Desplazando el plano sobre el que se apoya un cuerpo redondo

En la figura, se representa un cuerpo redondo de masa m y radio R que rueda sin deslizar sobre un mantel que se desplaza hacia la derecha con velocidad constante vm. Vamos a calcular la velocidad del centro de masa de dicho cuerpo vc respecto de la mesa y su velocidad angular ω de rotación.

Dinámica

La fuerza F que ejerce el mantel sobre el cuerpo redondo actúa en el punto de contacto P. Las otras dos fuerzas: el peso y la reacción del plano horizontal no contribuyen al movimiento.

Las ecuaciones del movimiento son:

Las dos ecuaciones nos permiten relacionar ambas aceleraciones ac=k·Rα

La misma relación se establece entre las velocidades vc de traslación del c.m. y la velocidad angular de rotación alrededor de un eje que pase por el c.m.

vc=k·Rω

Si el cuerpo rueda sin deslizar sobre el mantel, la velocidad V del c.m. respecto del mantel será V=ωR y estará dirigida hacia la izquierda ya que la velocidad angular de rotación ω es de sentido contrario a las agujas del reloj.  Teniendo en cuenta el signo, la relación entre ambas velocidades será vc =-kV

Si la velocidad del mantel es vm se cumplirá que V=vc-vm

Conocida la velocidad vm del mantel calculamos la velocidad vc del c.m. del cuerpo respecto de la mesa

v c = k· v m 1+k

y la velocidad relativa V del cuerpo respecto del mantel

V= v m 1+k

Si d es la distancia inicial que hay entre el punto P de contacto entre el cuerpo y el mantel y su borde izquierdo. El tiempo que emplea el cilindro en abandonarlo es t=d/|V|. En ese mismo tiempo, el c.m. del cilindro ha recorrido hacia la derecha una distancia x=vc·t=k·d.

Momento angular

La fuerza exterior F que hace moverse al cilindro está aplicada en el punto P. El momento de dicha fuerza es cero. Por lo que el momento angular respecto de P debe de ser constante.

Para un sistema de partículas la relación entre el momento angular respecto a un eje que pasa por el c.m. y el momento angular respecto de un eje instantáneo que pasa por P es

L=Lcm+m·rcm × vcm

Los dos momentos angulares tienen la misma dirección (perpendicular al plano del dibujo) y sentidos opuestos

L=Icω-mRvc=0

Escribiendo Ic=kmR2, obtenemos de nuevo, la misma relación entre la velocidad de traslación del c.m. y la velocidad de rotación ω.

vc=kRω

Cuando el cuerpo redondo abandona el mantel, no puede moverse ni a la izquierda ni a la derecha, queda completamente en reposo, ya que de otro modo el momento angular dejaría de ser nulo.

Actividades

Se introduce

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Se observa el movimiento de traslación del c.m. del cuerpo respecto de la mesa hacia la derecha mientras rueda hacia la izquierda sobre el mantel.

Relacionamos el desplazamiento x del del c.m. respecto de la mesa con el desplazamiento del cuerpo sobre el mantel d para cada uno de los cuerpos.

Observamos que cuando abandona el mantel, el cuerpo permanece en reposo.

Referencias

Ferguson J. Pulling the rug from under round objects. The Physics Teacher vol 39, April 2001, pp. 224-225.