre los ángulos θs y θn, se resuelve por procedimientos numéricos el sistema de dos ecuaciones diferenciales

(R+r) d 2 θ d t 2 =gsinθμ( gcosθ(R+r) ( dθ dt ) 2 ) 2 5 r d 2 φ d t 2 =μ( gcosθ(R+r) ( dθ dt ) 2 )

Con las condiciones iniciales especificadas: además de las mencionadas φs y (dφ/dt)s, las que corresponden al movimiento del c.m. de la esfera: la posición inicial θs y su velocidad inicial (dθ/dt)s, que describimos en apartados anteriores

Cuando la posición angular del centro de la esfera alcanza el ángulo crítico θn, la reacción N=0, la velocidad angular final de rotación de la esfera (dφ/dt)n se mantien constante. El ángulo girado por la esfera desde ese instante es

φ= φ n + ( dφ dt ) n ( t t n )

Siendo tn el instante en el que el centro de la esfera alcanza la posición θn y el ángulo girado por la esfera es φn

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de traslación de la esfera sobre la cúpula y el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. Se señalan mediante líneas de color rojo y azul los ángulos críticos θs y θn.

Se calcula la energía (potencial gravitatoria, cinética de traslación y cinética de rotación) para cada etapa del movimiento, la energía se conserva excepto en la etapa en la que la esfera desliza, que disminuye ligeramente.

Se sugiere al lector probar con un rozamiento muy pequeño, pero no nulo. Para examinar el caso μ=0 se recomienda visitar la página titulada Movimiento sobre una cúpula semiesférica. Sin rozamiento


Referencias

Diego C. de Souza, Vitor R. Coluci. The motion of a ball moving down a circular path. Am. J. Phys. 85 (2) February 2017, pp. 124-129