El centro de masas de un aro o un disco se traslada con velocidad v y gira alrededor alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro con velocidad angular ω, tal como vemos en la figura

Supongamos que las velocidades iniciales en el instante t=0, son v₀ y ω₀, respectivamente. Calculamos las velocidades v y ω, la posición x del c.m. y el ángulo girado θ en el instante t.

Ecuaciones del movimiento del aro

Recordaremos que

Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie horizontal. La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es F=μN, con N=mg

Comenzamos nuestro estudio con un aro de masa m_a y de radio R, como etapa previa antes de abordar el disco. El centro del aro se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.

El vector velocidad de un punto P cuya posición angular es θ,

${\displaystyle \overrightarrow{v_p}=(v-\omega R\sin \theta )\widehat{i}+(\omega R\cos \theta )\widehat{j}}$

La fuerza de rozamiento $\overrightarrow{dF}$ que actúa sobre un elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad $\overrightarrow{v_p}$ , y de sentido contrario.

${\displaystyle \overrightarrow{dF}=-\mu ·dm·g\frac{\overrightarrow{v_p}}{v_p}}$

Si m_a es la masa del aro, la masa dm del elemento de longitud R·dθ, es dm=m_a·dθ/(2π)

Resultantes de las fuerzas que actúan sobre el aro

Las componentes del vector fuerza $\overrightarrow{dF}$ sobre dicho elemento son

${\displaystyle \begin{array}{l}d{F}_x=-\frac{m_a}{2\pi }\mu g\frac{v-\omega R\text{sin}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}d\theta \\ d{F}_y=-\frac{m_a}{2\pi }\mu g\frac{\omega R\text{cos}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}d\theta \end{array}}$

Las componentes de la fuerza resultante sobre el aro son

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x=-\frac{m_a}{2\pi }\mu g{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{v-\omega R\text{sin}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}d\theta }\\ F_y=-\frac{m_a}{2\pi }\mu g{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\omega R\text{cos}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}d\theta }\end{array}}$

Por simetría F_y=0, lo que se confirma resolviendo la segunda integral.

Ecuación del movimiento del centro de masas del aro

${\displaystyle \begin{array}{l}{m}_a\frac{dv}{dt}=F_x\\ \frac{dv}{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{v-\omega R\text{sin}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}d\theta }\end{array}}$

Momento de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto de su centro.

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{dM}=\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{dF}=\overrightarrow{R}\times \left(-\mu ·dm·g\frac{\overrightarrow{v}}{v}\right)=-\mu ·dm·g(R\cos \theta ·\widehat{i}+R\sin \theta \widehat{·j})\times \hfill \\ \left(\frac{v-\omega R\sin \theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\sin \theta }}\widehat{i}+\frac{\omega R\cos \theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\sin \theta }}\widehat{j}\right)=\hfill \\ -\mu ·dm·g\left(\frac{\omega R^2{\cos }^2\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\sin \theta }}-\frac{R\sin \theta (v-\omega R\sin \theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\sin \theta }}\right)\widehat{k}=\hfill \\ -\frac{m_a}{2\pi }\mu g\left(\frac{R(\omega R-v\sin \theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\sin \theta }}\right)d\theta ·\widehat{k}\hfill \end{array}}$

El momento total de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto del centro es

${\displaystyle M=-\frac{m_a}{2\pi }\mu g{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(\frac{R(\omega R-v\text{sin}\theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}\right)d\theta }}$

Su dirección es la del eje de rotación (ejeZ), y su sentido es contrario al de la velocidad angular ωdel aro.

Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=m_a·R² es el momento de inercia del aro.

${\displaystyle \frac{d\omega }{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi R^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(\frac{R(\omega R-v\text{sin}\theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2-2v\omega R\text{sin}\theta }}\right)d\theta }}$

Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del aro, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{\mu g}{2\pi }f(v,\omega )v=\frac{dx}{dt}\\ \frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-\frac{\mu g}{2\pi R^2}g(v,\omega )\omega =\frac{d\phi }{dt}\end{array}}$

Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales para cada valor de v y ω.

Casos particulares

• Solamente hay movimiento de traslación, ω=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dv}{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta }=-\mu g\\ \frac{d\omega }{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}-R\text{sin}\theta ·d\theta }=0\end{array}}$

El centro del aro sigue una trayectoria rectilínea. Parte con velocidad inicial v₀, va disminuyendo con el tiempo hasta que se para.

${\displaystyle v=v_0-\mu gtx=v_{0}t-\frac{1}{2}\mu g{t}^2}$

El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento x son, respectivamente

${\displaystyle t=\frac{v_0}{\mu g}x=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{\mu g}}$

• Solamente hay movimiento de rotación, v=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dv}{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}-\text{sin}\theta ·d\theta }=0\\ \frac{d\omega }{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi R^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\omega R^2}{\omega R}d\theta }=\frac{-\mu g}{R}\end{array}}$

El centro del aro permanece en reposo. Gira alrededor del eje perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro, con velocidad inicial ω₀, que va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.

${\displaystyle \omega ={\omega }_0-\frac{\mu g}{R}t\phi ={\omega }_{0}t-\frac{1}{2}\frac{\mu g}{R}{t}^2}$

El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento angular φ son, respectivamente

${\displaystyle t=\frac{{\omega }_{0}R}{\mu g}\phi =\frac{1}{2}\frac{{\omega }_0^2{R}^2}{\mu g}}$

Ejemplos

• Radio del aro, R=1 m
• Coeficiente de rozamiento, μ=0.3
• Velocidad inicial del centro del aro, v₀=5 m/s
• Velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje perpendicular al aro y que pasa por el centro, ω₀=-1 rad/s

function roza_aro
    R=1; %radio del aro
    mu=0.3; %coeficiente de rozamiento
    v0=1; %velocidades iniciales
    w0=-5;
   
    [t,x]=ode45(@e_dif,[0,2],[0,v0,0,w0]);
    hold on
    plot(t,x(:,2))
    plot(t,R*x(:,4))
    hold off
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('v,\omega');
    title('Aro que gira y desliza')

    function z=int_v(v,w,ang)
        num=v-w*R*sin(ang);
        den=sqrt(v^2+w^2*R^2-2*v*w*R*sin(ang));
        z=num./den;  
    end

    function z=int_w(v,w,ang)
        num=w*R-v*sin(ang);
        den=sqrt(v^2+w^2*R^2-2*v*w*R*sin(ang));
        z=num./den;  
    end

    function z=e_dif(~,x)
        f=@(t) int_v(x(2),x(4),t);
        dv=-mu*9.8*integral(f,0,2*pi)/(2*pi);
        g=@(t) int_w(x(2),x(4),t);
        dw=-mu*9.8*integral(g,0,2*pi)/(2*pi*R);
        z=[x(2);dv; x(4); dw]; 
    end
        
end

El aro se detiene al cabo de 1.8 s aproximadamente

Cambiamos las velocidades iniciales

• Velocidad inicial del centro del aro, v₀=1 m/s
• Velocidad angular inicial, ω₀=-5 rad/s

Ecuaciones del movimiento del disco

Sea un disco de masa m_d y de radio R. El centro del disco se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.

El vector velocidad de un punto P que dista r del centro y cuya posición angular es θ, es

${\displaystyle \overrightarrow{v_p}=(v-\omega r\sin \theta )\widehat{i}+(\omega r\cos \theta )\widehat{j}}$

La fuerza de rozamiento $\overrightarrow{dF}$ que actúa sobre el elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad $\overrightarrow{v_p}$ y de sentido contrario.

${\displaystyle \overrightarrow{dF}=-\mu ·dm·g\frac{\overrightarrow{v_p}}{v_p}}$

Si m_d es la masa del disco, la masa dm contenida en el elemento de área (r·dθ)dr, es dm=m_d·r·dθ·dr/(πR²)

Resultante de las fuerzas que actúan sobre el disco

Las componentes del vector $\overrightarrow{dF}$ sobre dicho elemento son

${\displaystyle \begin{array}{l}d{F}_x=-\frac{m_d}{\pi R^2}\mu g\frac{v-\omega r\text{sin}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}rd\theta ·dr\\ d{F}_y=-\frac{m_d}{\pi R^2}\mu g\frac{\omega r\text{cos}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}rd\theta ·dr\end{array}}$

Las componentes de la fuerza resultante sobre el disco son

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x=-\frac{m_d}{\pi R^2}\mu g{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{v-\omega r\text{sin}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}rdr}}\\ F_y=-\frac{m_d}{\pi R^2}\mu g{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{\omega r\text{cos}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}rdr}}\end{array}}$

Por simetría F_y=0.

Ecuación del movimiento del centro de masas del disco

${\displaystyle \begin{array}{l}{m}_a\frac{dv}{dt}=F_x\\ \frac{dv}{dt}=-\frac{\mu g}{\pi R^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{v-\omega r\text{sin}\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}rdr}}\end{array}}$

Momento de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto de su centro.

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{dM}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{dF}=\overrightarrow{r}\times \left(-\mu ·dm·g\frac{\overrightarrow{v}}{v}\right)=-\mu ·dm·g(r\cos \theta ·\widehat{i}+r\sin \theta ·\widehat{j})\times \hfill \\ \left(\frac{v-\omega r\sin \theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\sin \theta }}\widehat{i}+\frac{\omega r\cos \theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\sin \theta }}\widehat{j}\right)=\hfill \\ -\mu ·dm·g\left(\frac{\omega r^2{\cos }^2\theta }{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\sin \theta }}-\frac{R\sin \theta (v-\omega r\sin \theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\sin \theta }}\right)\widehat{k}=\hfill \\ -\frac{m_d}{\pi R^2}\mu g\left(\frac{r(\omega r-v\sin \theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\sin \theta }}\right)r·d\theta ·dr·\widehat{k}\hfill \end{array}}$

El momento total de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto del centro es

${\displaystyle M=-\frac{m_d}{\pi R^2}\mu g{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\left(\frac{r^2(\omega r-v\text{sin}\theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}\right)}}dr}$

Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=(1/2)m_d·R² es el momento de inercia del disco.

${\displaystyle \frac{d\omega }{dt}=-\frac{2\mu g}{\pi R^4}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\left(\frac{r^2(\omega r-v\text{sin}\theta )}{\sqrt{v^2+{\omega }^2{r}^2-2v\omega r\text{sin}\theta }}\right)}}dr}$

Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del disco, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{\mu g}{\pi R^2}f(v,\omega )v=\frac{dx}{dt}\\ \frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-\frac{2\mu g}{\pi R^4}g(v,\omega )\omega =\frac{d\phi }{dt}\end{array}}$

Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales dobles para cada valor de v y ω.

Casos particulares

• Solamente hay movimiento de traslación, ω=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dv}{dt}=-\frac{\mu g}{\pi R^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}r·dr}}=-\mu g\\ \frac{d\omega }{dt}=-\frac{2\mu g}{\pi R^4}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^2(-\text{sin}\theta )}dr}=0\end{array}}$

El centro del disco sigue una trayectoria rectilínea. Parte con velocidad inicial v₀, va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.

${\displaystyle v=v_0-\mu gtx=v_{0}t-\frac{1}{2}\mu g{t}^2}$

El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento x son, respectivamente

${\displaystyle t=\frac{v_0}{\mu g}x=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{\mu g}}$

• Solamente hay movimiento de rotación, v=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dv}{dt}=-\frac{\mu g}{2\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}-r\text{sin}\theta ·dr}}=0\\ \frac{d\omega }{dt}=-\frac{2\mu g}{\pi R^4}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta {\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^{2}dr}=\frac{-4\mu g}{3R}}\end{array}}$

El centro del disco permanece en reposo. Gira alrededor del eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro, con velocidad inicial ω₀, que va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.

${\displaystyle \omega ={\omega }_0-\frac{4\mu g}{3R}t\phi ={\omega }_{0}t-\frac{1}{2}\frac{4\mu g}{3R}{t}^2}$

El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento angular φ son, respectivamente

${\displaystyle t=\frac{3{\omega }_{0}R}{4\mu g}\phi =\frac{3}{8}\frac{{\omega }_0^2{R}^2}{\mu g}}$

Ejemplos

• Radio del aro, R=1 m
• Coeficiente de rozamiento, μ=0.3
• Velocidad inicial del centro del aro, v₀=5 m/s
• Velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje perpendicular al aro y que pasa por el centro, ω₀=-1 rad/s

function roza_disco
    R=1; %radio del disco
    mu=0.3; %coeficiente de rozamiento
    v0=5; %velocidades iniciales
    w0=-1;
    
    [t,x]=ode45(@e_dif,[0,2],[0,v0,0,w0]);
    hold on
    plot(t,x(:,2))
    plot(t,R*x(:,4))
    hold off
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('v,\omega');
    title('Disco que gira y desliza')

    function z=int_v(v,w,ang,r)
        num=(v-w*r.*sin(ang)).*r;
        den=sqrt(v^2+w^2*r.^2-2*v*w*r.*sin(ang));
        z=num./den;  
    end

    function z=int_w(v,w,ang,r)
        num=(w*r-v*sin(ang)).*r.^2;
        den=sqrt(v^2+w^2*r.^2-2*v*w*r.*sin(ang));
        z=num./den;  
    end

    function z=e_dif(~,x)
        f=@(ang,r) int_v(x(2),x(4),ang,r);
        dv=-mu*9.8*integral2(f,0,2*pi,0,R)/(pi*R^2);
        g=@(ang,r) int_w(x(2),x(4),ang,r);
        dw=-2*mu*9.8*integral2(g,0,2*pi,0,R)/(pi*R^4);
        z=[x(2);dv; x(4); dw]; 
    end
        
end

Nota: le lleva un tiempo (varios minutos) al ordenador realizar estos cálculos

El disco se detiene al cabo de 1.7 s aproximadamente

Cambiamos las velocidades iniciales

• Velocidad inicial del centro del aro, v₀=1 m/s
• Velocidad angular inicial, ω₀=-5 rad/s

Resultados

• Coeficiente de rozamiento μ=0.3 entre el aro o disco y el plano horizontal sobre el que deslizan.

• El radio del aro o del disco es R=1 m.

Aro

• Velocidad inicial de traslación del c.m. v₀=5 m/s

• Velocidad inicial de rotación ω₀=0

La aceleración constante es – μ·g=-2.94 m/s²
El tiempo que tarda en parase es t=5/2.94=1.70 s
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo es x=4.25 m

Disco

Para el disco se obtienen los mismos resultados

Aro

• Velocidad inicial de traslación del c.m.,v₀=0

• Velocidad inicial de rotación, ω₀=1 rad/s

La aceleración angular constante es – μ·g/R=-2.94 m/s²
El tiempo que tarda en parase es t=1.0/2.94=0.34 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=0.17 rad

Disco

La aceleración angular constante es – 4μ·g/(3R)=-3.92 m/s²
El tiempo que tarda en parase es t=1/3.92=0.26 s
El ángulo girado por el disco en este tiempo es φ=0.13 rad

Aro

• Velocidad inicial de traslación del c.m., v₀=5 m/s

• Velocidad inicial de rotación, ω₀=1 rad/s

El tiempo que tarda en parase es t=1.78 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=1.15 rad
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo es x=4.34 m

• Velocidad inicial de traslación del c.m., v₀=1 m/s

• Velocidad inicial de rotación, ω₀=5 rad/s

El tiempo que tarda en parase es t=1.78 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=4.34 rad
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo es x=1.15 m

Actividades

Se introduce

• El cuerpo que desliza: aro o disco, activando el botón de radio correspondiente

• La velocidad inicial de traslación v₀ del c.m., en el control titulado Velocidad traslación

• La velocidad inicial rotación ω₀, en el control titulado Velocidad rotación

• El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coef. rozamiento.

• El radio del aro o del disco se ha fijado en R=1 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Cuando la velocidad inicial v₀ de traslación del c.m. y la velocidad inicial de rotación ω₀, son distintas de cero, el programa interactivo realiza un cálculo numérico intensivo. En el caso del disco, las operaciones a realizar son más de cuatro veces las que se efectúan con el aro. Para este sólido y para ciertos valores de ω₀ y v₀ el programa produce un error, desconociéndose en este momento su origen.

Referencias

Voyenli K., Eriksen E. On the motion of an ice puck. Am. J. Phys. 53 (12) December 1985, pp. 1149-1153

Mark Denny. Comment on "On the motion of an ice puck" by K. Voyenli and E. Eriksen [Am. J. Phys. 53 (12) 1149-1153 (1985)]. Am. J. Phys. 74 (6) June 2006, pp. 554-556