Como vemos en la figura, la pista consta de dos partes, una pista recta, inclinada un ángulo β, que enlaza con una pista circular de radio r+R. La parte recta de la pista es tangente a la circunferencia en el punto de coordenadas, -(r+R)sinβ, -(r+R)cosβ. La línea negra en la figura es la pista y la línea roja la trayectoria del centro (c.m.) de la esfera

Se suelta una esfera de radio r en la pista inclinada a una altura y=H. La esfera rueda sin deslizar a lo largo de la pista recta, entra en la pista circular en la posición angular -β y recorre la pista circular. La posición del centro de la esfera en la pista circular viene dada por el ángulo θ. Puede ocurrir que:

• La esfera ruede sin deslizar sobre la pista
• La esfera ruede y deslice
• Cuando la reacción de la pista se anule, N=0 , la esfera deja de tener contacto con la pista. El centro de la esfera describe una trayectoria parabólica hasta que impacta en el suelo.

La esfera rueda sobre la pista inclinada

A medida que la esfera rueda sin deslizar, disminuye la energía potencial del centro de la esfera. Como consecuencia, se incrementa la energía cinética de traslación del centro de masa (c.m.) de la esfera y la energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. El momento de inercia de la esfera de masa m y radio r es 2mr²/5.

Supongamos que la esfera se suelta a una altura H, la velocidad del centro de la esfera cuando se encuentra a una altura y se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía. Si la esfera rueda sin deslizar, la velocidad angular de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es v_c/r. Siendo v_c la velocidad de traslación del c. m.

${\displaystyle \begin{array}{l}mgH=mgy+\frac{1}{2}m{v}_c^2+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{r}^2\right){\left(\frac{v_c}{r}\right)}^2\\ v_c^2=\frac{10}{7}g\left(H-y\right)\end{array}}$

La velocidad v_c de la esfera al final del plano inclinado, se obtiene para, y=R-Rcosβ. Esta es la velocidad final de la esfera cuando abandona la pista inclinada y la inicial al entrar en la pista circular en la posición angular -β

Ecuaciones del movimiento

Cuando la esfera se mueve en el plano inclinado un ángulo β, las fuerzas que actúan son:

• El peso, mg
• La reacción N o fuerza que ejerce el plano inclinado sobre la esfera
• La fuerza de rozamiento F_r

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

• Movimiento de traslación del centro de masa

ma_c=mgsinβ-F_r

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m

${\displaystyle \left(\frac{2}{5}m{r}^2\right)\alpha =F_r·r}$

• Si la esfera rueda sin deslizar, ambas aceleraciones están relacionadas, a_c=rα.

Despejamos la fuerza de rozamiento F_r del sistema de ecuaciones y la aceleración del c.m.

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_c=\frac{5}{7}g\sin \beta \\ F_r=\frac{2}{7}mg\sin \beta \end{array}}$

La fuerza de rozamiento

El máximo valor de la fuerza de rozamiento es μ_sN=μ_smgcosβ. Si F_r es menor que este valor, entonces la esfera rueda sin deslizar. Para un valor dado de μ_s el ángulo β del plano inclinado debe cumplir

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2}{7}mg\sin \theta \le {\mu }_{s}mg\cos \beta \\ \tan \beta \le \frac{7}{2}{\mu }_s\end{array}}$

En el programa interactivo, al final de esta página, el plano tiene 20° de inclinación, por lo que μ_s>0.104

Final de la primera etapa

La esfera se ha desplazado a lo largo del pista inclinada, x y la velocidad final de su c.m. es v_c

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{H-R+R\cos \beta }{\sin \beta }\\ v_c^2=2a_{c}x=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos \beta \right)\end{array}}$

Como rueda sin deslizar, habrá girado alrededor del eje que pasa por el c.m. un ángulo φ₁=x/r

Movimiento en la pista circular: rueda sin deslizar

La posición angular del c.m. de la esfera en la pista viene dada por el ángulo θ, tal como vemos en la primera figura. La posición angular inicial de la esfera es θ=-β

La velocidad del centro de la esfera en la posición angular θ es

${\displaystyle v_c^2=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos \theta \right)}$

Como el c. m. de la esfera está describiendo un arco de circunferencia de radio R, por la dinámica del movimiento circular

${\displaystyle \begin{array}{l}N-mg\cos \theta =m\frac{v_c^2}{R}\\ N=mg\cos \theta +\frac{10}{7}mg\left(\frac{H}{R}-1+\cos \theta \right)=\\ \frac{17}{7}mg\cos \theta +\frac{10}{7}mg\left(\frac{H}{R}-1\right)\end{array}}$

La reacción N de la pista se hace cero y por tanto, la esfera cae, para el ángulo cos(θ_max)=-10(H/R-1)/17, θ_max sería el desplazamiento angular máximo de la esfera a lo largo de la pista

Para H/R=1, la esfera se detiene en la posición angular θ=π/2. Para H/R<1, la reacción N de la pista no puede ser cero, por lo que la partícula se detiene en la posición angular cosθ=(R-H)/R y regresa al punto de partida

Para que la esfera ruede sin deslizar, la fuerza de rozamiento F_r debe ser inferior al valor máximo μ_sN. Dado que N cambia con θ, la descripción del movimiento de la esfera en la pista circular vertical no es tan sencilla. Como veremos, la esfera rueda sin deslizar hasta un ángulo crítico θ_s y luego, desliza hasta que la reacción del plano se hace cero, θ_n y la esfera cae de la pista o bien, la esfera rueda sin deslizar hasta un ángulo crítico θ_s y luego, se detiene

Dependiendo del valor H/R y del coeficiente estático μ_s se pueden producir distintos casos que analizaremos con detalle a continuación

Ecuaciones del movimiento

Cuando la esfera se mueve en la pista circular, las fuerzas que actúan son:

• El peso, mg
• La reacción N o fuerza que ejerce la pista sobre la esfera
• La fuerza de rozamiento F_r

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

• Movimiento de traslación del centro de masa

ma_c=-mgsinθ+F_r

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m

${\displaystyle \left(\frac{2}{5}m{r}^2\right)\alpha =-F_{r}r}$

• Si la esfera rueda sin deslizar, ambas aceleraciones están relacionadas, a_c=rα.

Despejamos la fuerza de rozamiento F_r del sistema de ecuaciones y la aceleración del c.m.

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_c=-\frac{5}{7}g\sin \theta \\ F_r=\frac{2}{7}mg\sin \theta \end{array}}$

El centro de masas de la esfera describe un arco de circunferencia de radio R, la aceleración tangencial del c.m. a_c es igual al radio R por la aceleración angular d²θ/dt². Para calcular la posición angular θ del c.m. en función del tiempo t se precisa resolver, aplicando algún procedimiento numérico, la ecuación diferencial

${\displaystyle R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{5}{7}g\sin \theta }$

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, θ=-β, dθ/dt=v_c/R, siendo v_c la velocidad del c.m. al finalizar la primera etapa del movimiento

La fuerza de rozamiento

La esfera rueda sin deslizar, siempre que la fuerza de rozamiento F_r sea inferior al valor máximo μ_s·N.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2}{7}mg\sin \theta \le {\mu }_s\left(\frac{17}{7}mg\cos \theta +\frac{10}{7}mg\left(\frac{H}{R}-1\right)\right)\\ {\mu }_s\ge \frac{2\sin \theta }{17\cos \theta +10\left(H/R-1\right)}\end{array}}$

Estudiamos la función

${\displaystyle f(\theta )=\frac{2\sin \theta }{17\cos \theta +10\left(H/R-1\right)}}$

La función tiene una asíntota vertical, se hace infinito, cuando el denominador se hace cero, cuando 10(H/R-1)≤17, es decir, H/R≤2.7.

• Para H/R=2.7, la función tiende hacia infinito para el ángulo θ=π
• Para H/R<2.7, el denominador se hace cero para el ángulo

cos(θ)=-10(H/R-1)/17

Representamos la función f(θ) para varios valores del cociente H/R en el intervalo entre π/2 y π. De este modo, nos hacemos una idea del valor que tendría que tener μ_s para que la esfera describa la trayectoria circular vertical rodando sin deslizar.

hold on
for H_R=[2.7,2.75,2.8,2.9,3]
    f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H_R-1));
    fplot(f,[pi/2,pi], 'displayName',num2str(H_R))
end
ylim([0,0.6])
set(gca,'XTick',pi/2:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
title('Coeficiente estático')
xlabel('\phi')
ylabel('\mu_s')
legend('-DynamicLegend','location','northwest')
grid on
hold off 

• Cuando H/R>2.7, el valor mínimo de μ_s corresponde al máximo de la función f(θ).

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{df}{d\theta }=\frac{2\cos \theta \left(17\cos \theta +10\left(H/R-1\right)\right)+17\sin \theta ·2\sin \theta }{17\cos \theta +10\left(H/R-1\right)}=0\\ \cos {\theta }_{\max }=-\frac{17}{10\left(H/R-1\right)}\end{array}}$

Sustituyendo cosθ_max en la función

${\displaystyle f\left({\theta }_{\max }\right)=\frac{2}{\sqrt{100{\left(H/R-1\right)}^2-289}}}$

Nos fijamos en la función f(θ) para H/R=2.75

>> acos(-17/(10*1.75))
ans =    2.9020
2/sqrt(100*1.75^2-289)
ans =    0.4815

Así pues, μ_s tendrá que ser mayor que 0.4815, para que una esfera que se deja caer desde la altura H/R=2.75 ruede sin deslizar por la pista circular vertical.

Si μ_s es inferior al máximo, la ecuación

${\displaystyle \frac{2\sin \theta }{17\cos \theta +10\left(H/R-1\right)}={\mu }_s}$

nos dará dos ángulos, el menor es la posición angular θ_s a partir de la cual la esfera desliza, tendremos que resolver esta ecuación transcendente por procedimientos numéricos

Mediante este script de MATLAB, dibujamos la función f(θ) para H/R=2.75, trazamos la recta μ_s=0.3, calculamos la raíz de la ecuación trascendente f(θ)=μ_s, que estará en el intervalo entre π/2 y θ_max

R=1;
H=2.75; 
mu_s=0.3; %coeficiente estático

%ángulo crítico para empezar a deslizar
f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H/R-1));
hold on
fplot(f,[pi/2,pi])
set(gca,'XTick',pi/2:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
line([pi/2, pi],[mu_s,mu_s],'color','r')
th_max= acos(-17/(10*(H/R-1))); %máximo
line([th_max,th_max],[0,f(th_max)],'linestyle','--','color','k')
g=@(x) f(x)-mu_s;
aDesliza=fzero(g,[pi/2, th_max]); %primera raíz
line([aDesliza,aDesliza],[0,f(aDesliza)],'linestyle','--','color','b')
plot(aDesliza,0,'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
hold off 
ylim([0,0.6])
title('Angulo que empieza a deslizar')
xlabel('\phi')
ylabel('\mu_s')
grid on



>> aDesliza*180/pi
ans =  141.9935

Para H/R=2.75, la esfera empieza a deslizar en la posición angular 142°

• Para H/R=2.7

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2\sin \theta }{17\left(1+\cos \theta \right)}={\mu }_s\\ \frac{2}{17}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)={\mu }_s\end{array}}$

>mu_s=0.3;
>> aDesliza=2*atan(17*mu_s/2)*180/pi
aDesliza =  137.1741

Para H/R=2.7, la esfera empieza a deslizar en la posición angular 137°

• Para H/R<2.7

La función f(θ) tiene una asíntota vertical para el ángulo, cos(θ_max)=-10(H/R-1)/17. Cualquiera que sea el coeficiente estático μ_s siempre habrá un ángulo θ_s<θ_max, para el cual la esfera empieza a deslizar.

Mediante este script de MATLAB, dibujamos la función f(θ) para H/R=2.5, trazamos la recta μ_s=0.3, calculamos la raíz de la ecuación trascendente f(θ)=μ_s, que estará en el intervalo entre π/2 y θ_max

R=1;
H=2.5;
mu_s=0.3;
f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H/R-1));
hold on
fplot(f,[pi/2,pi], 'displayName',num2str(H))
set(gca,'XTick',pi/2:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
line([pi/2, pi],[mu_s,mu_s],'color','r')
g=@(x) f(x)-mu_s;
aDesliza=fzero(g,pi/2);
line([aDesliza,aDesliza],[0,f(aDesliza)],'linestyle','--','color','b')
plot(aDesliza,0,'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
hold off 
ylim([0,0.6])
title('Coeficiente estático')
xlabel('\phi')
ylabel('\mu_s')
grid on



>> aDesliza*180/pi
ans =  123.8169

Para H/R=2.5, la esfera empieza a deslizar en la posición angular 124°

Final de la segunda etapa

El final de la segunda etapa se produce:

• Cuando H/R>2.7 y el coeficiente estático μ_s es mayor que el máximo de f(θ)

${\displaystyle {\mu }_s>\frac{2}{\sqrt{100{\left(H/R-1\right)}^2-289}}}$

La esfera rueda sin deslizar hasta alcanzar la posición final θ=π

• En caso contrario, cuando H/R≤2.7, o cuando H/R>2.7 y el coeficiente estático μ_s es menor que el máximo de f(θ)

la esfera empieza a deslizar para un ángulo θ_s<π

Aplicando el principio de conservación de la energía, la velocidad del c.m. de la esfera es

${\displaystyle v_s^2=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos {\theta }_s\right)}$

ya que la esfera rueda sin deslizar, el ángulo girado por la esfera al finalizar esta etapa será

${\displaystyle {\phi }_s={\phi }_1+\frac{R{\theta }_s}{r}}$

Donde φ₁ es el ángulo girado por la esfera en la primera etapa

Movimiento en la pista circular: desliza

Cuando un cuerpo desliza sobre un plano, la fuerza de rozamiento F_r=μ_k·N, donde N es la reacción del plano. El coeficiente cinético μ_k suele ser menor que el coeficiente estático μ_s

En este caso, los movimientos de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. no están relacionados por v_c=r·dφ/dt. La reacción N de la pista circular va disminuyendo y puede ocurrir, que se haga cero a cierto ángulo crítico θ_n<π, la esfera cae

Ecuaciones del movimiento

Cuando la esfera se mueve en la pista circular, las fuerzas que actúan son:

• El peso, mg
• La reacción N o fuerza que ejerce la pista sobre la esfera
• La fuerza de rozamiento F_r

En la figura, se representan las fuerzas sobre la esfera

• Movimiento de traslación del centro de masa

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d{v}_c}{dt}=F_r-mg\sin \left(180-\theta \right)\\ mR\frac{d^2\theta }{d{t}^2}={\mu }_{k}N-mg\sin \theta \end{array}}$

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\frac{2}{5}m{r}^2\right)\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-r{F}_r\\ \frac{2}{5}mr\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-{\mu }_{k}N\end{array}}$

• El centro de la esfera describe una arco de circunferencia de radio R con velocidad Rdθ/dt. Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{v_c^2}{R}=N+mg\cos \left(180-\theta \right)\\ mR{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=N-mg\cos \theta \end{array}}$

La reacción N de la pista circular

Eliminamos N entre la primera y la tercera ecuación, y procedemos de forma similar al estudio del movimiento de una partícula que desliza con rozamiento sobre un cúpula semicircular

${\displaystyle R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}={\mu }_k\left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+g\cos \theta \right)-g\sin \theta }$

Teniendo en cuenta que

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\omega }{d\theta }\frac{d\theta }{dt}=\omega \frac{d\omega }{d\theta }=\frac{1}{2}\frac{d{\omega }^2}{d\theta }\omega =\frac{d\theta }{dt}}$

Se transforma una ecuación diferencial de segundo orden en otra de primero.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{d{\omega }^2}{d\theta }-{\mu }_k{\omega }^2=\frac{g}{R}({\mu }_k\cos \theta -\sin \theta )\hfill \\ \frac{1}{2}\frac{dz}{d\theta }-{\mu }_{k}z=\frac{g}{R}({\mu }_k\cos \theta -\sin \theta )\hfill \end{array}}$

con z=ω². La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

• La solución particular z₁=Asinθ+Bcosθ

Introduciendo esta solución en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A y B

${\displaystyle A=\frac{g}{R}\frac{6{\mu }_k}{1+4{\mu }_k^2}B=\frac{g}{R}\frac{2-4{\mu }_k^2}{1+4{\mu }_k^2}}$

• La solución de la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{dz}{d\theta }-\mu z=0 \frac{dz}{z}=2\mu ·d\theta {{\displaystyle \int }}^{\text{}}\frac{dz}{z}={{\displaystyle \int }}^{\text{}}2\mu ·d\theta }$

Integrando ambos miembros obtenemos lnz=2μ_kθ+cte, o bien, z₂=Cexp(2μ_kθ)

La solución completa es z=z₁+z₂

${\displaystyle z=C\exp (2{\mu }_k\theta )+2\frac{g}{R}\frac{3{\mu }_k·\sin \theta +(1-2{\mu }_k^2)\cos \theta }{4{\mu }_k^2+1}}$

La constante C se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=θ_s, dθ/dt=(dθ/dt)_s

La velocidad para la posición angular θ_s se calculó aplicando el principio de conservación de la energía v_s=R(dθ/dt)_s

${\displaystyle R^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_s^2=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos {\theta }_s\right)}$

Calculamos la constante C

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{10}{7}\frac{g}{R}\left(\frac{H}{R}-1+\cos {\theta }_s\right)=C\exp (2{\mu }_k{\theta }_s)+2\frac{g}{R}\frac{3{\mu }_k·\sin {\theta }_s+(1-2{\mu }_k^2)\cos {\theta }_s}{4{\mu }_k^2+1}\\ C=\left\{\frac{10}{7}\frac{g}{R}\left(\frac{H}{R}-1+\cos {\theta }_s\right)-2\frac{g}{R}\frac{3{\mu }_k·\sin {\theta }_s+(1-2{\mu }_k^2)\cos {\theta }_s}{4{\mu }_k^2+1}\right\}\exp (-2{\mu }_k{\theta }_s)\end{array}}$

La solución completa se expresa

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=2\frac{g}{R}\left\{\frac{5}{7}\left(\frac{H}{R}-1+\cos {\theta }_s\right)-\frac{3{\mu }_k·\sin {\theta }_s+(1-2{\mu }_k^2)\cos {\theta }_s}{4{\mu }_k^2+1}\right\}\exp \left(2{\mu }_k\left(\theta -{\theta }_s\right)\right)\\ +2\frac{g}{R}\frac{3{\mu }_k·\sin \theta +(1-2{\mu }_k^2)\cos \theta }{4{\mu }_k^2+1}\end{array}}$

Finalmente, la reacción N de la pista circular es

${\displaystyle \begin{array}{l}N=mg\cos \theta +mR{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\\ 2\frac{g}{R}\left\{\frac{5}{7}\left(\frac{H}{R}-1+\cos {\theta }_s\right)-\frac{3{\mu }_k·\sin {\theta }_s+(1-2{\mu }_k^2)\cos {\theta }_s}{4{\mu }_k^2+1}\right\}\exp \left(\theta -{\theta }_s\right)+3mg\frac{2{\mu }_k·\sin \theta +\cos \theta }{4{\mu }_k^2+1}\end{array}}$

Calculamos el ángulo θ_n<π, para el que N se hace cero

Mediante este script de MATLAB, representamos N en función de θ para H/R=2.7 y μ_s=μ_k=0.3. Calculamos la posición angular θ_n<π que tendrá que ser mayor que θ_s para el que la reacción N se hace cero. En la primera parte del script, se calcula θ_s dado H/R y μ_s, en la segunda parte, se calcula θ_n dado θ_s y μ_k

R=1;
H=2.7; %es H/R, ya que R=1
mu_s=0.3; %coeficiente estático

%ángulo crítico para empezar a deslizar
f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H/R-1))-mu_s;

aDesliza=pi; 
if H>2.7
    if mu_s<2/sqrt(100*(H7R-1)^2-289)
        ang=acos(-17/(10*(H/R-1)));
        aDesliza=fzero(f,[pi/2,ang]);
    end
elseif H<2.7
    aDesliza=fzero(f,pi/2);
else
   aDesliza=2*atan(8.5*mu_s);     
end
%la reacción N es nula  
mu=mu_s;
g=@(x) 2*9.8*(5*(H-1+cos(aDesliza))/7-(3*mu*sin(aDesliza)+
(1-2*mu^2)*cos(aDesliza))/(4*mu^2+1))*exp(2*mu*(x-aDesliza))
+3*9.8*(2*mu*sin(x)+cos(x))/(4*mu^2+1);
hold on
fplot(g,[aDesliza,pi])
if sign(g(aDesliza))~=sign(g(pi))
    aNormal=fzero(g,[aDesliza,pi]);
    plot(aNormal,0,'ro','markersize',4,'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
end
hold off
set(gca,'XTick',pi/2:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('N');
title('Reacción de la pista')

>> aNormal*180/pi
ans =  168.3093

Para H/R=2.7 y μ_s=μ_k=0.3, la esfera cae en la posición angular θ_n=168°

Una partícula que parte de H/R=2.7 y que desliza sin rozamiento, alcanzaría la parte más alta de la trayectoria circular, θ=π. Sin embargo, una esfera que parte de la misma posición y que rueda sin deslizar, no la alcanza debido a que empieza a deslizar un poco antes de llegar dicha posición, perdiendo energía.

Las ecuaciones del movimiento

• La ecuación del movimiento de traslación del c.m. es

${\displaystyle R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}={\mu }_k\left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+g\cos \theta \right)-g\sin \theta }$

• La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es

${\displaystyle \begin{array}{l}mr\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-\frac{5}{2}{\mu }_{k}N\\ r\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-\frac{5}{2}{\mu }_k\left(g\cos \theta +R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)\end{array}}$

Podríamos sustituir (dθ/dt)², por la larga expresión en términos de θ deducida en el apartado anterior

Si solamente, estamos interesados en la posición del c.m. de la esfera, resolvemos la primera ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ_s, con velocidad inicial (dθ/dt)_s

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_s^2=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos {\theta }_s\right)\\ {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_s^2=\frac{10}{7}\frac{g}{R}\left(\frac{H}{R}-1+\cos {\theta }_s\right)\end{array}}$

Se estamos también interesados en el movimiento de rotación de la esfera, se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales con las condiciones adicionales, dφ/dt=R(dθ/dt)_s/r y φ=φ_s.

Final de la tercera etapa

Si el movimiento transcurre en el primer cuadrante de la pista circular, θ<π/2, la reacción de la pista N no puede ser cero, la esfera rueda si deslizar, luego, empieza a deslizar para la posición angular θ_s hasta que finalmente, se detiene

Cuando la reacción N=0 de la pista circular se anula para la posición angular θ_n>π/2, la velocidad del c.m. de la esfera es v_n=R(dθ/dt)n. La velocidad angular de rotación es (dφ/dt)_n y el ángulo φ_n, en esta posición la esfera empieza a caer

Trayectoria parabólica

El c.m. de la esfera describe una trayectoria parabólica, que parte del punto (Rsinθ_n, R(1-cosθ_n)), con velocidad v_n, haciendo un ángulo θ_n con la horizontal

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{v}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_n\cos {\theta }_n\\ v_y=v_n\sin {\theta }_n-gt\end{array}\\ \overrightarrow{r}\{\begin{array}{l}x=R\sin {\theta }_n+v_n\cos {\theta }_{n}t\\ y=R\left(1-\cos {\theta }_n\right)+v_n\sin {\theta }_{n}t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}\end{array}}$

La velocidad angular de rotación de la esfera se mantiene constante e igual a (dφ/dt)_n. El ángulo girado φ al cabo de un cierto tiempo t es

${\displaystyle \phi ={\phi }_n+{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}_{n}t}$

Movimiento completo

En este apartado, describiremos el movimiento del c.m. de la esfera a lo largo de la pista circular cuya posición angular es θ.

• El c.m. de la esfera parte de la posición angular -β con velocidad

${\displaystyle v_c^2=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos \beta \right)}$

• Mientras la esfera está en contacto con la pista circular puede ocurrir, dependiendo de los valores de H/R y μ_s:

1. Que la esfera ruede sin deslizar, en el intervalo entre -β y π
2. Que la esfera ruede sin deslizar, en el intervalo entre -β y θ_s, y deslice en el intervalo θ_s a π
3. Que la esfera ruede sin deslizar, en el intervalo entre -β y θ_s, deslice en el intervalo θ_s a θ_n, en ésta posición angular, la normal se hace cero
4. Que la esfera ruede sin deslizar, en el intervalo entre -β y θ_s y deslice hasta que se detenga
• La esfera deja de estar en contacto con con pista circular en la posición angular θ_n y su c. m. describe una trayectoria parabólica

Completamos el script anterior resolviendo las ecuaciones diferenciales, por el procedimiento ode45 de MATLAB, que desciben el movimiento en la pista circular

• Rueda sin deslizar

${\displaystyle R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{5}{7}g\sin \theta }$

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, θ=-β, dθ/dt=v_c/R, siendo v_c la velocidad del c.m. al final de la pista inclinada

La velocidad del c.m. se puede calcular aplicando el principio de conservación de la energía

${\displaystyle v_c^2=\frac{10}{7}g\left(H-R+R\cos \theta \right)}$

• Rueda y desliza

${\displaystyle R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}={\mu }_k\left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+g\cos \theta \right)-g\sin \theta }$

con las condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ_s, velocidad inicial (dθ/dt)_s

R=1;
H=0.7; 
mu_s=0.3; %coeficiente estático
angulo=20*pi/180; %ángulo de la pista inclinada

%ángulo crítico para empezar a deslizar
f=@(x) 2*sin(x)./(17*cos(x)+10*(H/R-1))-mu_s;
aDesliza=pi; 
if H>2.7
    if mu_s<2/sqrt(100*(H/R-1)^2-289)
        ang=acos(-17/(10*(H/R-1)));
        aDesliza=fzero(f,[pi/2,ang]);
    end
elseif H<2.7
    aDesliza=fzero(f,[0,acos(-10*(H/R-1)/17)-0.1]);
    %aDesliza=fzero(f,pi/2);
else
   aDesliza=2*atan(8.5*mu_s);     
end
       
%rueda sin deslizar
 %velocidad en el punto más bajo de la pista circular
x0=[0,sqrt(10*9.8*(H/R-1+cos(angulo))/7)/R];
ff=@(t,x) [x(2);-9.8*5*sin(x(1))/(7*R)]; 
opts=odeset('events',@(t,x) stop_bucle_esfera(t,x,aDesliza));
[t,x]=ode45(ff,[0,100],x0,opts);
tFin=t(end);
hold on
plot(t,x(:,1)*180/pi)

%rueda y desliza
%La reacción N se hace cero para
if aDesliza<pi
    mu=mu_s;
    aNormal=pi; %ángulo límite para N=0
    g=@(x) 2*9.8*(5*(H-1+cos(aDesliza))/7-(3*mu*sin(aDesliza)+
(1-2*mu^2)*cos(aDesliza))/(4*mu^2+1))*exp(2*mu*(x-aDesliza))
+3*9.8*(2*mu*sin(x)+cos(x))/(4*mu^2+1);
    if sign(g(aDesliza))~=sign(g(pi))
        aNormal=fzero(g,[aDesliza,pi]);
    end
    gg=@(t,x) [x(2); -9.8*sin(x(1))/R+mu*(9.8*cos(x(1))/R+x(2)^2)]; 
    if aNormal>pi/2
        opts=odeset('events',@(t,x) stop_bucle_esfera(t,x,aNormal));
    else
         opts=odeset('events',@(t,x) stop_bucle_esfera1(t,x));
    end
    %velocidad para el ángulo límite, empieza a deslizar
    x0=[aDesliza,sqrt(10*9.8*(H/R-1+cos(aDesliza))/7)/R]; 
    [t,x]=ode45(gg,[0,100],x0,opts);
    plot(t+tFin,x(:,1)*180/pi)
    line([0,tFin], [aDesliza,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
    line([tFin,tFin], [0,aDesliza]*180/pi, 'LineStyle','--','color','k')
    if aNormal>pi/2
        line([0,tFin+t(end)], [aNormal,aNormal]*180/pi, 'LineStyle','--',
'color','k')
        line([tFin+t(end),tFin+t(end)], [0,aNormal]*180/pi, 'LineStyle',
'--','color','k')
    else
       line([0,tFin+t(end)], [x(end,1),x(end,1)]*180/pi, 'LineStyle','--',
'color','k')
        line([tFin+t(end),tFin+t(end)], [0,x(end,1)]*180/pi, 'LineStyle',
'--','color','k')
    end
end

hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Movimiento de la esfera')

El procedimiento de cálculo se detiene cuando la posición angular θ del c.m. alcanza el ángulo límite θ_s y θ_n, definiendo la función

function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_esfera(~,x,xFin)
    value=x(1)-xFin; 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Si el ángulo final θ<π/2, la esfera rueda sin deslizar, desliza y se detiene. El procedimiento de cálculo se detiene cuando la velocidad final es cero, definiendo la función

function [value,isterminal,direction]=stop_bucle_esfera1(~,x)
    value=x(2); 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Cambiando los valores de las variables H (H/R) y mu_s (μ_s) en el script podemos explorar los casos mencionados:

1. Sea H/R=2.75 y μ_s=0.5, el coeficiente estático es mayor que el máximo de la función f(θ), por lo que la esfera rueda sin deslizar hasta que llega a la posición angular final θ=π



2. Sea H/R=2.75 y μ_s=0.3, el coeficiente estático es menor que el máximo de la función f(θ), por lo que la esfera rueda sin deslizar hasta la posición angular θ_s=142° y luego, desliza hasta que llega a la posición angular final θ=π

>> aDesliza*180/pi
ans =  141.9935
>> aNormal*180/pi
ans =   180

En color azul, se representa la primera etapa del movimiento: la esfera rueda sin deslizar. En color anaranjado, la segunda etapa: la esfera rueda y desliza, se señalan los instantes y los ángulos θ_s y θ_n



3. Sea H/R=2.7 y μ_s=0.3, la esfera desliza en la posición angular θ_s=137°, antes de llegar a la posición final θ=180°. La reacción N de la pista se hace cero en la posición angular θ_n=168° que es su posición final

>> aDesliza*180/pi
ans =  137.1741
>> aNormal*180/pi
ans =   168.3093



4. Sea H/R=0.7 y μ_s=0.3, si la esfera rodase sin deslizar, se detendría en la posición cos(θ_max)=-10(H/R-1)/17, θ_max=79.8°. La reacción de la pista no puede ser cero para θ<π/2. Por tanto, la esfera rueda sin deslizar hasta la posición angular θ_s=59° y luego, desliza hasta que se detiene en la posición final 71°

>> acos(-10*(H/R-1)/17)*180/pi
ans =   79.8358
>> aDesliza*180/pi
ans =  59.1311
>> x(end,1)*180/pi
ans =   71.0655

Actividades

Se introduce

• El radio de la esfera se ha fijado en r=0.2
• El radio del c.m. de la esfera se ha fijado en R=1 m
• El ángulo de la pista inclinada se ha fijado en β=20°
• El coeficiente estático μ_s en el control titulado Coeficiente estático que tendrá que ser mayor que 0.15
• La altura H/R a la que se suelta la esfera situada sobre la pista inclinada, en el control titulado Altura

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la esfera sobre la pista. Se señalan mediante líneas de color azul, los ángulos críticos θ_s y θ_n.

Se calcula la energía (potencial gravitatoria, cinética de traslación y cinética de rotación) para cada etapa del movimiento, la energía se conserva excepto en la etapa en la que la esfera desliza, que disminuye ligeramente.

Referencias

Peter L. Tea, Jr. Trouble on the loop-the-loop, Am. J. Phys. 55 (9), September 1987, pp. 826-829