Una cinta se desenrolla

Movimiento en el plano horizontal

Sea una cinta de masa M, longitud L y espesor e pequeño comparado con el radio R de la cinta completamante enrollada.

En el instante t, el sistema consta de una cinta de longitud x, situada en el plano horizontal y un cilindro de masa m y radio r, cuyo centro C lleva una velocidad v que hace un ángulo θ con la horizontal y gira alrededor de un eje que pasa por C con velocidad angular ω. Supondremos que el cilindro rueda sin deslizar.

Como apreciamos en la figura, a medida que la cinta se desenrolla el radio r del cilindro disminuye, su centro C describe la trayectoria señalada en la figura que comienza en el origen O y termina en el punto (L,-R)

La longitud L de la cinta y su radio R cuando está completamente enrollada están relacionadas, πR2=Le.

El radio r del cilindro cuando se ha desenrollado una longitud x es, πr2=(L-x)e

r=R 1 x L =R 1u

Siendo u=x/L, la proporción de cinta desenrollada

La masa del cilindro de radio r es, m=M(1-x/L)=M(1-u)

Principio de conservación de la energía

Aplicamos el principio de conservación de la energía a este sistema por que no hay un mecanismo aparente de disipación de la energía al menos durante las primeras etapas del movimiento. Al final, cuando se desenrolla completamente x tiende a L y la masa m tiende a cero. Un cilindro de masa m que tiende a cero y que lleva una energía finita, implica que la velocidad de su centro C tiende a infinito.

Energía potencial

Una parte de la cinta de masa (M-m) se encuentra en el plano horizontal, su energía potencial es -(M-m)gR. El centro de masas del cilindro de masa m se encuentra a una altura r, su energía potencial referida al origen O es -mg(R-r). La energía potencial total es Ep=-(M-m)gR-mg(R-r)

E p =MgR( 1 ( 1u ) 3/2 )

Energía cinética

La parte x de la cinta desenrollada, se encuentra en reposo. La energía cinética del cilindro de masa m y radio r se compone de dos términos: la de traslación del centro de masas con velocidad v y la de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas con velocidad angular ω.

E k = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Donde I=mr2/2 es el momento de inercia del cilindro

Las coordendas del centro C del cilindro son (x, -(R-r)). Derivando con respecto del tiempo obtenemos las componentes de la velocidad

v x = dx dt v y = dr dt = R 2L ( 1 x L ) 1/2 dx dt v 2 = ( dx dt ) 2 ( R 2 +4 L 2 (1u) 4 L 2 (1u) )

La velocidad angular de rotación r·ω=dx/dt, de un sólido rígido de radio r que rueda sin deslizar. La energía cinética del cilindro, suma de los términos traslación y rotación, es

E k = 1 8 M( R 2 +6 L 2 (1u) L 2 ) ( dx dt ) 2

Dado que la energía inicial es cero, el principio de conservación de la energía se escribe

1 8 M( R 2 +6 L 2 (1u) L 2 ) ( dx dt ) 2 MgR( 1 ( 1u ) 3/2 )=0

Despejamos dx/dt y luego, calculamos el módulo de la velocidad v del centro C del cilindro

( dx dt ) 2 = 8gR L 2 ( 1 ( 1u ) 3/2 ) R 2 +6 L 2 (1u) v 2 = 8gR L 2 ( 1 ( 1u ) 3/2 ) R 2 +6 L 2 (1u) ( R 2 +4 L 2 (1u) 4 L 2 (1u) )

Cuando la cinta se desenrolla completamente, x tiende a L, o u tiende a 1, la velocidad v tiende a infinito.

Ecuación del movimiento

Le proporcionamos a la cinta completamente enrollada x=0, o u=0, una velocidad inicial (dx/dt)0=V0L , para que empiece a desenrollarse. La energía cinética inicial sería

E 0 = 1 8 M( R 2 +6 L 2 ) V 0 2

El principio de conservación de la energía se escribe en términos de u=x/L

1 8 M( R 2 +6 L 2 ) V 0 2 = 1 8 M( R 2 +6 L 2 (1u) ) ( du dt ) 2 MgR( 1 ( 1u ) 3/2 )

Despejamos du/dt

( du dt ) 2 = ( R 2 +6 L 2 ) V 0 2 +8gR( 1 ( 1u ) 3/2 ) R 2 +6 L 2 (1u)

Para obtener el tiempo t que tarda en desenrollarse x o la proporción u=x/L integramos con respecto de u.

t= 0 u R 2 +6 L 2 (1u) ( R 2 +6 L 2 ) V 0 2 +8gR( 1 ( 1u ) 3/2 ) du

Para evitar la confusión entre el límite superior u y la variable u en el integrando, escribimos de forma equivalente.

t= 0 u R 2 +6 L 2 (1z) ( R 2 +6 L 2 ) V 0 2 +8gR( 1 ( 1z ) 3/2 ) dz

Ejemplo

Sea la longitud de la cinta L=22.8 cm, el radio del cilindro cuando está completamente enrollada R=1.45 cm, la velocidad inicial v0/L=V0=0.36 s-1

El tiempo T para que la cinta se desenrolle completamente, se obtiene poniendo el límite superior u=1 que equivale a x=L

>> R=1.45/100; %radio inicial
>> L=22.8/100; %longitud de la cinta
>> V0=0.36;  %velocidad incial (dx/dt)/L
 
>> f=@(x) sqrt((R^2+6*L^2*(1-x))./((R^2+6*L^2)*V0^2+8*9.8*R*(1-(1-x).^(3/2))));
>> integral(f,0,1)
ans =    0.5794

Elaboramos un script para representar la función implícita t=f(u), la posición u=x/L del centro del cilindro en función del tiempo t

R=1.45/100; %radio inicial
L=22.8/100; %longitud de la cinta
V0=0.36;  %velocidad incial (dx/dt)/L
 
f=@(x) sqrt((R^2+6*L^2*(1-x))./((R^2+6*L^2)*V0^2+8*9.8*R*(1-(1-x).^(3/2))));
uu=linspace(0,1,100);
t=zeros(1,length(uu));
i=1;
for u=uu
    t(i)=integral(f,0,u);
    i=i+1;
end
plot(t,uu)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x/L')
title('plano horizontal')

Movimiento en el plano inclinado

Estudiamos ahora el movimiento de la cinta en el plano inclinado. Establecemos los ejes como se indica en la figura, el eje X a lo largo del plano inclinado. La cinta parte del reposo, con energía cero. Lo único que cambia en esta situación es la energía potencial.

La energía potencial de la parte x de la cinta situada en el plano inclinado es -(M-m)g(xsinα/2+Rcosα). El centro de masa de esta parte de la cinta está en P distante x/2 del eje Y.

El centro C del cilindro de masa m y radio r, ha disminuido su altura en xsinα+(R-r)cosα, su energía potencial es mg(xsinα+(R-r)cosα)

E p ={ (M+m)g x 2 sinα+(MgRmgr)cosα }= Mg{ (2u) u 2 Lsinα+R( 1 ( 1u ) 3/2 )cosα }

La expresión de la energía cinética no cambia

E k = 1 8 M( R 2 +6 L 2 (1u) L 2 ) ( dx dt ) 2 = 1 8 M( R 2 +6 L 2 (1u) ) ( du dt ) 2

Aplicamos el principio de conservación de la energía y despejamos du/dt

( du dt ) 2 = 8g{ (2u) u 2 Lsinα+R( 1 ( 1u ) 3/2 )cosα } R 2 +6 L 2 (1u)

Integramos respecto de u, para obtener la función implícita t=f(u), de la posición u=x/L en función del tiempo t

t= 0 u R 2 +6 L 2 (1u) 8g{ (2u) u 2 Lsinα+R( 1 ( 1u ) 3/2 )cosα } du

Para evitar la confusión entre la variable u en el integrando y el límite superior u, escribimos de forma equivalente

t= 0 u R 2 +6 L 2 (1z) 8g{ (2z) z 2 Lsinα+R( 1 ( 1z ) 3/2 )cosα } dz

Cuando la pendiente del plano inclinado se hace α=0, obtenemos la expresión de t=f(u) para el plano horizontal, deducida en el apartado anterior

El tiempo total que tarda en desenrollarse se obtiene cuando x=L, poniendo u=1 en el límite superior de la integral definida.

>> R=1.45/100; %radio inicial
>> L=22.8/100; %longitud de la cinta
>> alfa=pi/6;  %pendiente
 
>> f=@(x) sqrt((R^2+6*L^2*(1-x))./(8*9.8*((2-x).*x*L*sin(alfa)/2
+R*(1-(1-x).^(3/2))*cos(alfa))));
>> integral(f,0,1)
ans =    0.2918

Elaboramos un script para representar la función implícita t=f(u), la posición u=x/L del centro del cilindro en función del tiempo t

R=1.45/100; %radio inicial
L=22.8/100; %longitud de la cinta
alfa=pi/6;  %pendiente
 
f=@(x) sqrt((R^2+6*L^2*(1-x))./(8*9.8*((2-x).*x*L*sin(alfa)/2+
R*(1-(1-x).^(3/2))*cos(alfa))));
uu=linspace(0.01,1,100);
t=zeros(1,length(uu));
i=1;
for u=uu
    t(i)=integral(f,0,u);
    i=i+1;
end
plot(t,uu)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x/L')
title('plano inclinado')

Actividades

Se introduce

El programa interactivo calcula una tabla de tiempos t para valores de u comprendidos entre u=0.001 y u=1, con Δu=0.01, resolviendo la integral por procedimientos numéricos (fórmula de Simpson). El valor u=0 produce un error Infinity (infinito) como puede apreciarse en el integrando

Para producir la animación, se calcula y se muestra las posiciones x=u·L del cilindro de radio variable para los tiempos n·Δt, donde n=1,2, ..... La posición correspondiente al instante n·Δt se calcula utilizando la interpolación lineal tal como se muestra en la figura


Referencias

Ira M. Freeman. The Dynamics of a Roll of Tape. Am. J. Phys. 14 (1946) pp. 124-126

Carl E Mungan, Trevor C Lipscombe, When experiment and energy conservation collide: video analysis of an unrolling mat. Eur. J. Phys. 39 (2018) 025004