Movimiento de un disco que gira y desliza sobre una superficie plana y horizontal

El centro de masas de un aro o un disco se traslada con velocidad v y gira alrededor alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro con velocidad angular ω, tal como vemos en la figura

Supongamos que las velocidades iniciales en el instante t=0, son v0 y ω0, respectivamente. Calculamos las velocidades v y ω, la posición x del c.m. y el ángulo girado θ en el instante t.

Ecuaciones del movimiento del aro

Recordaremos que

Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie horizontal. La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es F=μN, con N=mg

Comenzamos nuestro estudio con un aro de masa ma y de radio R, como etapa previa antes de abordar el disco. El centro del aro se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.

El vector velocidad de un punto P cuya posición angular es θ,

vp=(v-ωRsinθ)i+(ωRcosθ)j

La fuerza de rozamiento dF que actúa sobre un elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad v, y de sentido contrario.

dF=μ·dm·g v p v p

Si ma es la masa del aro, la masa dm del elemento de longitud R·dθ, es dm=ma·dθ/(2π)

Resultantes de las fuerzas que actúan sobre el aro

Las componentes del vector fuerza dF sobre dicho elemento son

d F x = m a 2π μg vωRsinθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ dθ d F y = m a 2π μg ωRcosθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ dθ

Las componentes de la fuerza resultante sobre el aro son

F x = m a 2π μg 0 2π vωRsinθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ dθ F y = m a 2π μg 0 2π ωRcosθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ dθ

Por simetría Fy=0, lo que se confirma resolviendo la segunda integral.

Ecuación del movimiento del centro de masas del aro

m a dv dt = F x dv dt = μg 2π 0 2π vωRsinθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ dθ

Momento de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto de su centro.

dM=R×dF=R×( μ·dm·g v v )=μ·dm·g( Rcosθi+Rsinθj )× ( vωRsinθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ i+ ωRcosθ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ j )= μ·dm·g( ω R 2 cos 2 θ v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ Rsinθ(vωRsinθ) v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ )k= m a 2π μg( R(ωRvsinθ) v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ )dθ·k

El momento total de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto del centro es

M= m a 2π μg 0 2π ( R(ωRvsinθ) v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ )dθ

Su dirección es la del eje de rotación (ejeZ), y su sentido es contrario al de la velocidad angular ωdel aro.

Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=ma·R2 es el momento de inercia del aro.

dω dt = μg 2π R 2 0 2π ( R(ωRvsinθ) v 2 + ω 2 R 2 2vωRsinθ )dθ

Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del aro, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

d 2 x d t 2 = μg 2π f(v,ω)v= dx dt d 2 φ d t 2 = μg 2π R 2 g(v,ω)ω= dφ dt

Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales para cada valor de v y ω.

Casos particulares

Ecuaciones del movimiento del disco

Sea un disco de masa md y de radio R. El centro del disco se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.

El vector velocidad de un punto P que dista r del centro y cuya posición angular es θ, es

vp=(v-ωrsinθ)i+(ωrcosθ)j

La fuerza de rozamiento dF que actúa sobre el elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad v, y de sentido contrario.

dF=μ·dm·g v p v p

Si md es la masa del disco, la masa dm contenida en el elemento de área (r·dθ)dr, es dm=md·r·dθ·dr/(πR2)

Resultante de las fuerzas que actúan sobre el disco

Las componentes del vector dF sobre dicho elemento son

d F x = m d π R 2 μg vωrsinθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ rdθ·dr d F y = m d π R 2 μg ωrcosθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ rdθ·dr

Las componentes de la fuerza resultante sobre el disco son

F x = m d π R 2 μg 0 2π dθ 0 R vωrsinθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ rdr F y = m d π R 2 μg 0 2π dθ 0 R ωrcosθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ rdr

Por simetría Fy=0.

Ecuación del movimiento del centro de masas del disco

m a dv dt = F x dv dt = μg π R 2 0 2π dθ 0 R vωrsinθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ rdr

Momento de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto de su centro.

dM=r×dF=r×( μ·dm·g v v )=μ·dm·g( rcosθi+rsinθj )× ( vωrsinθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ i+ ωrcosθ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ j )= μ·dm·g( ω r 2 cos 2 θ v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ Rsenθ(vωrsinθ) v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ )k= m d π R 2 μg( r(ωrvsinθ) v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ )r·dθ·dr·k

El momento total de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto del centro es

M= m d π R 2 μg 0 2π dθ 0 R ( r 2 (ωrvsinθ) v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ ) dr

Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=(1/2)md·R2 es el momento de inercia del disco.

dω dt = 2μg π R 4 0 2π dθ 0 R ( r 2 (ωrvsinθ) v 2 + ω 2 r 2 2vωrsinθ ) dr

Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del disco, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

d 2 x d t 2 = μg π R 2 f(v,ω)v= dx dt d 2 φ d t 2 = 2μg π R 4 g(v,ω)ω= dφ dt

Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales dobles para cada valor de v y ω.

Casos particulares

Ejemplo

Aro

Disco

Aro

Disco

Aro

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Cuando la velocidad inicial v0 de traslación del c.m. y la velocidad inicial de rotación ω0, son distintas de cero, el programa interactivo realiza un cálculo numérico intensivo. En el caso del disco, las operaciones a realizar son más de cuatro veces las que se efectúan con el aro. Para este sólido y para ciertos valores de ω0>v0 el programa produce un error, desconociéndose en este momento su origen.



Referencias

Voyenli K., Eriksen E. On the motion of an ice puck. Am. J. Phys. 53 (12) December 1985, pp. 1149-1153