Deformaciones de la rueda y del plano horizontal

Hasta ahora hemos supuesto que la rueda y el plano horizontal eran perfectamente rígidos, pero esta no es la situación real.

Movimiento uniforme

Calculamos la fuerza F que tenemos que aplicar en el c.m. para mantener ambos cuerpos (bloque y disco) en movimiento uniforme.

De nuevo, concluimos que la fuerza F necesaria para mantener deslizando con velocidad constante a un cuerpo es superior a la fuerza necesaria para hacer rodar otro cuerpo de la misma masa, siempre que se cumpla que

d R << μ k

Un cuerpo rígido que rueda sobre una superficie horizontal deformable.

En general, la deformación se produce en ambos cuerpos, en la mayor parte de los casos podemos suponer que es uno el que se deforma. Por ejemplo, en el caso del juego del billar, la bola experimenta una deformación mucho menor que el tapete. En el caso de un automóvil, la rueda experimenta mayor deformación que el asfalto o cemento de la carretera.

Consideremos el caso de una bola de billar que rueda sobre un tapete. Como se aprecia en la figura, la reacción es normal a la superficie en el punto de contacto y se aplica en un punto P’ que está muy cercano al punto P. La reacción no es vertical y tiene por tanto dos componentes N y f.

La componente f de la reacción se opone al movimiento de traslación del c.m. El momento resultante f·h-N·d se opone al movimiento de rotación como se pone de manifiesto al formular las ecuaciones del movimiento

f=m a c fRNd= 2 5 m R 2 α N=mg a c =αR

Observamos en la parte derecha de la figura, que d=Rsenθ . Para pequeñas deformaciones, el ángulo θ  es pequeño, aproximamos sinθ ≈ θ  y h ≈ R. Obtenemos el siguiente valor para la aceleración ac del c.m.

a c = 5 7 gθ

Para una bola de billar θ ≈ 10-2 rad

Ejemplo:

Si el grado de deformación es θ=8º=0.14 rad, la aceleración del c.m. es

ac=-5·9.8·0.14/7=-0.977 m/s2

Si la velocidad inicial del c.m. de la esfera es de v0=1 m/s. Calculamos el desplazamiento de la esfera hasta que se para

0=1.0+(-0.977)t,  t=1.02 s
x
=1.0·t+½(-0.977)t2=0.51 m=5.1 dm

Actividades

Se introduce

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Se supone que la aproximación sinθ≈θ se mantiene hasta los 20º. En la parte inferior, observamos el movimiento de la bola de billar rodando sin deslizar sobre el plano horizontal. El programa interactivo nos proporciona la velocidad del c.m. en función del tiempo, y la distancia que recorre la bola de billar en dm. En la parte superior, vemos la deformación de la superficie horizontal y las fuerzas que actúan sobre la bola de billar.

Nota: un ángulo de 20º es bastante exagerado para la mayor parte de los casos prácticos, pero nos permite apreciar en la simulación la deformación de la superficie horizontal y las fuerzas que ejerce sobre la bola de billar.

Un cuerpo rígido que se mueve sobre un plano inclinado deformable

El movimiento de un cilindro o una esfera a lo largo de un plano inclinado no se produce para cualquier inclinación del plano, por pequeña que esta sea, sino que requiere un ángulo umbral.

En la figura, se han dibujado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda sin deslizar. Las componentes del peso, la fuerza de rozamiento en la rodadura Fr, la reacción N

La reacción N no se aplica en el punto de contacto entre la rueda y el plano, sino que pasa por delante del centro de masas a una distancia d del mismo. Su existencia se justifica como ya hemos visto en que el plano y la rueda se deforman ligeramente en la zona de contacto.

El valor del brazo d depende de diversos factores entre ellos la velocidad con que baja rodando el cuerpo, pero supondremos que es constante.

Como vemos en la figura, el momento de la reacción N=mgcosθ  ya no es nulo sino que se opone al momento de la fuerza Fr.

Las ecuaciones del movimiento son ahora las siguientes:

Para un cilindro Ic=mR2/2

a c = 2g 3 ( sinθ d R cosθ ) F r = mg 3 ( sinθ+2 d R cosθ )

Que como vemos se convierten en las ecuaciones que describen el movimiento de un cilindro que rueda sin deslizar, cuando d=0.

El movimiento del cilindro no se inicia hasta un ángulo tal que ac0 es decir hasta que el ángulo θ>θ0

tan θ 0 = d R

Relaciones energéticas

Al encontrarse el punto de contacto entre el cuerpo rígido y el plano inclinado instantáneamente en reposo sobre la superficie, la fuerza de rozamiento Fr es estática. El máximo valor que puede alcanzar es μs·N. Siendo N la reacción del plano inclinado N=mgcosθ . Mientras Fr no supere el valor máximo μs·mgcosθ , el movimiento del cuerpo será de rodar sin deslizar

La fuerza de rozamiento en la rodadura Fr no realiza trabajo neto. Pero ahora la reacción N si realiza un trabajo (momento por ángulo girado). –Nd·φ =-(d·mgcos θ )·x/R. Siendo x la longitud que recorre el cilindro a lo largo del plano inclinado.

De este modo, una parte de la energía potencial mgh se convierte en trabajo de la reacción N.

mglsinθ l R dmgcosθ  = 1 2 I c ω 2 + 1 2 m v c 2 v c =ωR

Si d=0 la energía potencial mgh se convierte en energía cinética de traslación del c.m. y en energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Ejemplo:

El ángulo mínimo θ0 del plano inclinado para que el cilindro inicie el descenso es

tanθ0=1/20,  θ0≈3º

La aceleración del c.m. del cilindro es

a c = 2·9.8 3 ( sin30 1 20 cos30 )=2.98 m/s 2

La velocidad del c.m. en la base del plano inclinado es

x= 1 2 a c t 2 v c = a c t

Si x=3 m, vc=4.23 m/s

Aplicamos el balance energético

m·9.8·3·sin30 3 0.20 0.01·m·9.8cos30  = 1 2 ( 1 2 m· 0.2 2 ) ω 2 + 1 2 m v c 2 v c =ω·0.20

vc=4.23 m/s

Referencias

Hierrezuelo J., Carnero C.. Sliding and rolling: the physics of a rolling ball. Phys. Educ. 30 (1995), pp. 177- 182

López R., Gálvez F.J. Longitud de rodadura. Revista Española de Física 12 (1) 1998 págs 41-43.