Movimiento de un disco impulsado por una fuerza de módulo constante
La dirección de la fuerza pasa por el centro del disco
Las ecuaciones del movimiento son:
Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro
La dirección de la fuerza que ejerce el cohete sobre el disco pasa por el centro del disco, el momento es cero, la velocidad angular de rotación es constante.
θ=ω0·t
Movimiento de traslación del centro del disco
La fuerza sobre el centro del disco es
Fx=F·sinθ
Fy=-F·cosθ
La aceleración es
Si el disco parte con velocidad inicial nula, vx=0, vy=0.
Integramos de nuevo, suponiendo que el centro del disco parte del origen x=0, y=0
Esta es la ecuación de una cicloide.
Actividades
Se introduce
-
El valor de la velocidad angular en el control titulado Velocidad angular.
-
El valor del cociente fuerza dividido masa F/m=2.5 se ha fijado en el programa interactivo.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
La dirección de la fuerza es tangente al disco
Para describir el movimiento del centro del disco, se emplean las integrales de Fresnel
Por razón de conveniencia situaremos el origen de ángulos en el eje Y negativo, para que las componentes de Fx y Fy de la fuerza sean inicialmente positivas y las componentes de la velocidad vx y vy también lo sean en todo momento.
Movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro
El momento de la fuerza de empuje del cohete respecto al centro del disco es F·R
La ecuación del movimiento de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por su centro
Donde I es el momento de inercia del disco y del cohete situado en el borde.
Como la aceleración angular es constante. El ángulo girado θ al cabo de un cierto tiempo t es
Supondremos que el disco parte del reposo, dθ/dt=0 en el instante t=0
Movimiento de traslación del centro del disco
Las componentes de la fuerza sobre el disco son
Fx=F·cosθ
Fy=F·sinθ
En la figura, se representa Fy/F en función del tiempo t, tomando FR/I=1. En el intervalo angular entre θ=0 y θ1=π o en el intervalo de tiempo comprendido entre t=0, y la componente Y de la fuerza Fy es positiva y el cambio de momento lineal del disco en dicha dirección es el área de color amarillo comprendida entre la curva y el eje X. Durante el intervalo angular entre θ1=π y θ2=2π o en el intervalo de tiempo comprendido entre y la componente Y de la fuerza Fy es negativa y el impulso de la fuerza en dicha dirección es el área de color azul claro comprendida entre la curva y el eje X.
Durante la primera vuelta, el área total es positiva, lo que implica que la componente vy de la velocidad es positiva, y lo mismo cabe decir de las sucesivas vueltas. La suma de las áreas de color amarillo, excede la suma de las áreas de color azul claro. La componente vy de la velocidad del centro del disco es siempre positiva. El mismo argumento se aplica para la componente vx.
Si el disco parte con velocidad inicial nula, vx=0, vy=0.
Se define la integral seno y coseno de Fresnel como
Cuando se representa en el eje X los valores de C(t) y en el eje Y los valores de S(t) para cada instante t, se obtiene una curva denominada espiral de Cornu.
x=0.02:0.02:7; plot(fresnelc(x),fresnels(x)) axis equal grid on xlabel('C(t)') ylabel('S(t)') title('La espiral de Cornu')
Haciendo el cambio de variable
expresamos las componentes de la velocidad en términos de estas dos funciones especiales
Las componentes de la velocidad son proporcionales a las proyecciones del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t. La longitud del radio vector es proporcional al módulo de la velocidad. Como vemos en la figura, dicho módulo alcanza un valor máximo y luego disminuye y aumenta alternativamente hasta que alcanza un valor límite, cuando el tiempo t→∞, C(t) →0.5 y S(t) →0.5.
Las componentes de la velocidad final del centro del disco cuando t→∞, son
Integramos de nuevo, para obtener la posición del centro del disco en función del tiempo, suponiendo que parte del origen x=0, y=0, en el instante t=0.
Integramos por partes
De modo análogo
La trayectoria final del centro del disco es rectilínea formando 45º con el eje X pero no pasa por el origen.
t=0:0.1:30; fuerza=0.1; u=sqrt(fuerza/pi)*t; x=-sin(pi*u.^2/2)+sqrt(pi*fuerza)*t.*fresnelc(u); y=-1+cos(pi*u.^2/2)+sqrt(pi*fuerza)*t.*fresnels(u); plot(x,y) grid on xlabel('x'); ylabel('y') title('Movimiento del disco')
Actividades
Se introduce
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El valor de la fuerza F, en el control titulado Fuerza.
-
Los valores del momento de inercia I, la masa m y el radio R se han tomado iguales a la unidad.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
En la parte izquierda, se representa la trayectoria del centro del disco
En la parte derecha, se representa la espiral de Cornu, la longitud del radio vector que une el origen con el punto de la espiral correspondiente al instante t, es proporcional al módulo de la velocidad y las proyecciones sobre los ejes son proporcionales a las componentes vx y vy de la velocidad del centro del disco.
Referencias
Dudley S. C., Serna M. A. Spaceship with a thruster-one body, one force. Am. J. Phys. 73 (6) June 2005, pp. 500- 506.
Numerical Recipes in C, Fresnel Integrals, Cosine and Sine Integrals Capítulo 6º. Código en C adaptado por el autor al lenguaje Java