Movimiento de un cilindro no homogéneo

Consideremos un cilindro hueco de masa M y radio R de pequeño espesor, (en color negro) al que se ha soldado un cilindro macizo de masa m y radio r (de color rojo), tal como se muestra en la figura. La distancia rcmdel centro de masas al centro del cilindro hueco es
El momento de inercia Icm del sistema respecto de un eje paralelo al del cilindro que pasa por el centro de masa es
El cilindro hueco parte del origen de un plano inclinado de longitud L y ángulo θ. El cilindro macizo forma un ángulo inicial φ0. Cuando el centro del cilindro hueco se desplaza x a lo largo del plano inclinado, el ángulo que gira el cilindro macizo es φ-φ0. De modo que, x=R(φ-φ0), tal como se muestra en la figura
Energía cinética

El movimiento del cilindro asimétrico es la suma de dos movimientos: de la traslación del centro de masas y el movimiento de rotación alrededor de un eje paralelo al de los cilindros y que pasa por el centro de masas
La posición del centro de masas es
Derivando respecto del tiempo, obtenemos la velocidad del centro de masas
La energía cinética del cilindro es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación, con velocidad angular dφ/dt, alrededor de un eje paralelo a los ejes de los cilindros que pasa por el centro de masas
Donde la variable I agrupa los términos constantes
Energía potencial
En un momento dado, el cilindro se encuntra en la posición x. Tomando el nivel cero de energía potencial en el vértice del plano inclinado de longitud L, la energía potencial del centro de masas es
Los dos primeros términos son constantes y no intervienen en la ecuación del movimiento
Ecuación del movimiento
La Lagrangiana es la diferencia Ek-Ep
La ecuación del movimiento es
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, el cilindro macizo se ha desplazado φ0 y el sistema parte del reposo. La posición x del cilindro hueco es x=R(φ-φ0)
Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema:
- Masa del cilindro hueco, M=200 g
- Radio del cilindro hueco, R=10 cm
- Masa del cilindro macizo, m=800 g
- Radio del cilindro macizo, r=1.2 cm
- Angulo del plano inclinado, θ=10°
Sea el desplazamiento inicial del cilindro macizo φ0=120°, señalado por un punto de color rojo en la figura más abajo
Representamos la función energía potencial Ep(φ) y la energía inicial E0=Ep(φ0) mediante una recta horizontal
M=0.2; % cilindro hueco R=0.1; %cilindro hueco m=0.8; %cilindro macizo r=0.012; %radio macizo theta=10*pi/180; %plano inclinado fi_0=120*pi/180; %ángulo inicial %energía potencial Ep=@(x) (M+m)*sin(theta)+(M+m)*R*cos(theta)-(M+m)*R*(x-fi_0)*sin(theta) -m*(R-r)*cos(theta+x); E0=Ep(fi_0); %energía inicial hold on fplot(Ep,[-pi,5*pi]) line([-pi,5*pi],[E0,E0]) plot(fi_0,E0, 'ro', 'markersize',4,'markerfacecolor','r') %mínimo y máximo fi=asin((M+m)*R*sin(theta)/(m*(R-r)))-theta; %mínimo plot(fi,Ep(fi), 'bo', 'markersize',4,'markerfacecolor','b') fi=pi-asin((M+m)*R*sin(theta)/(m*(R-r)))-theta; %máximo plot(fi,Ep(fi), 'bo', 'markersize',4,'markerfacecolor','b') hold off xlabel('\phi') ylabel('E_p'); title('Energía potencial') grid on
El sistema oscila entre dos posiciones, una de ellas es x=R·φ0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación transcendente E0=Ep(φ)
>> f=@(x) Ep(x)-E0; >> fzero(f,-120*pi/180) ans = -1.4992
que son -85.9°
Calculamos el máximo y mínimo local de la función energía potencial, representados por los puntos de color azul
El primer mínimo corresponde al ángulo ø
El primer máximo ø se obtiene para
Con los datos del ejemplo, el máximo local se obtiene para ø=155.7°
Para ángulos iniciales φ0<ø el movimiento es oscilatorio y para ángulos mayores el cilindro baja rodando por la rampa. Esta posición es de equilibrio inestable y corresponde a la frontera entre dos tipos completamente diferentes de movimiento
Resolvemos la ecuación diferencial del movimiento para obtener la velocidad del centro del cilindro en función del tiempo.
M=0.2; % masa cilindro hueco R=0.1; % radio cilindro hueco m=0.8; % masa cilindro macizo r=0.012; %radio cilindro macizo theta=10*pi/180; %plano inclinado fi_0=120*pi/180; %ángulo inicial I=(2*M+m)*R^2+m*r^2/2+m*(R-r)^2; f=@(t,x) [x(2);((M+m)*9.8*R*sin(theta)-m*9.8*(R-r)*sin(theta+x(1))- m*R*(R-r)*sin(x(1))*x(2)^2)/(I-2*m*R*(R-r)*cos(x(1)))]; [t,x]=ode45(f,[0,4],[fi_0,0]); plot(t,R*x(:,2)) xlabel('t') ylabel('v'); title('Movimiento oscilatorio') grid on
Se podría medir el periodo o la diferencia de tiempos entre dos máximos o dos mínimos
Si cambiamos el ángulo inicial a φ0=180° el sistema baja rodando por el plano inclinado
Para φ0=263°, la energía inicial (punto de color rojo) es próxima a un máximo local (punto de color azul), el cilindro rueda a lo largo de la rampa, pero casi se detiene
M=0.2; % cilindro hueco R=0.1; %cilindro hueco m=0.8; %cilindro macizo r=0.012; %radio macizo theta=10*pi/180; %plano inclinado fi_0=263*pi/180; %ángulo inicial %energía potencial Ep=@(x) (M+m)*sin(theta)+(M+m)*R*cos(theta)- (M+m)*R*(x-fi_0)*sin(theta)-m*(R-r)*cos(theta+x); E0=Ep(fi_0); %energía inicial hold on fplot(Ep,[-pi,5*pi]) line([-pi,5*pi],[E0,E0]) plot(fi_0,E0, 'ro', 'markersize',4,'markerfacecolor','r') fi=pi-asin((M+m)*R*sin(theta)/(m*(R-r)))-theta; %máximo plot(fi+2*pi,Ep(fi+2*pi), 'bo', 'markersize',4,'markerfacecolor','b') hold off xlabel('\phi') ylabel('E_p'); title('Energía potencial') grid on
Resolvemos la ecuación diferencial del movimiento
Actividades
Introducimos
- La masa del cilindro hueco, M, en el control titulado Masa cilindro hueco
- La masa del cilindro macizo, m, en el control titulado macizo
- El radio del cilindro hueco, R se ha fijado en 10 cm
- El radio del cilindro macizo, r, en el control titulado Radio
- El ánngulo inicial φ0, en el control titulado Angulo inicial
- El ángulo del plano inclinado, θ, en el control titulado Plano inclinado
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento del sistema formado por el cilindro hueco (en color negro) y del cilindro macizo (en color rojo) rodando a lo largo del plano inclinado. A la derecha, se representa la velocidad del centro del cilindro en función del tiempo
Referencias
Antonino Carnevali. Russel May. Rolling motion of non-axisymmetric cylinders. Am J. Phys. 73 (10) October 2005, pp. 909-913