Cilindro macizo que rueda dentro de un tubo que rueda sobre un plano horizontal.

Superficie cilíndrica fija

Un cuerpo cilíndrico de radio r rueda sin deslizar sobre la superficie interior de un tubo radio R. El centro del cuerpo describe un arco s=(R-r)θ (en color azul), mientras el cuerpo rueda una longitud u=Rθ sobre la pista (en color negro) e igual al arco de color rojo pintado sobre el cuerpo

En la figura, se señala la posición inicial del punto P del cuerpo y su posición angular en el instante t, φ=u/r-θ=Rθ/r-θ

Parte de la figura ha sido elaborada con el siguiente código

th=75*pi/180; %ángulo
r=0.25; %radio del cuerpo que rueda
hold on
%pista
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [0,2*pi], 'linewidth',1.5)
%cuerpo
ang=(1:360)*pi/180;
x1=r*cos(ang);
y1=-(1-r)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,0],[0,-1],'linestyle','--')
plot(0,0,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','k',
'markerfacecolor','k')

x1=(1-r)*sin(th)+r*cos(ang);
y1=-(1-r)*cos(th)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,sin(th)],[0,-cos(th)],'linestyle','--','color','b')
fplot(@(t) (1-r)*sin(th)+r*cos(t), @(t) -(1-r)*cos(th)+r*sin(t), 
[-th/r-(pi/2-th),-(pi/2-th)], 'linewidth',1.5, 'color','r')
fplot(@(t) (1-r)*cos(t), @(t) (1-r)*sin(t), [-pi/2,-(pi/2-th)], 
'linewidth',1,'color','b')
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [-pi/2,-(pi/2-th)], 'linewidth',1.5,
'color','k')
plot(0,-1,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
plot((1-r)*sin(th)+r*cos(-th/r-(pi/2-th)),-(1-r)*cos(th)+r*sin(-th/r-(pi/2-
th)),'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
plot(0,0,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','k',
'markerfacecolor','k')
line([0,0],[0,-1],'linestyle','--','color','k')

hold off
axis equal
axis off

Superficie cilíndrica móvil

La superficie cilíndrica de radio R, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal, en un tiempo t, su centro C se desplaza x y gira alrededor de un eje que pasa por su centro un ángulo φ1=x/R, el punto P de la superficie cilíndrica se convierte en el punto P1. Un cilindro macizo de radio r rueda sin deslizar sobre la superficie cilíndrica interior de radio R. En el instante t=0, el cilindro está situado en el origen, tal como se indica en la parte izquierda de la figura.

El centro del cilindro macizo se ha desplazado un arco s (en color azul), el cilindro macizo se ha desplazado un arco u rodando sobre la superficie cilíndica. La posición angular θ del centro del cilindro macizo, medida desde el origen, θ=u/R-φ1 o bien, u=R(θ+φ1).

El punto de contacto P sobre la superficie del cilindro macizo se ha convertido en el punto P2, ha girado un ángulo u/r, su posición angular es φ2=u/r-θ.

φ 2 = R(θ+ φ 1 ) r θ= Rr r θ+ R r φ 1

Parte de la figura ha sido elaborada con el siguiente código

th=75*pi/180; %ángulo
r=0.25; %radio del cuerpo que rueda
hold on
%pista
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t), [0,2*pi], 'linewidth',1.5)
%cuerpo
ang=(1:360)*pi/180;
x1=r*cos(ang);
y1=-(1-r)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([0,0],[0,-1],'linestyle','--')
plot(0,0,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','k',
'markerfacecolor','k')
plot(0,-1,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')

%pista
aGira=pi/3;
fplot(@(t) aGira+cos(t), @(t) sin(t), [0,2*pi], 'linewidth',1.5,'color','g')

x1=aGira+(1-r)*sin(th-aGira)+r*cos(ang);
y1=-(1-r)*cos(th-aGira)+r*sin(ang);
fill(x1,y1,[0.7 0.7 0.7])
line([aGira,aGira+sin(th-aGira)],[0,-cos(th-aGira)],'linestyle','--',
'color','k')
fplot(@(t) aGira+cos(t), @(t) sin(t), [-pi/2-aGira,-(pi/2-th+aGira)], 
'linewidth',1.5,'color','k')
fplot(@(t) aGira+(1-r)*sin(th-aGira)+r*cos(t), @(t) -(1-r)*cos(th-aGira)+r*sin(t),
 [-th/r-(pi/2-th+aGira),-(pi/2-th+aGira)], 'linewidth',1.5, 'color','r')
fplot(@(t) aGira+(1-r)*cos(t), @(t) (1-r)*sin(t), [-pi/2-aGira,-(pi/2-th+aGira)],
 'linewidth',1,'color','b')
plot(aGira-sin(aGira),-cos(aGira),'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
plot(aGira+(1-r)*sin(th-aGira)+r*cos(-th/r-(pi/2-th+aGira)),-(1-r)*cos(th-aGira)+
r*sin(-th/r-(pi/2-th+aGira)),'bo','markersize',4,'markeredgecolor','b',
'markerfacecolor','b')
plot(aGira,0,'bo','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor','k',
'markerfacecolor','k')
line([aGira,aGira],[0,-1],'linestyle','--','color','k')
line([aGira,aGira-sin(aGira)],[0,-cos(aGira)],'linestyle','--',
'color','k')

hold off
axis equal
axis off

Posición y velocidad del centro del cilindro macizo

La posición del centro del cilindro macizo y las componentes de su velocidad son

{ x 2 =x+(Rr)sinθ y 2 =R(Rr)cosθ { d x 2 dt = dx dt +(Rr)cosθ dθ dt d y 2 dt =(Rr)sinθ dθ dt

Calculamos la velocidad del punto P de contacto entre el cilindro macizo y el tubo.

En la figura de la izquierda, la velocidad del punto P situado en la posición angular θ en la superficie interior del tubo de radio R, es la suma de la velocidad de traslación del c.m. dx/dt y de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro Rdφ1/dt. Sus componentes son

{ dx dt R d φ 1 dt cosθ=R d φ 1 dt R d φ 1 dt cosθ R d φ 1 dt sinθ

En la figura de la derecha, la velocidad del punto de contacto P sobre la superficie del cilindro macizo es la suma de la velocidad de su centro, cuyas componentes ya hemos calculado y la velocidad de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro del cilindro macizo rdφ2/dt. Las componentes son

{ dx dt +(Rr)cosθ dθ dt r d φ 2 dt cosθ (Rr)sinθ dθ dt r d φ 2 dt sinθ

Teniendo en cuenta la relación entre φ2, θ y φ1 establecida en el apartado anterior

{ R d φ 1 dt +(Rr)cosθ dθ dt (Rr) dθ dt cosθR d φ 1 dt cosθ=R d φ 1 dt R d φ 1 dt cosθ (Rr)sinθ dθ dt (Rr) dθ dt sinθR d φ 1 dt sinθ=R d φ 1 dt sinθ

El punto P está en reposo en el sistema de referencia que se mueve con el tubo. Que es la condición para que el cilindro macizo ruede sin deslizar sobre la superficie interior del tubo

Energía del sistema

La energía total en cada instante t se conserva y es igual a la energía inicial

E= 3 4 m ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +( 3 4 m+M ) R 2 ( d φ 1 dt ) 2 + 1 2 mR(Rr)( 2cosθ+1 ) dθ dt d φ 1 dt +mg( R(Rr)cosθ )

Ecuación del movimiento

La lagrangiana, L=Ek1+Ek2-Ep es

L= 3 4 m ( Rr ) 2 ( dθ dt ) 2 +( 3 4 m+M ) R 2 ( d φ 1 dt ) 2 + 1 2 mR(Rr)( 2cosθ+1 ) dθ dt d φ 1 dt mg( R(Rr)cosθ )

La primera ecuación del movimiento es

d dt ( L d θ ˙ ) L dθ =0 3 2 ( Rr ) d 2 θ d t 2 + 1 2 R( 2cosθ+1 ) d 2 φ 1 d t 2 +gsinθ=0

La lagrangiana L no depende de φ1, tenemos una constante del movimiento

d dt ( L d φ ˙ 1 )=0 L d φ ˙ 1 =cte

Denominamos ω0 a dicha constante

( 3 2 m+2M )R d φ 1 dt + 1 2 m(Rr)( 2cosθ+1 ) dθ dt =cte d φ 1 dt = ω 0 m(Rr) ( 3m+4M )R ( 2cosθ+1 ) dθ dt

Integramos esta ecuación, con las condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ0, φ1=0, para obtener la posición x=R·φ1 del centro del tubo o el ángulo girado φ1 en función del tiempo t y de la posición angular θ del centro del cilindro macizo

φ 1 = ω 0 t m(Rr) ( 3m+4M )R θ 0 θ ( 2cosθ+1 )dθ φ 1 = ω 0 t m(Rr) ( 3m+4M )R ( 2sinθ+θ2sin θ 0 θ 0 )

La posición del centro del tubo es x=R·φ1

Sustituyendo d2φ1/dt2, en la primera ecuación del movimiento

d 2 φ 1 d t 2 = m(Rr) ( 3m+4M )R ( 2sinθ ) ( dθ dt ) 2 m(Rr) ( 3m+4M )R ( 2cosθ+1 ) d 2 θ d t 2

obtenemos

1 2 ( 3( 3m+4M ) ( 2cosθ+1 ) 2 m ) d 2 θ d t 2 +m( 2cosθ+1 )sinθ ( dθ dt ) 2 + g( 3m+4M ) Rr sinθ=0

Para determinar la posición θ del centro del cilindro macizo en función del tiempo t, resolvemos esta ecuación diferencial, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ0, φ1=0, dθ/dt=(dθ/dt)0, 1/dt=0.

La constante del movimiento ω0 vale

ω 0 = m(Rr) ( 3m+4M )R ( 2cos θ 0 +1 ) ( dθ dt ) 0

R=1; %radio superficie cilíndrica
r=0.25; %radio cilindro macizo
M=1; %masa superficie cilíndrica
m=2; %masa cilindro macizo

wCilindro=0;  %velocidad angular inicial
th_0=pi/6; %posición angular inicial

w0=m*(1-r/R)*(2*cos(th_0)+1)*wCilindro/(3*m+4*M);
x0=[th_0,wCilindro];
f=@(t,x) [x(2); -2*(2*cos(x(1))+1)*sin(x(1))*m*x(2)^2/(3*(3*m+4*M)-
(2*cos(x(1))+1)^2*m)-2*9.8*sin(x(1))*(3*m+4*M)/((R-r)*(3*(3*m+4*M)-
(2*cos(x(1))+1)^2*m))]; 
[t,x]=ode45(f,[0,10],x0);
phi_1=w0*t-m*(1-r/R)*(2*sin(x(:,1))+x(:,1)-2*sin(th_0)-th_0)/(3*m+4*M);
hold on
plot(t,x(:,1),'r') %cilindro macizo
plot(t,phi_1,'b') %tubo
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta,\phi_1')
title('Movimiento de los cilindros')

En azul, la posición angular θ del cilindro macizo, en rojo, la del tubo, φ1

Comprobamos que la energía inicial, es aproximadamente igual a la energía en cada instante

E0=3*m*(R-r)^2*wCilindro^2/4+m*9.8*(R-(R-r)*cos(th_0))
E0 =    6.8694
>> vPhi=w0-m*(1-r/R)*(2*cos(x(:,1))+1).*x(:,2)/(3*m+4*M);
>> E=3*m*(R-r)^2*x(:,2).^2/4+(3*m/4+M)*R^2*vPhi.^2+m*(R-r)*R*(2*cos(x(:,1))+1)
.*x(:,2).*vPhi/2+m*9.8*(R-(R-r)*cos(x(:,1)))
E =
    6.8694
    6.8694
    ......
    6.8318
    6.8312
    6.8302

Cambiamos en el script las condiciones iniciales

....
wCilindro=0.2; %velocidad angular inicial
th_0=0; %posición angular inicial
....

Observamos un comportamiento diferente, véase el programa interactivo al final de la página

Representamos la velocidad 1/dt del tubo en función del tiempo, observamos los instantes en los que se detiene. La diferencia de dos tiempos consecutivos es un periodo, aproximadamente 1.34 s. Se puede comparar esta medida con el periodo calculado mediante las aproximación de pequeña amplitud (en el apartado que viene a continuación)

Aproximaciones

Cuando θ es pequeño sinθ≈θ, cosθ=1, θ(dθ/dt)2≈0

La ecuación diferencial en θ se transforma en

1 2 ( Rr )( 3 3 2 m 3m+4M ) d 2 θ d t 2 +gθ=0

Que es la ecuación de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular o periodo P=2π/ω

ω 2 = g Rr 3m+4M 6M

Actividades

Se introduce

Se ha fijado

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se muestra el tubo de masa M y radio r rodando en el plano horizontal y el cilindro macizo de masa m y radio r rodando sin deslizar en su superficie interior

Se proporcionan los datos

Se sugiere probar estos dos ejemplos, observando las diferencias

El lector puede medir el periodo de la oscilación utilizando los botones Pausa || y Paso a paso >|

El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente

| E E 0 E 0 |·100

donde E es la energía del sistema en cualquier instante t, y E0 es la energía inicial del sistema.

Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte izqiuerda. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.


Referencias

Kirk T. McDonald. Cylinder Rolling inside Another Rolling Cylinder.http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/2cylinders_in.pdf .