Movimiento de una esfera en una pista circular vertical

Como vemos en la figura, la pista consta de dos partes, una pista recta, inclinada un ángulo β, que enlaza con una pista circular de radio r+R. La parte recta de la pista es tangente a la circunferencia en el punto de coordenadas, -(r+R)sinβ, -(r+R)cosβ. La línea negra en la figura es la pista y la línea roja la trayectoria del centro (c.m.) de la esfera

Se suelta una esfera de radio r en la pista inclinada a una altura y=H. La esfera rueda sin deslizar a lo largo de la pista recta, entra en la pista circular en la posición angular -β y recorre la pista circular. La posición del centro de la esfera en la pista circular viene dada por el ángulo θ. Puede ocurrir que:

La esfera rueda sobre la pista inclinada

A medida que la esfera rueda sin deslizar, disminuye la energía potencial del centro de la esfera. Como consecuencia, se incrementa la energía cinética de traslación del centro de masa (c.m.) de la esfera y la energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. El momento de inercia de la esfera de masa m y radio r es 2mr2/5.

Supongamos que la esfera se suelta a una altura H, la velocidad del centro de la esfera cuando se encuentra a una altura y se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía. Si la esfera rueda sin deslizar, la velocidad angular de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es vc/r. Siendo vc la velocidad de traslación del c. m.

mgH=mgy+ 1 2 m v c 2 + 1 2 ( 2 5 m r 2 ) ( v c r ) 2 v c 2 = 10 7 g( Hy )

La velocidad vc de la esfera al final del plano inclinado, se obtiene para, y=R-Rcosβ. Esta es la velocidad final de la esfera cuando abandona la pista inclinada y la inicial al entrar en la pista circular en la posición angular -β

Ecuaciones del movimiento

Cuando la esfera se mueve en el plano inclinado un ángulo β, las fuerzas que actúan son:

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

Despejamos la fuerza de rozamiento Fr del sistema de ecuaciones y la aceleración del c.m.

a c = 5 7 gsinβ F r = 2 7 mgsinβ

La fuerza de rozamiento

El máximo valor de la fuerza de rozamiento es μsN=μsmgcosβ. Si Fr es menor que este valor, entonces la esfera rueda sin deslizar. Para un valor dado de μs el ángulo β del plano inclinado debe cumplir

2 7 mgsinθ μ s mgcosβ tanβ 7 2 μ s

En el programa interactivo, al final de esta página, el plano tiene 20° de inclinación, por lo que μs>0.104

Final de la primera etapa

La esfera se ha desplazado a lo largo del pista inclinada, x y la velocidad final de su c.m. es vc

x= HR+Rcosβ sinβ v c 2 =2 a c x= 10 7 g( HR+Rcosβ )

Como rueda sin deslizar, habrá girado alrededor del eje que pasa por el c.m. un ángulo φ1=x/r

Movimiento en la pista circular: rueda sin deslizar

La posición angular del c.m. de la esfera en la pista viene dada por el ángulo θ, tal como vemos en la primera figura. La posición angular inicial de la esfera es θ=-β

La velocidad del centro de la esfera en la posición angular θ es

v c 2 = 10 7 g( HR+Rcosθ )

Como el c. m. de la esfera está describiendo un arco de circunferencia de radio R, por la dinámica del movimiento circular

Nmgcosθ=m v c 2 R N=mgcosθ+ 10 7 mg( H R 1+cosθ )= 17 7 mgcosθ+ 10 7 mg( H R 1 )

La reacción N de la pista se hace cero y por tanto, la esfera cae, para el ángulo cos(θmax)=-10(H/R-1)/17, θmax sería el desplazamiento angular máximo de la esfera a lo largo de la pista

Para H/R=1, la esfera se detiene en la posición angular θ=π/2. Para H/R<1, la reacción N de la pista no puede ser cero, por lo que la partícula se detiene en la posición angular cosθ=(R-H)/R y regresa al punto de partida

Para que la esfera ruede sin deslizar, la fuerza de rozamiento Fr debe ser inferior al valor máximo μsN. Dado que N cambia con θ, la descripción del movimiento de la esfera en la pista circular vertical no es tan sencilla. Como veremos, la esfera rueda sin deslizar hasta un ángulo crítico θs y luego, desliza hasta que la reacción del plano se hace cero, θn y la esfera cae de la pista o bien, la esfera rueda sin deslizar hasta un ángulo crítico θs y luego, se detiene

Dependiendo del valor H/R y del coeficiente estático μs se pueden producir distintos casos que analizaremos con detalle a continuación

Ecuaciones del movimiento

Cuando la esfera se mueve en la pista circular, las fuerzas que actúan son:

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

Despejamos la fuerza de rozamiento Fr del sistema de ecuaciones y la aceleración del c.m.

a c = 5 7 gsinθ F r = 2 7 mgsinθ

El centro de masas de la esfera describe un arco de circunferencia de radio R, la aceleración tangencial del c.m. ac es igual al radio R por la aceleración angular d2θ/dt2. Para calcular la posición angular θ del c.m. en función del tiempo t se precisa resolver, aplicando algún procedimiento numérico, la ecuación diferencial

R d 2 θ d t 2 = 5 7 gsinθ

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, θ=-β, dθ/dt=vc/R, siendo vc la velocidad del c.m. al finalizar la primera etapa del movimiento

La fuerza de rozamiento

La esfera rueda sin deslizar, siempre que la fuerza de rozamiento Fr sea inferior al valor máximo μs·N.

2 7 mgsinθ μ s ( 17 7 mgcosθ+ 10 7 mg( H R 1 ) ) μ s 2sinθ 17cosθ+10( H/R 1 )

Estudiamos la función

f(θ)= 2sinθ 17cosθ+10( H/R 1 )

La función tiene una asíntota vertical, se hace infinito, cuando el denominador se hace cero, cuando 10(H/R-1)≤17, es decir, H/R≤2.7.

Representamos la función f(θ) para varios valores del cociente H/R en el intervalo entre π/2 y π. De este modo, nos hacemos una idea del valor que tendría que tener μs para que la esfera describa la trayectoria circular vertical rodando sin deslizar.

hold on
for H_R=[2.7,2.75,2.8,2.9,3]
    f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H_R-1));
    fplot(f,[pi/2,pi], 'displayName',num2str(H_R))
end
ylim([0,0.6])
set(gca,'XTick',pi/2:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
title('Coeficiente estático')
xlabel('\phi')
ylabel('\mu_s')
legend('-DynamicLegend','location','northwest')
grid on
hold off 

Final de la segunda etapa

El final de la segunda etapa se produce:

Aplicando el principio de conservación de la energía, la velocidad del c.m. de la esfera es

v s 2 = 10 7 g( HR+Rcos θ s )

ya que la esfera rueda sin deslizar, el ángulo girado por la esfera al finalizar esta etapa será

φ s = φ 1 + R θ s r

Donde φ1 es el ángulo girado por la esfera en la primera etapa

Movimiento en la pista circular: desliza

Cuando un cuerpo desliza sobre un plano, la fuerza de rozamiento Fr=μk·N, donde N es la reacción del plano. El coeficiente cinético μk suele ser menor que el coeficiente estático μs

En este caso, los movimientos de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. no están relacionados por vc=r·dφ/dt. La reacción N de la pista circular va disminuyendo y puede ocurrir, que se haga cero a cierto ángulo crítico θn<π, la esfera cae

Ecuaciones del movimiento

Cuando la esfera se mueve en la pista circular, las fuerzas que actúan son:

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

La reacción N de la pista circular

Eliminamos N entre la primera y la tercera ecuación, y procedemos de forma similar al estudio del movimiento de una partícula que desliza con rozamiento sobre un cúpula semicircular

R d 2 θ d t 2 = μ k ( R ( dθ dt ) 2 +gcosθ )gsinθ

Teniendo en cuenta que

d 2 θ d t 2 = dω dt = dω dθ dθ dt =ω dω dθ = 1 2 d ω 2 dθ ω= dθ dt

Se transforma una ecuación diferencial de segundo orden en otra de primero.

1 2 d ω 2 dθ μ k ω 2 = g R ( μ k cosθsinθ) 1 2 dz dθ μ k z= g R ( μ k cosθsinθ)

con z=ω2. La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La velocidad para la posición angular θs se calculó aplicando el principio de conservación de la energía vs=R(dθ/dt)s

R 2 ( dθ dt ) s 2 = 10 7 g( HR+Rcos θ s )

Calculamos la constante C

10 7 g R ( H R 1+cos θ s )=Cexp(2 μ k θ s )+2 g R 3 μ k ·sin θ s +(12 μ k 2 )cos θ s 4 μ k 2 +1 C={ 10 7 g R ( H R 1+cos θ s )2 g R 3 μ k ·sin θ s +(12 μ k 2 )cos θ s 4 μ k 2 +1 }exp(2 μ k θ s )

La solución completa se expresa

( dθ dt ) 2 =2 g R { 5 7 ( H R 1+cos θ s ) 3 μ k ·sin θ s +(12 μ k 2 )cos θ s 4 μ k 2 +1 }exp( 2 μ k ( θ θ s ) ) +2 g R 3 μ k ·sinθ+(12 μ k 2 )cosθ 4 μ k 2 +1

Finalmente, la reacción N de la pista circular es

N=mgcosθ+mR ( dθ dt ) 2 = 2 g R { 5 7 ( H R 1+cos θ s ) 3 μ k ·sin θ s +(12 μ k 2 )cos θ s 4 μ k 2 +1 }exp( θ θ s )+3mg 2 μ k ·sinθ+cosθ 4 μ k 2 +1

Calculamos el ángulo θn<π, para el que N se hace cero

Mediante este script de MATLAB, representamos N en función de θ para H/R=2.7 y μs=μk=0.3. Calculamos la posición angular θn<π que tendrá que ser mayor que θs para el que la reacción N se hace cero. En la primera parte del script, se calcula θs dado H/R y μs, en la segunda parte, se calcula θn dado θs y μk

R=1;
H=2.7; %es H/R, ya que R=1
mu_s=0.3; %coeficiente estático

%ángulo crítico para empezar a deslizar
f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H/R-1))-mu_s;

aDesliza=pi; 
if H>2.7
    if mu_s<2/sqrt(100*(H7R-1)^2-289)
        ang=acos(-17/(10*(H/R-1)));
        aDesliza=fzero(f,[pi/2,ang]);
    end
elseif H<2.7
    aDesliza=fzero(f,pi/2);
else
   aDesliza=2*atan(8.5*mu_s);     
end
%la reacción N es nula  
mu=mu_s;
g=@(x) 2*9.8*(5*(H-1+cos(aDesliza))/7-(3*mu*sin(aDesliza)+
(1-2*mu^2)*cos(aDesliza))/(4*mu^2+1))*exp(2*mu*(x-aDesliza))
+3*9.8*(2*mu*sin(x)+cos(x))/(4*mu^2+1);
hold on
fplot(g,[aDesliza,pi])
if sign(g(aDesliza))~=sign(g(pi))
    aNormal=fzero(g,[aDesliza,pi]);
    plot(aNormal,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
end
hold off
set(gca,'XTick',pi/2:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('N');
title('Reacción de la pista')

>> aNormal*180/pi
ans =  168.3093

Para H/R=2.7 y μs=μk=0.3, la esfera cae en la posición angular θn=168°

Una partícula que parte de H/R=2.7 y que desliza sin rozamiento, alcanzaría la parte más alta de la trayectoria circular, θ=π. Sin embargo, una esfera que parte de la misma posición y que rueda sin deslizar, no la alcanza debido a que empieza a deslizar un poco antes de llegar dicha posición, perdiendo energía.

Las ecuaciones del movimiento

Podríamos sustituir (dθ/dt)2, por la larga expresión en términos de θ deducida en el apartado anterior

Si solamente, estamos interesados en la posición del c.m. de la esfera, resolvemos la primera ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θs, con velocidad inicial (dθ/dt)s

v s 2 = 10 7 g( HR+Rcos θ s ) ( dθ dt ) s 2 = 10 7 g R ( H R 1+cos θ s )

Se estamos también interesados en el movimiento de rotación de la esfera, se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales con las condiciones adicionales, dφ/dt=R(dθ/dt)s/r y φ=φs.

Final de la tercera etapa

Si el movimiento transcurre en el primer cuadrante de la pista circular, θ<π/2, la reacción de la pista N no puede ser cero, la esfera rueda si deslizar, luego, empieza a deslizar para la posición angular θs hasta que finalmente, se detiene

Cuando la reacción N=0 de la pista circular se anula para la posición angular θn>π/2, la velocidad del c.m. de la esfera es vn=R(dθ/dt)n. La velocidad angular de rotación es (dφ/dt)n y el ángulo φn, en esta posición la esfera empieza a caer

Trayectoria parabólica

El c.m. de la esfera describe una trayectoria parabólica, que parte del punto (Rsinθn, R(1-cosθn)), con velocidad vn, haciendo un ángulo θn con la horizontal

v { v x = v n cos θ n v y = v n sin θ n gt r { x=Rsin θ n + v n cos θ n t y=R( 1cos θ n )+ v n sin θ n t 1 2 g t 2

La velocidad angular de rotación de la esfera se mantiene constante e igual a (dφ/dt)n. El ángulo girado φ al cabo de un cierto tiempo t es

φ= φ n + ( dφ dt ) n t

Movimiento completo

En este apartado, describiremos el movimiento del c.m. de la esfera a lo largo de la pista circular cuya posición angular es θ.

Completamos el script anterior resolviendo las ecuaciones diferenciales, por el procedimiento ode45 de MATLAB, que desciben el movimiento en la pista circular

R=1;
H=0.7; 
mu_s=0.3; %coeficiente estático
angulo=20*pi/180; %ángulo de la pista inclinada

%ángulo crítico para empezar a deslizar
f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H/R-1))-mu_s;
aDesliza=pi; 
if H>2.7
    if mu_s<2/sqrt(100*(H/R-1)^2-289)
        ang=acos(-17/(10*(H/R-1)));
        aDesliza=fzero(f,[pi/2,ang]);
    end
elseif H<2.7
    aDesliza=fzero(f,[0,acos(-10*(H/R-1)/17)-0.1]);
    %aDesliza=fzero(f,pi/2);
else
   aDesliza=2*atan(8.5*mu_s);     
end
       
%rueda sin deslizar
 %velocidad en el punto más bajo de la pista circular
x0=[0,sqrt(10*9.8*(H/R-1+cos(angulo))/7)/R];
ff=@(t,x) [x(2);-9.8*5*sin(x(1))/(7*R)]; 
opts=odeset('events',@(t,x) stop_bucle_esfera(t,x,aDesliza));
[t,x]=ode45(ff,[0,100],x0,opts);
tFin=t(end);
hold on
plot(t,x(:,1)*180/pi)

%rueda y desliza
%La reacción N se hace cero para
if aDesliza<pi
    mu=mu_s;
    aNormal=pi; %ángulo límite para N=0
    g=@(x) 2*9.8*(5*(H-1+cos(aDesliza))/7-(3*mu*sin(aDesliza)+
(1-2*mu^2)*cos(aDesliza))/(4*mu^2+1))*exp(2*mu*(x-aDesliza))
+3*9.8*(2*mu*sin(x)+cos(x))/(4*mu^2+1);
    if sign(g(aDesliza))~=sign(g(pi))
        aNormal=fzero(g,[aDesliza,pi]);
    end
    gg=@(t,x) [x(2); -9.8*sin(x(1))/R+mu*(9.8*cos(x(1))/R+x(2)^2)]; 
    if aNormal>pi/2
        opts=odeset('events',@(t,x) stop_bucle_esfera(t,x,aNormal));
    else
         opts=odeset('events',@(t,x) stop_bucle_esfera1(t,x));
    end
    %velocidad para el ángulo límite, empieza a deslizar
    x0=[aDesliza,sqrt(10*9.8*(H/R-1+cos(aDesliza))/7)/R]; 
    [t,x]=ode45(gg,[0,100],x0,opts);
    plot(t+tFin,x(:,1)*180/pi)
    line([0,tFin], [aDesliza,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
    line([tFin,tFin], [0,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
    if aNormal>pi/2
        line([0,tFin+t(end)], [aNormal,aNormal]*180/pi, 'LineStyle','--',
'color','k')
        line([tFin+t(end),tFin+t(end)], [0,aNormal]*180/pi, 'LineStyle',
'--','color','k')
    else
       line([0,tFin+t(end)], [x(end,1),x(end,1)]*180/pi, 'LineStyle','--',
'color','k')
        line([tFin+t(end),tFin+t(end)], [0,x(end,1)]*180/pi, 'LineStyle',
'--','color','k')
    end
end

hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Movimiento de la esfera')

El procedimiento de cálculo se detiene cuando la posición angular θ del c.m. alcanza el ángulo límite θs y θn, definiendo la función

function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_esfera(~,x,xFin)
    value=x(1)-xFin; 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Si el ángulo final θ<π/2, la esfera rueda sin deslizar, desliza y se detiene. El procedimiento de cálculo se detiene cuando la velocidad final es cero, definiendo la función

ffunction [value,isterminal,direction]=stop_bucle_esfera1(~,x)
    value=x(2); 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Cambiando los valores de las variables H (H/R) y mu_s (μs) en el script podemos explorar los casos mencionados:

  1. Sea H/R=2.75 y μs=0.5, el coeficiente estático es mayor que el máximo de la función f(θ), por lo que la esfera rueda sin deslizar hasta que llega a la posición angular final θ

  2. Sea H/R=2.75 y μs=0.3, el coeficiente estático es menor que el máximo de la función f(θ), por lo que la esfera rueda sin deslizar hasta la posición angular θs=142° y luego, desliza hasta que llega a la posición angular final θ

  3. >> aDesliza*180/pi
    ans =  141.9935
    >> aNormal*180/pi
    ans =   180

    En color azul, se representa la primera etapa del movimiento: la esfera rueda sin deslizar. En color anaranjado, la segunda etapa: la esfera rueda y desliza, se señalan los instantes y los ángulos θs y θn

  4. Sea H/R=2.7 y μs=0.3, la esfera desliza en la posición angular θs=137°, antes de llegar a la posición final θ=180°. La reacción N de la pista se hace cero en la posición angular θn=168° que es su posición final

  5. >> aDesliza*180/pi
    ans =  137.1741
    >> aNormal*180/pi
    ans =   168.3093

  6. Sea H/R=0.7 y μs=0.3, si la esfera rodase sin deslizar, se detendría en la posición cos(θmax)=-10(H/R-1)/17, θmax=79.8°. La reacción de la pista no puede ser cero para θ<π/2. Por tanto, la esfera rueda sin deslizar hasta la posición angular θs=59° y luego, desliza hasta que se detiene en la posición final 71°

  7. >> acos(-10*(H/R-1)/17)*180/pi
    ans =   79.8358
    >> aDesliza*180/pi
    ans =  59.1311
    >> x(end,1)*180/pi
    ans =   71.0655

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la esfera sobre la pista. Se señalan mediante líneas de color azul, los ángulos críticos θs y θn.

Se calcula la energía (potencial gravitatoria, cinética de traslación y cinética de rotación) para cada etapa del movimiento, la energía se conserva excepto en la etapa en la que la esfera desliza, que disminuye ligeramente.


Referencias

Peter L. Tea, Jr. Trouble on the loop-the-loop, Am. J. Phys. 55 (9), September 1987, pp. 826-829