Oscilaciones de un cuerpo que rueda sobre superficie cóncava.

En la figura, se muestra la curva C’ sobre la que rueda el cuerpo redondo de radio r y la curva C que describe el centro de dicho cuerpo. La variable u mide la distancia OP a lo largo de la curva C’. Mientras el c.m. se desplaza s a lo largo de la curva C, el cuerpo gira un ángulo φ.

El ángulo θ mide la pendiente de la recta tangente a la curva C’ en P

La ecuación del movimiento

Las fuerzas sobre el cuerpo:

Formulamos las ecuaciones del movimiento

Fr·r=Ic·α

Para un cuerpo redondo (aro, cilindro o esfera) de masa m y de radio r y cuyo momento de inercia Ic=k·mr2 siendo k=1 para un cuerpo en forma de un aro, k=1/2 para un cilindro o disco, y k=2/5 para una esfera.

ac+krα=-g·sinθ

Finalmente, nos queda la condición de que el cuerpo rueda sin deslizar, que como demostraremos más adelante es

ac=α·r

Movimiento de rotación y traslación del c.m.

En la figura, vemos que en un intervalo de tiempo comprendido entre los instantes t y t+dt,

Si trazamos las tangentes a la curva C’ en los puntos P y P1 y las normales a dichas direcciones, vemos que se cortan en un punto O denominado centro de curvatura, la distancia entre dicho punto y P o P1 se denomina radio de curvatura ρ.

Movimiento de traslación del cuerpo.

El ángulo que forman las rectas tangentes es igual al ángulo que forman las direcciones normales.

El arco PP1 es igual al producto del radio OP por el ángulo comprendido dθ.

du=ρ·

El arco QQ1 es igual al producto del radio OQ por el ángulo comprendido dθ.

ds=(ρ-r

Movimiento de rotación del cuerpo.

Ahora, nos fijamos en el movimiento de rotación en el intervalo de tiempo comprendido entre los instantes t y t+dt

Como el cuerpo rueda sin deslizar,  la longitud del arco PP1=P1P’=du. Como la pendiente de la curva se ha incrementado en , el ángulo girado por el cuerpo en dicho intervalo dt de tiempo es

dφ= P 1 P' r dθ= du r dθ

Eliminando , tenemos las relaciones

ds=( 1 r ρ )dudφ= ds r

Esta última, es equivalente a la relación entre aceleraciones ac=α·r

Escribimos la ecuación del movimiento en forma diferencial: ac=d2s/dt2, α=d2φ/dt2

d 2 s d t 2 +kr d 2 φ d t 2 =gsinθ d 2 s d t 2 + g k+1 sinθ=0

Movimiento sobre una superficie cilíndrica

Supongamos una esfera k=2/5, de radio r que reueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. La relación entre el desplazamiento del centro de masa s y el ángulo θ es, s=(R-rθ

La ecuación diferencial del movimiento es

(Rr) d 2 θ d t 2 + 5 7 gsinθ=0 d 2 θ d t 2 + 5 7 g Rr sinθ=0

Cuando el ángulo θ es pequeño, sinθθ. La esfera describe aproximadamente un MAS de frecuencia angular

ω 2 = 5 7 g Rr

La trayectoria del centro de masas es una cicloide

Vamos a demostrar que cuando la trayectoria del centro de masas es una cicloide, el cuerpo que rueda sin deslizar describe un MAS.

El c.m. describe un Movimiento Armónico Simple (MAS) si la aceleración d2s/dt2 es proporcional al desplazamiento s y de signo contrario a éste. Si escribimos

sinθ= s 4R

donde R es una constante con dimensiones de longitud que no es el radio r del cuerpo como veremos más adelante. El c.m. describe un MAS

d 2 s d t 2 + g 4R(k+1) s=0

de frecuencia angular y periodo

ω 2 = g 4R(k+1) P=2π 4R(k+1) g

Ecuación de la trayectoria C del centro de masas

s=4R·sinθ
ds
=4R·cosθ·dθ

dx=ds·cosθ=4Rcos2θ·dθ=2R(1+cos2θ)·dθ
dy
=ds·sinθ=4R·sinθ·cosθ·dθ=2R·sin2θ·dθ

Integrando x e y con las condiciones iniciales θ=0, x=0, y=r.

x=R(2θ+sin2θ)
y=r+ R
(1-cos2θ)

Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide

Ecuación de la curva C' sobre la que que rueda el cuerpo

ds=4R·cosθ·dθ. De la relación entre ds y du y como du=ρ·dθ

( 1 r ρ )du=4Rcosθ·dθ ( 1 r ρ )ρ·dθ=4Rcosθ·dθ

Obtenemos el valor del radio de curvatura ρ

ρ=r+4cosθ

La relación entre el desplazamiento infinitesimal du del punto P y la pendiente θ es

du=(r+4cosθdθ

dx’=du·cosθ=(r·cosθ+4cos2θdθ=(r·cosθ+2(1+cos2θ))·
dy’
=du·sinθ=(r·sinθ+4 sinθ·cosθ=(r·sinθ+2 sin2θ

Integrando x’ e y’ con las condiciones iniciales θ=0, x=0, y=0.

x’=r·sinθ+R(2θ+sin2θ)
y’=r
(1-cosθ)+ R(1-cos2θ)

Esta no es la ecuación de una cicloide salvo que r→0

Comprobación

En la figura, vemos que al punto P(x’, y’) es un punto de la curva C’ le corresponde el punto Q(x, y) de la curva C. La relación entre x’ y x, y entre y e y’ es

x=x’-r·sinθ
y=y’
+ r·cosθ

La curva C que describe el c.m. es una cicloide invertida (-π/2<θ< π/2) cuyo mínimo está en (0, r) y cuyo disco generador tiene un radio R. Sin embargo, la curva C’ sobre la que rueda el cuerpo sin deslizar no es una cicloide salvo que el radio del cuerpo sea r=0.

Movimiento Armónico Simple

Cuando un cuerpo describe un MAS su desplazamiento (en este caso el arco s) se expresa en función del tiempo de acuerdo con la ecuación.

s=A·sin(ω t+φ )

vc=ω s0·cos(ω t+φ)

Donde la amplitud A y la fase inicial φ se determina a partir de las condiciones iniciales, en nuestro caso t=0, s=s0, vc=0. La rueda parte de la posición s0 con velocidad inicial cero.

s=s0·sin(ω t+π/2)=s0·cos(ω ·t)

La velocidad vc del c.m. de la rueda se obtendrá derivando s respecto del tiempo

vc=-ω s0·sin(ω t)

Balance energético

El balance energético es similar al que efectuamos al estudiar el movimiento de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado.

Cuando la rueda se encuentra en la posición dada por el arco s a lo largo de la cicloide, o a una altura y sobre el origen. La energía potencial es

E p =mgy=mgR(1cos2θ)=2mgR sin 2 θ= mg 8R s 2 E p = mg 8R s 0 2 cos 2 (ωt)

La energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por c.m.

E k = 1 2 m v c 2 + 1 2 I c ω 2 = 1 2 m(k+1) ω 2 s 0 2 sin 2 (ωt)= mg 8R s 0 2 sin 2 (ωt)

donde se ha tenido en cuenta la relación entre ambas velocidades vc=ω ·r para que ruede sin deslizar.

La suma de la energía cinética Ek y potencial Ep es constante e igual a

E= E k + E p = mg 8R s 0 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos como el cuerpo rueda sin deslizar por un camino en forma de cicloide. La ecuación del movimiento es

s=s0·cos(ω ·t)

Donde s es la longitud del arco de cicloide y ω la frecuencia angular del MAS

En la parte superior, se muestra el balance energético en un diagrama en forma de tarta. La energía potencial Ep y la energía cinética Ek como suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.


Referencias

Gillespie D. T. Simple harmonic motion of a round body rolling on a concave curve. Am. J. Phys. 52 (2) February 1984, pp. 180-182.