Caja situada sobre un plano inclinado
Consideremos una caja de anchura b y altura h, de masa m , situada sobre un plano inclinado de ángulo θ .
La caja está caracterizada por dos parámetros su anchura b y su altura h (se ignora la dimensión perpendicular al plano de la figura) o bien, por el ángulo β y por la distancia R de un vértice al centro de la caja.
Las fuerzas que actúan sobre la caja se muestran en la figura de la derecha:
- El peso mg que actúa en el centro de masas,
- La reacción del plano N, que no pasa en general, por el centro de masas La distancia entre la dirección de dicha fuerza y el c.m. lo designamos por d.
- Finalmente, la fuerza de rozamiento Fr que actúa en la superficie de contacto entre la caja y el plano inclinado.
La fuerza de rozamiento Fr es una incógnita en las ecuaciones del movimiento. Adquiere su valor máximo μs·N cuando el cuerpo va a empezar a deslizar, donde μs es el coeficiente estático. Cuando el cuerpo desliza el valor de Fr cambia a μk·N. Para simplificar nuestro estudio supondremos que ambos coeficientes tienen el mismo valor μ .
Como es habitual en los problemas con planos inclinados, establecemos un sistema de ejes de modo que el eje Y es perpendicular al plano inclinado y el eje X es paralelo al plano inclinado
Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:
- Movimiento de traslación del c.m.
- Movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por el c.m.
N-mgcosθ=macy
mgsinθ-Fr=macx
donde acx y acy son las componentes de la aceleración del centro de masas (c.m.)
El término mR2/3 es el momento de inercia de la caja respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por el c.m..

Vamos a expresar la aceleración de c.m. ac en términos de la aceleración a del vértice A de la caja y de la aceleración angular α.
acx=a+αRcosβ
acy=αRsinβ
Las ecuaciones del movimiento serán por tanto,
Vamos a estudiar los distintos casos que se pueden presentar cuando colocamos una caja de dimensiones b (base) y h (altura) en reposo sobre el plano inclinado.
No desliza y no vuelca,
Desliza, pero no vuelca
Vuelca, pero no desliza
-
La condición de que la aceleración angular sea positiva α≥0 equivale a tanθ≥tanβ .
-
La condición de que el punto A no deslice Fr≤μ·N, equivale a
Vuelca y desliza
- Las condiciones de que N≥0, α≥0 equivalen a
-
La condición a≥0 nos lleva a
La caja permanece en reposo sobre el plano inclinado por lo que a=0 y α=0. A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones se despejan las incógnitas
N=mgcosθ
Fr=mgsinθ
d=(h/2)·tanθ
La fuerza de rozamiento es inferior a su valor máximo, Fr≤ μ·N, esta condición es equivalente a tanθ≤μ .
La reacción del plano N no puede salirse de la base de la caja d≤b/2, lo que equivale a que tanθ≤tanβ .
Si desliza la aceleración ya no es nula a≥ 0, pero al no volcar la aceleración angular es nula α =0. Al deslizar, la fuerza de rozamiento tiene el valor Fr=μ·N. A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones se despejan las incógnitas
N=mg·cosθ
a=g(sinθ-μcosθ)=g·cosθ(tanθ-μ)
μ·N·h/2-N·d=0, por lo que
d=μh/2
La reacción del plano N no puede salirse de la base de la caja d≤ b/2, lo que equivale a que μ≤tanβ.
La condición de que la aceleración a sea positiva a≥0 equivale a μ≤tanθ.
Si no desliza la aceleración es nula, a=0, y si vuelca la aceleración angular no es nula α≥0. La reacción del plano N se encontrará en el único punto de contacto A, de modo que d=b/2. En este caso, el valor de la fuerza de rozamiento Fr es desconocido, pero para que el punto A no deslice, se tiene que cumplir que Fr≤μ·N
A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones se despejan las incógnitas
Despejamos Fr en la segunda ecuación, N en la primera e introducimos sus expresiones en la tercera y teniendo en cuenta que h/2=R·cosβ, y b/2=R·sinβ
Si desliza la aceleración no es nula, a≥0, y si vuelca la aceleración angular no es nula α≥0. La reacción del plano N se encontrará en el único punto de contacto A, de modo que d=b/2. Al deslizar, la fuerza de rozamiento toma el valor Fr=μ·N
A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones, se despejan las incógnitas
Se despeja N de la primera ecuación en función de α, se calcula Fr=μ·N en función de α. Se despeja α en la tercera ecuación. Se calcula N y a en la primera y en la segunda ecuación a partir de la expresión de α, y teniendo en cuenta que h/2=R·cosβ b/2=R·sinβ
Regiones del espacio (tanθ, μ)
Las desigualdades en cada uno de los cuatro casos definen en el espacio (tanθ, μ) cuatro regiones que hemos pintado de distintos colores. Las abscisas son las tangentes de los ángulos θ del plano inclinado, las ordenadas son los valores del coeficiente de rozamiento μ. En el eje horizontal y vertical marcamos el valor de tanβ .
- No desliza y no vuelca (región verde). Corresponde a la región definida por las desigualdades
- tanθ≤μ .
- tanθ≤tanβ
- Desliza pero no vuelca (región azul). Corresponde a la región definida por las desigualdades
- Vuelca (región gris)
- Desliza y vuelca (región en rojo)
μ≤tanβ .
μ≤tanθ .
El espacio que queda se divide en dos regiones separadas por la curva μl en función de tanθ
cuya representación gráfica es
Esta curva pasa por el punto (tanβ, tanβ) y tiene la forma
entonces . Cuando entonces
Por ejemplo, para una caja de dimensiones h=50 cm, y b=20 cm, tanβ=0.4. La asíntota horizontal es la recta μ=1.367
La región "vuelca pero no desliza", está por encima de dicha curva, tal como expresa la desigualdad correspondiente
La región "desliza y vuelca" está por debajo de dicha curva.
Ejemplo:
Por ejemplo, para una caja de dimensiones h=50 cm, y b=20 cm, tanβ=0.4, β=21.8º
- Coeficiente de rozamiento μ=0.5,
- Ángulo del plano inclinado θ=15º
Corresponde a la región 1 "No desliza y no vuelca": θ<β, tanθ<μ
- Coeficiente de rozamiento μ=0.2,
- Ángulo del plano inclinado θ=15º
Corresponde a la región 2 "Desliza y no vuelca": μ<tanβ, μ<tanθ
- Coeficiente de rozamiento μ=0.7,
- Ángulo del plano inclinado θ=40º
Para este ángulo, la curva μl que divide las regiones 3 y 4 vale
Corresponde a la región 3 "No desliza y vuelca": tanθ≥ tanβ,μ>0.5, por encima de la curva
- Coeficiente de rozamiento μ=0.45
- Ángulo del plano inclinado θ=40º
Corresponde a la región 4 "Desliza y vuelca": tanβ<μ<0.5, por debajo de la curva.
Actividades
Se introduce
- La altura h de la caja, en el control titulado Altura
- La anchura o longitud de la base b de la caja, en el control titulado Anchura
- El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coef. Rozamiento
- El ángulo θ del plano inclinado, en el control titulado Ángulo
El programa interactivo calcula el ángulo β , tal que tanβ =b/h. El valor máximo admisible del ángulo β es 50º. Un mensaje nos avisa si al introducir las dimensiones de la caja se supera este valor.
Se representan las cuatro regiones del espacio (tanθ, μ)
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se representa el punto (tanθ , μ) en color negro sobre la representación gráfica de las cuatro regiones y vemos el comportamiento de la caja, dependiendo en qué región esté situado dicho punto.
Nota: la simulación no describe correctamente el movimiento de rotación de la caja alrededor del vértice A, se limita a dar los valores iniciales de la aceleración angular en el instante en el que se inicia el vuelco. El estudio del comportamiento de una caja cuando no descansa sobre el plano inclinado, sino que su base forma un cierto ángulo con éste, es bastante complicado ya que los valores de las aceleraciones cambian a medida que la caja gira alrededor del vértice A.
Referencias
Nunes A. M., Silva J. P. Tiltled boxes on inclined planes. Am. J. Phys. 68, (11) November 2000, pp. 1042-1049