Oscilaciones de una partícula situada en el borde de un aro que rueda

Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar

La cicloide se produce cuando se hace rodar sin deslizar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del disco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

x=vc·t+R·sinθ
y=R-R·
cosθ

donde R es el radio del círculo y θ el ángulo girado en el tiempo t, θ=ω·t.

La relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación ω alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc=ω·R.

La ecuaciones paramétricas de la cicloide son

x=R(θ +sinθ)
y=R
(1-cosθ)

Oscilaciones de una partícula situada en el borde de un aro que rueda

Supongamos que una partícula de masa m se sitúa en el bode de un aro de radio R, que supondremos de masa despreciable, y que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. En la figura, se muestra la situación inicial:

Trataremos de determinar la posición de la masa puntual a cabo de un cierto tiempo t, así como el periodo P de las oscilaciones que describe este sistema mecánico.

La condición de rodar sin deslizar, implica que el aro gira un ángulo θ, a la vez que su centro se traslada una distancia , tal como se muestra en la figura.

Las coordenadas de la partícula respecto al sistema de referencia, situado en la posición de equilibrio estable son

x=Rθ-Rsinθ
y=R-R
cosθ

Las componentes de la velocidad partícula se obtienen derivando, respecto del tiempo t, las coordenadas x e y.

v x = dx dt =R(1cosθ) dθ dt v y = dy dt =Rsinθ dθ dt

Principio de conservación de la energía

La energía cinética es

E k = 1 2 m( v x 2 + v y 2 )=2m R 2 ( dθ dt ) 2 sin 2 θ 2

la energía potencial es

E p =mgy=2mgR sin 2 θ 2

La energía total, es la suma de ambas contribuciones, e igual a la energía potencial cuando la partícula se encuentra en el extremo de su trayectoria, θ=α, dθ/dt=0.

2m R 2 ( dθ dt ) 2 sin 2 θ 2 +2mgR sin 2 θ 2 =2mgR sin 2 α 2

Ecuación del movimiento

Separando las variables t y θ, la ecuación del movimiento se escribe

-sin(θ/2)dθ sin 2 (α/2) sin 2 (θ/2) = g R dt

El signo menos aparece porque el ángulo θ disminuye con el tiempo. En el instante inicial t=0, la partícula se encuentra en la posición de máximo desplazamiento, θ=α y se dirige hacia el origen O.

Para integrar la ecuación diferencial, transformamos el denominador en otra forma equivalente mediante la relación sin2+cos2=1

-sin(θ/2)dθ -cos 2 (α/2)+ cos 2 (θ/2) = g R dt

Haciendo el cambio de variable

u= cos(θ/2) cos(α/2) u 0 u 2du u 2 1 =Ωt

donde u0=1 es el valor de u para θ=α, que es la posición inicial de partida tal como se muestra en la primera figura. Ω es la frecuencia angular de las oscilaciones de un péndulo de longitud igual al radio R de aro.

Esta integral es inmediata y puede consultarse en la tabla de integrales

ln| u+ u 2 1 |ln u 0 = Ωt 2

Como 0≤θ/2≤α/2≤π/2, se cumple que  u≥1

u+ u 2 1 =exp( Ωt 2 )

Despejamos la raíz cuadrada, elevamos ambos miembros al cuadrado, simplificamos y despejamos u.

u= exp(Ωt/2)+exp(Ωt/2) 2 =cosh( Ωt 2 )

Finalmente, deshacemos el cambio de variable, para obtener la ecuación del movimiento.

cos(θ/2)=cos(α/2)cosh(Ωt/2)

Periodo de las oscilaciones

El tiempo que tarda en alcanzar la posición θ=0, mide un cuarto del periodo P de este oscilador mecánico

1=cos(α/2)cosh(ΩP/8),

De esta ecuación, despejamos el periodo P. Para ello, utilizamos la relación cosh2-sinh2=1

exp( ΩP 8 )= 1+sin(α/2) cos(α/2) P=8 R g ln( 1+sin(α/2) cos(α/2) )

El periodo P es función de la amplitud α, tiende a cero cuando la amplitud se hace pequeña, a infinito cuando α tiende a 180º (posición de equilibrio inestable). En el péndulo simple, el periodo es función de la amplitud, pero es aproximadamente independiente de la amplitud cuando se separa ligeramente de la posición de equilibrio estable.

R=1; %radio que genera la cilcoide
alpha=(30:170)*pi/180;  %ángulo inicial
P=(8*sqrt(R/9.8))*log((1+sin(alpha/2))./cos(alpha/2));
plot(alpha,P)
set(gca,'XTick',0:pi/6:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/6','\pi/3','\pi/2','2\pi/3','5\pi/6','\pi'})
grid on
xlabel('\alpha')
ylabel('P(s)')
title('Periodo en función del ángulo')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa las oscilaciones de la partícula situada en el borde del aro que rueda sin deslizar.

Referencias

Levy-Leblond J.M. Rock and roll: Non-isochronous small oscillations (an example). Am. J. Phys. 46 (1) January 1978, pp. 106-107