Desplazando el plano sobre el que se apoya un cuerpo redondo

En la figura, se representa un cuerpo redondo de masa m y radio R que rueda sin deslizar sobre un mantel que se desplaza hacia la derecha con velocidad constante vm. Vamos a calcular la velocidad del centro de masa de dicho cuerpo vc respecto de la mesa y su velocidad angular ω de rotación.

Dinámica

La fuerza f que ejerce el mantel sobre el cuerpo redondo actúa en el punto de contacto P. Las otras dos fuerzas: el peso y la reacción del plano horizontal no contribuyen al movimiento.

Las ecuaciones del movimiento son:

Las dos ecuaciones nos permiten relacionar ambas aceleraciones ac=k·Rα

La misma relación se establece entre las velocidades vc de traslación del c.m. y la velocidad angular de rotación alrededor de un eje que pase por el c.m.

vc=k·Rω

Si el cuerpo rueda sin deslizar sobre el mantel, la velocidad V del c.m. respecto del mantel será V=ωR y estará dirigida hacia la izquierda ya que la velocidad angular de rotación ω es de sentido contrario a las agujas del reloj. Teniendo en cuenta el signo, la relación entre ambas velocidades será vc =-kV

Si la velocidad del mantel es vm se cumplirá que V=vc-vm

Conocida la velocidad vm del mantel calculamos la velocidad vc del c.m. del cuerpo respecto de la mesa

v c = k· v m 1+k

y la velocidad relativa V del cuerpo respecto del mantel

V= v m 1+k

Si d es la distancia inicial que hay entre el punto P de contacto entre el cuerpo y el mantel y su borde izquierdo. El tiempo que emplea el cilindro en abandonarlo es t=d/|V|. En ese mismo tiempo, el c.m. del cilindro ha recorrido hacia la derecha una distancia x=vc·t=k·d.

Momento angular

La fuerza exterior F que hace moverse al cilindro está aplicada en el punto P. El momento de dicha fuerza es cero. Por lo que el momento angular respecto de P debe de ser constante.

Para un sistema de partículas la relación entre el momento angular respecto a un eje que pasa por el c.m. y el momento angular respecto de un eje instantáneo que pasa por P es

L = L cm +m r cm × v cm

Los dos momentos angulares tienen la misma dirección (perpendicular al plano del dibujo) y sentidos opuestos

L=Icω-mRvc=0

Escribiendo Ic=kmR2, obtenemos de nuevo, la misma relación entre la velocidad de traslación del c.m. y la velocidad de rotación ω.

vc=kRω

Cuando el cuerpo redondo abandona el mantel, no puede moverse ni a la izquierda ni a la derecha, queda completamente en reposo, ya que de otro modo el momento angular dejaría de ser nulo.

Actividades

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Se observa el movimiento de traslación del c.m. del cuerpo respecto de la mesa hacia la derecha mientras rueda hacia la izquierda sobre el mantel.

Relacionamos el desplazamiento x del del c.m. respecto de la mesa con el desplazamiento del cuerpo sobre el mantel d para cada uno de los cuerpos.

Observamos que cuando abandona el mantel, el cuerpo permanece en reposo.

La aceleración del mantel es am

Estudiamos el caso en el que la aceleración del mantel es constante e igual a am

Las ecuaciones del movimiento son:

Las dos ecuaciones nos permiten relacionar ambas aceleraciones ac=k·Rα

Si el cuerpo rueda sin deslizar sobre el mantel, la aceleración a del c.m. respecto del mantel será a=αR y estará dirigida hacia la izquierda ya que la aceleración angular de rotación α es de sentido contrario a las agujas del reloj. Teniendo en cuenta el signo, la relación entre ambas aceleraciones será ac =-ka

Si la aceleración del mantel es am se cumplirá que a=ac-am

Conocida la aceleración am del mantel, calculamos la aceleración ac del c.m. del cuerpo respecto de la mesa

a c = k· a m 1+k

y la aceleración relativa a del cuerpo respecto del mantel

a= a m 1+k

La fuerza f que ejerce el mantel sobre el cuerpo es

f=m a c =m k 1+k a m

Esta fuerza tiene que ser menor que la máxima, μsN=μsmg

La aceleración am del mantel tiene que ser menor que la máxima posible

f μ s mg a m μ s g k+1 k

Relacionamos las aceleraciones, velocidades y desplazamientos del centro de masa del cuerpo y del mantel

a c = k k+1 a m v c = k k+1 v m Δ x c = k k+1 Δ x m

Supondremos que el cuerpo y el mantel parten del reposo en el instante t=0

Por ejemplo, para un cuerpo cilíndrico k=1/2, los desplazamientos, en el intervalo de tiempo Δt, del cuerpo y del mantel están relacionados por Δxc=Δxm/3

Problema

Un cilindro de masa m y momento de inercia mR2/2 se coloca sobre una plataforma de masa M. Sobre la plataforma actúa una fuerza periódica F(t)=F0cos(ω0t).

La plataforma desliza sin rozamiento sobre el plano horizontal. El cilindro rueda sobre una superficie horizontal rugosa cuyo coeficiente cinético es μk.

Vamos a calcular las velocidades máximas de la plataforma vy, y del cilindro vx respecto del laboratorio

Supondremos que el coeficiente estático μs es suficientemente grande para que se cumpla am≤ 3μsg, para k=1/2, es decir, un cilindro, am es la aceleración de la plataforma

El cilindro rueda sin deslizar, si

yx=Rθ

y-x es el desplazamiento del cilindro relativo a la plataforma y θ es el ángulo girado por el cilindro

d 2 y d t 2 d 2 x d t 2 =R d 2 θ d t 2 Ff M f m = 2f m F M =f( 1 M + 3 m ) f= F 1+3 M m

Se cumple que vy-vx=Rω. El cilindro rueda sin deslizar sobre la plataforma

La velocidad alcanza su valor máximo en el instante ω0t1=π/2

Movimiento del cilindro sobre la plataforma en reposo

Una situación interesante se produce cuando la plataforma se detiene bruscamente en este instante t1. Supondremos que las velocidades de traslación y angular de rotación del cilindro no se ven afectadas

La velocidad de traslación del centro del cilindro en el instante t1 sería

v 1 = F 0 m+3M 1 ω 0

La velocidad angular de rotación del cilindro en dicho instante sería

ω1R= 2 F 0 m+3M 1 ω 0

En la posición

x 1 = F 0 m+3M 1 ω 0 2

En dicho instante, no se cumple la condición de rodar sin deslizar: ω1R es el doble de v1

La fuerza de rozamiento f=μkN=μkmg se opone a la velocidad del punto P de contacto del cilindro con la plataforma en reposo. Como f es una fuerza constante, la aceleración es constante y también la angular

La fuerza de rozamiento f hace que el cilindro disminuya su velocidad de traslación, la angular de rotación hasta que se detiene

Representamos la velocidad vx de traslación del cilindro y la velocidad angular de rotación ωR, en función del tiempo, para los siguientes datos

m=1; %masa cilindro
M=3; %masa plataforma
R=1; %radio cilindro
F0=5; %amplitud fuerza
w0=1; %frecuencia angular
mu=0.1; %coef. cinético rozamiento
C=F0/(w0*(m+3*M));
%vy=@(t) 3*C*sin(w0*t); %velocidad mantel
vx=@(t) C*sin(w0*t); %velocidad centro cilindro
w=@(t) 2*C*sin(w0*t); %velocidad angular cilindro
t0=pi/(2*w0); %tiempo final
hold on
fplot(vx,[0,t0])
fplot(w,[0,t0])
%segunda etapa, mantel fijo
v=@(t) C-mu*9.8*(t-t0);
w=@(t) 2*C-2*mu*9.8*(t-t0);
t1=t0+C/(mu*9.8);
fplot(v,[t0,t1])
fplot(w,[t0,t1])
line([t0,t0],[0,C],'lineStyle','--')
hold off
grid on
lxlabel('t (s)')
ylabel('v,\omega·R')
title('Velocidades')

La línea a trazos marca el instante t0

Representamos la posición x del centro del cilindro, en función del tiempo, para los mismos datos

m=1; %masa cilindro
M=3; %masa plataforma
R=1; %radio cilindro
F0=5; %amplitud fuerza
w0=1; %frecuencia angular
mu=0.1; %coef. cinético rozamiento
C=F0/(w0*(m+3*M));
x=@(t) C*(1-cos(w0*t))/w0; %posición cilindro
t0=pi/(2*w0); %tiempo final
hold on
fplot(x,[0,t0])
%segunda etapa, mantel fijo
x=@(t) C/w0+C*(t-t0)-mu*9.8*(t-t0).^2/2;
t1=t0+C/(mu*9.8);
fplot(x,[t0,t1])
line([t0,t0],[0,C/w0],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('x (m)')
title('Posición')

Actividades

Se introduce

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Observamos la plataforma en movimiento y el cilindro rodando sin deslizar sobre la plataforma

En el instante t=π/(2ω0), la plataforma se detiene bruscamente y el cilindro rueda y desliza sobre la plataforma hasta que se detiene

En la parte superior se proporciona, el tiempo t en s y la posición x en m del centro del cilindro


Referencias

Ferguson J. Pulling the rug from under round objects. The Physics Teacher vol 39, April 2001, pp. 224-225.

R. De Luca. Physics at the grocery store. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 44, e20220086 (2022)

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2015. Q2