Movimiento de un disco que gira y desliza sobre una superficie plana y horizontal

El centro de masas de un aro o un disco se traslada con velocidad v y gira alrededor alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro con velocidad angular ω, tal como vemos en la figura
Supongamos que las velocidades iniciales en el instante t=0, son v0 y ω0, respectivamente. Calculamos las velocidades v y ω, la posición x del c.m. y el ángulo girado θ en el instante t.
Ecuaciones del movimiento del aro

Recordaremos que
Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie horizontal. La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es F=μN, con N=mg
Comenzamos nuestro estudio con un aro de masa ma y de radio R, como etapa previa antes de abordar el disco. El centro del aro se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.
El vector velocidad de un punto P cuya posición angular es θ,
La fuerza de rozamiento que actúa sobre un elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad , y de sentido contrario.
Si ma es la masa del aro, la masa dm del elemento de longitud R·dθ, es dm=ma·dθ/(2π)
Resultantes de las fuerzas que actúan sobre el aro
Las componentes del vector fuerza sobre dicho elemento son
Las componentes de la fuerza resultante sobre el aro son
Por simetría Fy=0, lo que se confirma resolviendo la segunda integral.
Ecuación del movimiento del centro de masas del aro
Momento de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto de su centro.
El momento total de las fuerzas sobre los elementos del aro, respecto del centro es
Su dirección es la del eje de rotación (ejeZ), y su sentido es contrario al de la velocidad angular ωdel aro.
Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=ma·R2 es el momento de inercia del aro.
Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del aro, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales para cada valor de v y ω.
Casos particulares
-
Solamente hay movimiento de traslación, ω=0
-
Solamente hay movimiento de rotación, v=0
El centro del aro sigue una trayectoria rectilínea. Parte con velocidad inicial v0, va disminuyendo con el tiempo hasta que se para.
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento x son, respectivamente
El centro del aro permanece en reposo. Gira alrededor del eje perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro, con velocidad inicial ω0, que va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento angular φ son, respectivamente
Ejemplos
- Radio del aro, R=1 m
- Coeficiente de rozamiento, μ=0.3
- Velocidad inicial del centro del aro, v0=5 m/s
- Velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje perpendicular al aro y que pasa por el centro, ω0=-1 rad/s
function roza_aro R=1; %radio del aro mu=0.3; %coeficiente de rozamiento v0=1; %velocidades iniciales w0=-5; [t,x]=ode45(@e_dif,[0,2],[0,v0,0,w0]); hold on plot(t,x(:,2)) plot(t,R*x(:,4)) hold off grid on xlabel('t') ylabel('v,\omega'); title('Aro que gira y desliza') function z=int_v(v,w,ang) num=v-w*R*sin(ang); den=sqrt(v^2+w^2*R^2-2*v*w*R*sin(ang)); z=num./den; end function z=int_w(v,w,ang) num=w*R-v*sin(ang); den=sqrt(v^2+w^2*R^2-2*v*w*R*sin(ang)); z=num./den; end function z=e_dif(~,x) f=@(t) int_v(x(2),x(4),t); dv=-mu*9.8*integral(f,0,2*pi)/(2*pi); g=@(t) int_w(x(2),x(4),t); dw=-mu*9.8*integral(g,0,2*pi)/(2*pi*R); z=[x(2);dv; x(4); dw]; end end
El aro se detiene al cabo de 1.8 s aproximadamente
Cambiamos las velocidades iniciales
- Velocidad inicial del centro del aro, v0=1 m/s
- Velocidad angular inicial, ω0=-5 rad/s
Ecuaciones del movimiento del disco
Sea un disco de masa md y de radio R. El centro del disco se mueve con velocidad v, y gira alrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por el centro, con velocidad angular ω.
El vector velocidad de un punto P que dista r del centro y cuya posición angular es θ, es

La fuerza de rozamiento que actúa sobre el elemento de masa dm se opone al movimiento de dicho elemento, su dirección es la misma que la velocidad y de sentido contrario.
Si md es la masa del disco, la masa dm contenida en el elemento de área (r·dθ)dr, es dm=md·r·dθ·dr/(πR2)
Resultante de las fuerzas que actúan sobre el disco
Las componentes del vector sobre dicho elemento son
Las componentes de la fuerza resultante sobre el disco son
Por simetría Fy=0.
Ecuación del movimiento del centro de masas del disco
Momento de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto de su centro.
El momento total de las fuerzas sobre los elementos del disco, respecto del centro es
Ecuación de la dinámica de rotación I(dω/dt)=M. Donde I=(1/2)md·R2 es el momento de inercia del disco.
Para calcular la posición x y la velocidad v del centro del disco, el ángulo girado φ, y velocidad angular ω de rotación en función del tiempo t, se ha de resolver, empleando procedimientos numéricos, un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Previamente, hemos de obtener los valores de las funciones f(v, ω) y g(v, ω) calculando numéricamente las dos integrales dobles para cada valor de v y ω.
Casos particulares
-
Solamente hay movimiento de traslación, ω=0
-
Solamente hay movimiento de rotación, v=0
El centro del disco sigue una trayectoria rectilínea. Parte con velocidad inicial v0, va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento x son, respectivamente
El centro del disco permanece en reposo. Gira alrededor del eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro, con velocidad inicial ω0, que va disminuyendo con el tiempo, hasta que se para.
El tiempo t que tarda en parase y su desplazamiento angular φ son, respectivamente
Ejemplos
- Radio del aro, R=1 m
- Coeficiente de rozamiento, μ=0.3
- Velocidad inicial del centro del aro, v0=5 m/s
- Velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje perpendicular al aro y que pasa por el centro, ω0=-1 rad/s
function roza_disco R=1; %radio del disco mu=0.3; %coeficiente de rozamiento v0=5; %velocidades iniciales w0=-1; [t,x]=ode45(@e_dif,[0,2],[0,v0,0,w0]); hold on plot(t,x(:,2)) plot(t,R*x(:,4)) hold off grid on xlabel('t') ylabel('v,\omega'); title('Disco que gira y desliza') function z=int_v(v,w,ang,r) num=(v-w*r.*sin(ang)).*r; den=sqrt(v^2+w^2*r.^2-2*v*w*r.*sin(ang)); z=num./den; end function z=int_w(v,w,ang,r) num=(w*r-v*sin(ang)).*r.^2; den=sqrt(v^2+w^2*r.^2-2*v*w*r.*sin(ang)); z=num./den; end function z=e_dif(~,x) f=@(ang,r) int_v(x(2),x(4),ang,r); dv=-mu*9.8*integral2(f,0,2*pi,0,R)/(pi*R^2); g=@(ang,r) int_w(x(2),x(4),ang,r); dw=-2*mu*9.8*integral2(g,0,2*pi,0,R)/(pi*R^4); z=[x(2);dv; x(4); dw]; end end
Nota: le lleva un tiempo (varios minutos) al ordenador realizar estos cálculos
El disco se detiene al cabo de 1.7 s aproximadamente
Cambiamos las velocidades iniciales
- Velocidad inicial del centro del aro, v0=1 m/s
- Velocidad angular inicial, ω0=-5 rad/s
Resultados
-
Coeficiente de rozamiento μ=0.3 entre el aro o disco y el plano horizontal sobre el que deslizan.
-
El radio del aro o del disco es R=1 m.
Aro
-
Velocidad inicial de traslación del c.m. v0=5 m/s
-
Velocidad inicial de rotación ω0=0
La aceleración constante es – μ·g=-2.94 m/s2
El tiempo que tarda en parase es t=5/2.94=1.70
s
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo
es x=4.25 m
Disco
Para el disco se obtienen los mismos resultados
Aro
-
Velocidad inicial de traslación del c.m.,v0=0
-
Velocidad inicial de rotación, ω0=1 rad/s
La aceleración angular constante es – μ·g/R=-2.94
m/s2
El tiempo que tarda en parase es t=1.0/2.94=0.34
s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=0.17
rad
Disco
La aceleración angular constante es – 4μ·g/(3R)=-3.92
m/s2
El tiempo que tarda en parase es t=1/3.92=0.26
s
El ángulo girado por el disco en este tiempo es φ=0.13
rad
Aro
-
Velocidad inicial de traslación del c.m., v0=5 m/s
-
Velocidad inicial de rotación, ω0=1 rad/s
-
Velocidad inicial de traslación del c.m., v0=1 m/s
-
Velocidad inicial de rotación, ω0=5 rad/s
El tiempo que tarda en parase es t=1.78 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=1.15
rad
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo
es x=4.34 m
El tiempo que tarda en parase es t=1.78 s
El ángulo girado por el aro en este tiempo es φ=4.34
rad
El desplazamiento del centro del aro en este tiempo
es x=1.15 m
Actividades
Se introduce
-
El cuerpo que desliza: aro o disco, activando el botón de radio correspondiente
-
La velocidad inicial de traslación v0 del c.m., en el control titulado Velocidad traslación
-
La velocidad inicial rotación ω0, en el control titulado Velocidad rotación
-
El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coef. rozamiento.
-
El radio del aro o del disco se ha fijado en R=1 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Cuando la velocidad inicial v0 de traslación del c.m. y la velocidad inicial de rotación ω0, son distintas de cero, el programa interactivo realiza un cálculo numérico intensivo. En el caso del disco, las operaciones a realizar son más de cuatro veces las que se efectúan con el aro. Para este sólido y para ciertos valores de ω0 y v0 el programa produce un error, desconociéndose en este momento su origen.
Referencias
Voyenli K., Eriksen E. On the motion of an ice puck. Am. J. Phys. 53 (12) December 1985, pp. 1149-1153
Mark Denny. Comment on "On the motion of an ice puck" by K. Voyenli and E. Eriksen [Am. J. Phys. 53 (12) 1149-1153 (1985)]. Am. J. Phys. 74 (6) June 2006, pp. 554-556