Oscilaciones de un cuerpo que rueda sobre superficie cóncava.

Superficie cilíndrica cóncava

Como hemos demostrado, para que un cuerpo en forma de aro, cilindro o esfera de radio r, ruede sin deslizar en un plano horizontal o inclinado, se tiene que cumplir que vc=ωr, a fin de que la velocidad del punto P de contacto del cuerpo con el plano sea nula. Donde

En el caso de que el cuerpo ruede sobre una superficie cilíndrica, la velocidad del centro de masas es

v c = ds dt =(Rr) dθ dt

La velocidad angular de rotación es

ω= dφ dt

Para que la velocidad del punto P de contacto sea nula, se tiene que cumplir que

(Rr) dθ dt =r dφ dt

La relación entre el desplazamiento angular del centro del cuerpo θ y el ángulo φ girado por el cuerpo es (R-r)θ=rφ

Vamos a comprobar esta relación de forma geométrica

Un cuerpo de radio r rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. El centro del cuerpo describe un arco s=(R-r)θ (en color verde), mientras el cuerpo rueda una longitud u=Rθ sobre la pista (en color negro) e igual al arco de color rojo pintado sobre el cuerpo.

En la figura, se señala la posición inicial del punto P del cuerpo y su posición angular en el instante t, φ=u/r-θ=Rθ/r-θ o bien, (R-r)θ=rφ

φ= Rr r θ

Parte de la figura ha sido elaborada con el siguiente código

th=pi/3; %ángulo
r=0.25; %radio del cuerpo que rueda
hold on
%pista
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [-pi/2,0], 'linewidth',1.5)
%cuerpo
ang=(1:360)*pi/180;
x1=r*cos(ang);
y1=-(1-r)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,0],[0,-1],'linestyle','--')
line([0,1],[0,0],'linestyle','--')

x1=(1-r)*sin(th)+r*cos(ang);
y1=-(1-r)*cos(th)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,sin(th)],[0,-cos(th)],'linestyle','--','color','k')
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [-pi/2,-(pi/2-th)], 'linewidth',
1.5,'color','k')
fplot(@(t) (1-r)*sin(th)+r*cos(t), @(t) -(1-r)*cos(th)+r*sin(t), 
[-th/r-(pi/2-th),-(pi/2-th)], 'linewidth',1.5, 'color','r')
fplot(@(t) (1-r)*cos(t), @(t) (1-r)*sin(t), [-pi/2,-(pi/2-th)], 
'linewidth',1,'color','g')
plot(0,-1,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
plot((1-r)*sin(th)+r*cos(-th/r-(pi/2-th)),-(1-r)*cos(th)+
r*sin(-th/r-(pi/2-th)),'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor',
'b','markerfacecolor','b')

hold off
axis equal
axis off

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas sobre el cuerpo:

Formulamos las ecuaciones del movimiento:

Teniendo en cuenta la relación entre aceleraciones, ac=αr, sumamos las dos ecuaciones para eliminar Fr

( k+1 ) d 2 s d t 2 +gsinθ=0

Para una superficie cilíndrica de radio R, la relación entre el arco s que describe el c.m. y la posición angular θ del c.m. del cuerpo que rueda es, s=(R-r)θ. La ecuación diferencial del movimiento es

( k+1 )( Rr ) d 2 θ d t 2 +gsinθ=0

Ecuaciones de Lagrange

La energía cinética del cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masa, con velocidad vc y la energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con velocidad angular dφ/dt

E k = 1 2 m ( ds dt ) 2 + 1 2 ( k·m r 2 ) ( dφ dt ) 2 = 1 2 m( k+1 ) ( ds dt ) 2 = 1 2 m( k+1 ) ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2

La energía potencial, tomando como nivel cero, el eje de la superficie cilíndica es, -mg(R-r)cosθ

La lagrangiana L=Ek-Ep es

L= 1 2 m( k+1 ) ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +mg( Rr )cosθ

La ecuación del movimiento se obtiene

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0

El resultado es

m( k+1 ) ( Rr ) 2 d 2 θ d t 2 +mg( Rr )sinθ=0 ( k+1 )( Rr ) d 2 θ d t 2 +gsinθ=0

Cuando las oscilaciones son de amplitud pequeña, hacemos la aproximación, sinθ≈θ

El cuerpo que rueda sobre la superficie cilíndrica, describe aproximadamente un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular ω o periodo P=2π/ω

ω 2 = g ( k+1 )( Rr )

Superficie cóncava cualesquiera

En la figura, se muestra la curva C’ sobre la que rueda el cuerpo redondo de radio r y la curva C que describe el centro de dicho cuerpo. La variable u mide el desplazamiento OP a lo largo de la curva C’. Mientras el c.m. se desplaza s a lo largo de la curva C, el cuerpo gira un ángulo φ.

El ángulo θ mide la pendiente de la recta tangente a la curva C’ en P

Movimiento de rotación y traslación del c.m.

En la figura, vemos que en un intervalo de tiempo comprendido entre los instantes t y t+dt,

Si trazamos las tangentes a la curva C’ en los puntos P y P1 y las normales a dichas direcciones, vemos que se cortan en un punto O denominado centro de curvatura, la distancia entre dicho punto y P o P1 se denomina radio de curvatura ρ.

Movimiento de traslación del cuerpo.

El ángulo que forman las rectas tangentes es igual al ángulo que forman las direcciones normales.

El arco PP1 es igual al producto del radio OP por el ángulo comprendido dθ.

du=ρ·

El arco QQ1 es igual al producto del radio OQ por el ángulo comprendido dθ.

ds=(ρ-r

Movimiento de rotación del cuerpo.

Ahora, nos fijamos en el movimiento de rotación en el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes t y t+dt

Como el cuerpo rueda sin deslizar,  la longitud del arco PP1=P1P’=du. La pendiente de la curva se ha incrementado en , el ángulo girado por el cuerpo en dicho intervalo dt de tiempo es

dφ= P 1 P' r dθ= du r dθ

Eliminando , tenemos las relaciones

ds=( 1 r ρ )dudφ= ds r

Teniendo en cuenta esta última relación dφ=ds/r, la ecuación del movimiento del cuerpo que rueda se obtiene eliminando Fr, es decir, sumando la ecuación del movimiento de traslación del c.m. y la de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

( k+1 ) d 2 s d t 2 +gsinθ=0

La trayectoria del centro de masas

Vamos a demostrar que cuando la trayectoria del centro de masas es una cicloide, el cuerpo que rueda sin deslizar describe un MAS.

El c.m. describe un Movimiento Armónico Simple (MAS) si la aceleración d2s/dt2 es proporcional al desplazamiento s y de signo contrario a éste. Si escribimos

sinθ= s 4R

donde R es una constante con dimensiones de longitud que no es el radio r del cuerpo como veremos más adelante. El c.m. describe un MAS

d 2 s d t 2 + g 4R(k+1) s=0

de frecuencia angular y periodo

ω 2 = g 4R(k+1) P=2π 4R(k+1) g

Para una esfera k=2/5

P=4π 7R 5g

Ecuación de la trayectoria C del centro de masas

s=4R·sinθ
ds
=4R·cosθ·dθ

dx=ds·cosθ=4Rcos2θ·dθ=2R(1+cos2θ)·dθ
dy
=ds·sinθ=4R·sinθ·cosθ·dθ=2R·sin2θ·dθ

Integrando x e y con las condiciones iniciales θ=0, x=0, y=r.

x=R(2θ+sin2θ)
y=r+ R
(1-cos2θ)

Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide

Ecuación de la curva C' sobre la que que rueda el cuerpo

ds=4R·cosθ·dθ. De la relación entre ds y du y como du=ρ·dθ

( 1 r ρ )du=4Rcosθ·dθ ( 1 r ρ )ρ·dθ=4Rcosθ·dθ

Obtenemos el valor del radio de curvatura ρ

ρ=r+4cosθ

La relación entre el desplazamiento infinitesimal du del punto P y la pendiente θ es

du=(r+4cosθdθ

dx’=du·cosθ=(r·cosθ+4cos2θdθ=(r·cosθ+2(1+cos2θ))·
dy’
=du·sinθ=(r·sinθ+4 sinθ·cosθ=(r·sinθ+2 sin2θ

Integrando x’ e y’ con las condiciones iniciales θ=0, x=0, y=0.

x’=r·sinθ+R(2θ+sin2θ)
y’=r
(1-cosθ)+ R(1-cos2θ)

Esta no es la ecuación de una cicloide salvo que r→0

Representamos la pista y la trayectoria del centro de masas, una cicloide, utilizando código MATLAB

R=1;
r=0.25; %radio del cuerpo que rueda
hold on
fplot(@(t) r*sin(t)+R*(2*t+sin(2*t)), @(t) r*(1-cos(t))+R*(1-cos(2*t)),
[-pi/2,pi/2], 'linewidth',1.5, 'color','k') %pista
fplot(@(t) R*(2*t+sin(2*t)), @(t) r+R*(1-cos(2*t)),[-pi/2,pi/2]) %trayectoria c.m.
   
hold off
axis off
axis equal

Comprobación

En la figura, vemos que al punto P(x’, y’) es un punto de la curva C’ le corresponde el punto Q(x, y) de la curva C. La relación entre x’ y x, y entre y e y’ es

x=x’-r·sinθ
y=y’
+ r·cosθ

La curva C que describe el c.m. es una cicloide invertida (-π/2<θ< π/2) cuyo mínimo está en (0, r) y cuyo disco generador tiene un radio R. Sin embargo, la curva C’ sobre la que rueda el cuerpo no es una cicloide salvo que el radio del cuerpo sea r=0.

Movimiento Armónico Simple

Cuando un cuerpo describe un MAS su desplazamiento (en este caso el arco s) se expresa en función del tiempo de acuerdo con la ecuación.

s=A·sin(ω t+φ )

vc=ω s0·cos(ω t+φ)

Donde la amplitud A y la fase inicial φ se determina a partir de las condiciones iniciales, en nuestro caso t=0, s=s0, vc=0. La rueda parte de la posición s0 con velocidad inicial cero.

s=s0·sin(ω t+π/2)=s0·cos(ω ·t)

La velocidad vc del c.m. de la rueda se obtendrá derivando s respecto del tiempo

vc=-ω s0·sin(ω t)

Balance energético

El balance energético es similar al que efectuamos al estudiar el movimiento de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado.

Cuando la rueda se encuentra en la posición dada por el arco s a lo largo de la cicloide, o a una altura y sobre el origen. La energía potencial es

E p =mgy=mgR(1cos2θ)=2mgR sin 2 θ= mg 8R s 2 E p = mg 8R s 0 2 cos 2 (ωt)

La energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por c.m.

E k = 1 2 m v c 2 + 1 2 I c ω 2 = 1 2 m(k+1) ω 2 s 0 2 sin 2 (ωt)= mg 8R s 0 2 sin 2 (ωt)

donde se ha tenido en cuenta la relación entre ambas velocidades vc=ω ·r para que ruede sin deslizar.

La suma de la energía cinética Ek y potencial Ep es constante e igual a

E= E k + E p = mg 8R s 0 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos como el cuerpo rueda sin deslizar por un camino en forma de cicloide. La ecuación del movimiento es

s=s0·cos(ω ·t)

Donde s es la longitud del arco de cicloide y ω la frecuencia angular del MAS

En la parte superior, se muestra el balance energético en un diagrama en forma de tarta. La energía potencial Ep y la energía cinética Ek como suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.


Braquistócrona en el campo gravitatorio terreste

En la página titulda Braquistócrona en el campo gravitatorio terreste, tratamos de encontrar la curva que hace que una partícula que cae bajo la acción de la gravedad, emplee un tiempo mínimo en recorrerla. Utilizaremos el cálculo de variaciones para obtener la ecuación de la curva que como vimos es una cicloide

En este apartado, se estudia un ejemplo similar. El centro de masas de una esfera que rueda sin deslizar bajo la acción de su peso, describe una cicloide.

Trayectoria del centro de la esfera

En la figura vemos una esfera de masa m y radio r que rueda sin deslizar a lo largo una pista de color azul paralela a la trayectoria del centro de la esfera (en color rojo). Vamos a demostrar que esta trayectoria del c.m. es una cicloide, pero la pista no lo es.

El centro de la esfera parte del reposo cuando coincide con el origen. Cuando el centro ha descendido una altura y, la velocidad de traslación del c.m. es v y la velocidad de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m. es v/r. La conservación de la energía se escribe

1 2 m v 2 + 1 2 ( 2 5 m r 2 ) v 2 r 2 mgy=0 v= 10 7 gy

El tiempo que tarda el centro de la esfera en desplazarse de A a B es

I(y)= A B dt= A B ds v = 7 10g A B 1+ y ˙ 2 dx y

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange a la función f que no depende de x

f(x,y, y ˙ )= 1+ y ˙ 2 y

se obtiene las ecuaciones paramétricas de la curva denominada cicloide

{ x=R(φsinφ) y=R(1cosφ)

La pista sobre la que rueda la esfera

En la figura, vemos que en un intervalo de tiempo comprendido entre los instantes t y t+dt,

Si trazamos las tangentes a la curva C’ en los puntos P y P1 y las normales a dichas direcciones, vemos que se cortan en un punto O denominado centro de curvatura, la distancia entre dicho punto y P o P1 se denomina radio de curvatura ρ.

El ángulo que forman las rectas tangentes es igual al ángulo que forman las direcciones normales.

El arco PP1 es igual al producto del radio OP por el ángulo comprendido dθ.

du=ρ·

El arco QQ1 es igual al producto del radio OQ por el ángulo comprendido dθ.

ds=(ρ-r

La longitud del arco ds entre Q y Q1 es

ds= d x 2 +d y 2 = R 2 ( 1cosφ ) 2 d φ 2 + R 2 sin 2 φd φ 2 =2Rsin( φ 2 )dφ tanθ= dy dx = Rsinφ·dφ R( 1cosφ )dφ = 1 tan( φ 2 ) θ= π 2 φ 2

La longitud del arco du entre P y P1 es

du=ds+rdθ=2Rsin( φ 2 )dφ+ r 2 dφ

Sus componentes son

dx'=cosθ·du=cos( π 2 φ 2 )du=sin( φ 2 )du=( R( 1cosφ )+ r 2 sin( φ 2 ) )dφ dy'=sinθ·du=sin( π 2 φ 2 )du=cos( φ 2 )du=( Rsinφ+ r 2 cos( φ 2 ) )dφ

Integramos respecto del parámetro φ

x'=R( φsinφ )rcos( φ 2 )+ c 1 y'=Rcosφ+rsin( φ 2 )+ c 2

Se determinan las constantes c1 y c2 sabiendo que para φ=0, x'=-r e y'=0

Las ecuaciones paramétricas de la pista sobre la que rueda la esfera son

{ x'=R( φsinφ )rcos( φ 2 ) y'=R( 1cosφ )+rsin( φ 2 )

Vamos a determinar el valor del parámetro R para que el centro de la esfera pase por el punto (x1, y1). Para ello, hay que calcular la raíz φ1 de la ecuación trascendente

y 1 x 1 = R( 1cos φ 1 ) R( φsin φ 1 )

Conocidos y1 y φ1 calculamos R,

R= y 1 1cos φ 1

Calculamos el parámetro R de la trayectoria del centro de la esfera, sabiendo que pasa por el punto (x1=2, y1=1). Representamos la trayectoria del c.m. y la pista sobre la que rueda sin deslizar una esfera de radio r=0.25

x1=2; %punto
y1=1;
r=0.25; %radio
hold on
f=@(x) (1-cos(x))/(x-sin(x))-y1/x1;
phi=fzero(f,pi);
R=y1/(1-cos(phi)); %parámetro R
ang=(1:360)*pi/180; %esfera
fill(x1+r*cos(ang),y1+r*sin(ang),'c') %la Tierra
%cicloide
fplot(@(th) R*(th-sin(th)),@(th) R*(1-cos(th)),[0,2*pi])
%pista
fplot(@(th) R*(th-sin(th))-r*cos(th/2),@(th) R-R*cos(th)+r*sin(th/2),[0,2*pi])
plot(x1,y1,'o','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
set (gca,'Ydir','reverse')
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Esfera que rueda')

Tiempo que tarda la esfera en discribir un arco de cicloide

Supongamos que la esfera parte del reposo desde el punto A (x0, y0), vamos a calcular el tiempo que tarda en llegar al punto B

El principio de conservación de la energía se escribe

mg y 0 = 1 2 m v 2 + 1 2 ( 2 5 m r 2 ) v 2 r 2 mgy v= 10 7 g(y y 0 )

Calculamos el tiempo T que tarda en desplazarse entre dos puntos A y B

T= A B ds v = 7 10g A B 1+ y ˙ 2 dx y y 0 T= 7 10g A B 1+ ( sinφ 1cosφ ) 2 R( 1cosφ )dφ R( 1cosφ )R( 1cos φ 0 ) = 7R 10g A B 2sin( φ 2 ) cos φ 0 cosφ dφ= 7R 10g A B 2sin( φ 2 ) 2 cos 2 ( φ 0 /2 )2 cos 2 ( φ/2 ) dφ

Haciendo el cambio z=cos(φ/2)/cos(φ0/2)

T=2 7R 5g A B dz 1 z 2 dz= 2 7R 5g arccos( cos( φ/2 ) cos( φ 0 /2 ) ) | φ 0 φ = 2 7R 5g arccos( cos( φ/2 ) cos( φ 0 /2 ) )

Si A es el origen φ0=0 y si B es el punto (x1, y1), calculamos la raíz φ1 de la ecuación trascendente y después, el parámetro R, tal como hemos hecho anteriormente

El tiempo T que tarda en llegar la partícula al punto B describiendo un arco de cicloide, partiendo del origen en reposo es

T= 7R 5g φ 1

x1=2; %punto
y1=1;
r=0.25; %radio
f=@(x) (1-cos(x))/(x-sin(x))-y1/x1;
phi=fzero(f,pi);
R=y1/(1-cos(phi)); %parámetro R
T=sqrt(7*R/(5*9.8))*phi; %tiempo
disp(T);
   0.9536

El periodo de la oscilación es 4 veces el tiempo que tarda en ir de A, φ0=0 a B, φ1=π (punto más bajo de la trayectoria)

P=4π 7R 5g

Que es el resultado obtenido en el primer apartado

Referencias

Gillespie D. T. Simple harmonic motion of a round body rolling on a concave curve. Am. J. Phys. 52 (2) February 1984, pp. 180-182.

Eric Rodgers. Brachistochrone and Tautochrone Curves for Rolling Bodies. Am. J. Phys. 1946, pp. 249-252