Un cuerpo de radio r rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. El centro del cuerpo describe un arco s=(R-r)θ (en color verde), mientras el cuerpo rueda una longitud u=Rθ sobre la pista (en color negro) e igual al arco de color rojo pintado sobre el cuerpo.

En la figura, se señala la posición inicial del punto P del cuerpo y su posición angular en el instante t, φ=u/r-θ=Rθ/r-θ o bien, (R-r)θ=rφ

${\displaystyle \phi =\frac{R-r}{r}\theta }$

Como hemos demostrado, para que un cuerpo en forma de aro, cilindro o esfera de radio r, ruede sin deslizar en un plano horizontal o inclinado, se tiene que cumplir que v_c=ωr, a fin de que la velocidad del punto P de contacto del cuerpo con el plano sea nula. Donde

• v_c es la velocidad del centro de masas
• ω es la velocidad angular de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro

En el caso de que el cuerpo ruede sobre una superficie cilíndrica de radio R, la velocidad del centro de masas es

${\displaystyle v_c=\frac{ds}{dt}=(R-r)\frac{d\theta }{dt}}$

La velocidad angular de rotación es

${\displaystyle \omega =\frac{d\phi }{dt}}$

Para que la velocidad del punto P de contacto sea nula, se tiene que cumplir que

${\displaystyle (R-r)\frac{d\theta }{dt}=r\frac{d\phi }{dt}}$

Principios de conservación

En la figura, observamos un cuerpo redondo de masa m y radio r que se suelta en la posición angular θ₀, rueda sin deslizar a lo largo de la cúpula móvil de masa M y radio R que a su vez, puede deslizar sin rozamiento a lo largo del plano horizontal.

Conservación de la energía

La energía total se mantiene constante e igual a la inicial

${\displaystyle E_0=mg\left(R-r\right)\left(1-\cos {\theta }_0\right)}$

Hemos tomado el nivel cero de energía potencial en el v&eaccute;rtice de la cúpula invertida

En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa del cuerpo redondo respecto de la cúpula invertida es v=(R-r)dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad del cuerpo respecto del Sistema de Referencia Inercial, es la suma vectorial de estas dos velocidades.

• La energía cinética del cuerpo

Es la suma de la energía cin&eaccute;tica de traslación y la energía cin&eaccute;tica de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa

${\displaystyle $ \begin{array}{l}{E}_k=\frac{1}{2}m\left\{{\left(\left(R-r\right)\frac{d\theta }{dt}+V\cos \theta \right)}^2+V^2{\sin }^2\theta \right\}+\frac{1}{2}\left(km{r}^2\right){\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2=\\ \frac{1}{2}m\left\{{\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+2\left(R-r\right)V\frac{d\theta }{dt}\cos \theta +V^2{\cos }^2\theta +V^2{\sin }^2\theta \right\}+\frac{1}{2}km{\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\\ E_k=\frac{1}{2}m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{V}^2+m\left(R-r\right)V\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \end{array}$}$

• La energía cinética de la cúpula es

${\displaystyle \frac{1}{2}M{V}^2}$

• La energía potencial del c.m. del cuerpo

${\displaystyle E_p=mg\left(R-r\right)\left(1-\cos \theta \right)}$

La energía en el instante t es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}\left(m+M\right)V^2+\frac{1}{2}m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\left(R-r\right)V\frac{d\theta }{dt}\cos \theta +mg\left(R-r\right)\left(1-\cos \theta \right)}$

Igualamos la energía inicial E₀ a la energía E del sistema en el instante t

${\displaystyle mg\left(R-r\right)\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}\left(m+M\right)V^2+\frac{1}{2}m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\left(R-r\right)V\frac{d\theta }{dt}\cos \theta }$

Conservación del momento lineal

El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y el cuerpo redondo. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(V+\left(R-r\right)\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \right)+MV=0\hfill \\ V=-\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \hfill \end{array}}$

(R-r)(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa del cuerpo. Véase la figura

En este sistema de dos ecuaciones (conservación de la energía y del momento lineal), eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa (R-r)dθ/dt del cuerpo

${\displaystyle \begin{array}{l}mg\left(R-r\right)\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}\left(m+M\right)V^2+\frac{1}{2}m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\left(R-r\right)V\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\\ g\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\left(\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta +1+k-2\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta \right)\\ g\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\left(1+k-\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta \right)\\ \left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{2\left(m+M\right)g\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)}{m{\sin }^2\theta +M+k\left(m+M\right)}\end{array}}$

Ecuaciones del movimiento

Ecuaciones del movimiento del cuerpo

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son

• el peso mg
• la reacción de la cúpula N, la fuerza que ejerce la cúpula sobre el cuerpo
• La fuerza de rozamiento F_r que hace que el cuerpo gire alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aceleración angular α

El c. m. del cuerpo describe un movimiento circular con aceleraciones relativas

• En la dirección tangencial, $a_t=\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$
• En la dirección normal, $a_n=\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2$

A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula

• La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

${\displaystyle m\left(\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta \right)=-mg\sin \theta +F_r}$

• La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(km{r}^2\right)\frac{d^2\phi }{d{t}^2}=-F_{r}r\\ km\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-F_r\end{array}}$

• La ecuación del movimiento en la dirección normal es

${\displaystyle m\left(\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-a\sin \theta \right)=N-mg\cos \theta }$

Eliminamos la fuerza de rozamiento F_r entre estas dos ecuaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta \right)=-mg\sin \theta -km\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\\ \left(R-r\right)\left(1+k\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta =-g\sin \theta \end{array}}$

Ecuación del movimiento de la cúpula

De acuerdo a la tercera ley de Newton, La fuerza que ejerce el cuerpo redondo sobre la cúpula es N y F_r pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es

${\displaystyle Ma=N\sin \theta -F_r\cos \theta }$

Teniendo en cuenta que

${\displaystyle \begin{array}{l}N=m\left(\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-a\sin \theta \right)+mg\cos \theta \\ F_r=m\left(\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta \right)+mg\sin \theta \end{array}}$

Despejamos la aceleración a

${\displaystyle \begin{array}{l}Ma=\left\{m\left(\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-a\sin \theta \right)+mg\cos \theta \right\}\sin \theta -\left\{m\left(\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta \right)+mg\sin \theta \right\}\cos \theta \\ \left(M+m{\sin }^2\theta +m{\cos }^2\theta \right)a=m\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -m\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \\ a=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)\end{array}}$

En la conservación del momento lineal obtuvimos la velocidad V. Derivamos respecto del tiempo para calcular la aceleración a

${\displaystyle \begin{array}{l}V=-\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \\ a=\frac{dV}{dt}=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)\end{array}}$

Obtenemos el mismo resultado

Sustituimos la aceleración a en la ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(R-r\right)\left(1+k\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta =-g\sin \theta \\ \left(R-r\right)\left(1+k\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\left(\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)\right)\cos \theta =-g\sin \theta \\ \left(R-r\right)\left(1+k-\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\left(R-r\right)\frac{m}{m+M}{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0\\ \left(R-r\right)\left(1+k-\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\left(R-r\right)\frac{m}{m+M}{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0\\ \left(m{\sin }^2\theta +M+k\left(m+M\right)\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+m\cos \theta \sin \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\left(m+M\right)\frac{g}{R-r}\sin \theta =0\end{array}}$

Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, el cuerpo parte de la posición θ=θ₀, en reposo.

Caso particular: oscilaciones de pequeña amplitud. Cuando θ<<1, cosθ≈1, sinθ≈θ. Solamente se mantiene la derivada de dθ/dt pero no sus potencias que se desprecian. La ecuación diferencial se escribe

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(M+k\left(m+M\right)\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\left(m+M\right)\frac{g}{R-r}\theta \approx 0\\ \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{\mu +1}{1+k\left(\mu +1\right)}\frac{g}{R-r}\theta =\mathrm{0,}\mu =\frac{m}{M}\end{array}}$

Que es la ecuación diferencial de un MAS. El periodo de las osciaciones es

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{R-r}{g}\left(k+\frac{1}{\mu +1}\right)}}$

Si la masa de la cúpula es grande μ≈0 y rueda sobre ella una esfera k=2/5

${\displaystyle P=2\pi \sqrt{\frac{7}{5}\frac{R-r}{g}}}$

Fuerzas

• Reacción N

Sustituimos la aceleración a en la expresión de N

${\displaystyle \begin{array}{l}N=m\left(\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-a\sin \theta \right)+mg\cos \theta \\ N=m\left(\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\left(\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)\right)\sin \theta \right)+mg\cos \theta \\ N=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left(\left(M+m{\cos }^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \sin \theta \right)+mg\cos \theta \end{array}}$

• Fuerza de rozamiento F_r

Sustituimos la aceleración a en la expresión de F_r

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_r=m\left(\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta \right)+mg\sin \theta \\ F_r=m\left(\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\left(\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)\right)\cos \theta \right)+mg\sin \theta \\ F_r=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left(\left(M+m{\sin }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+m{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta \cos \theta \right)+mg\sin \theta \end{array}}$

Ecuaciones de Lagrange

• Posición

La posición del centro de la cúpula semiesférica y del c.m. del cuerpo respecto del Sistema de Referencia Inercial

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\overrightarrow{r_c}=x\widehat{i}\\ \overrightarrow{r_p}=\left(x+\left(R-r\right)\sin \theta \right)\widehat{i}+\left(R-r\right)\left(1-\cos \theta \right)\widehat{j}\end{array}}$

• Velocidad

Derivando respecto del tiempo obtenemos el vector velocidad de la cúpula y del c.m. del cuerpo

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\overrightarrow{V}=\frac{dx}{dt}\widehat{i}\\ \overrightarrow{v}=\left(\frac{dx}{dt}+\left(R-r\right)\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{i}+\left(R-r\right)\sin \theta \frac{d\theta }{dt}\widehat{j}\end{array}}$

• La energía cin&eaccute;tica de traslación y rotación del cuerpo redondo y de la cúpula

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_k=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\left(km{r}^2\right){\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}M{V}^2=\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(m+M\right){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\left(R-r\right)\cos \theta \frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}+\frac{1}{2}km{\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\\ \frac{1}{2}\left(m+M\right){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\left(R-r\right)\cos \theta \frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}\end{array}\hfill \end{array}}$

• La energía potencial del c.m. del cuerpo

${\displaystyle E_p=mg\left(R-r\right)\left(1-\cos \theta \right)}$

La lagrangiana y las ecuaciones del movimiento

${\displaystyle L=E_k-E_p=\frac{1}{2}\left(m+M\right){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+m\left(R-r\right)\cos \theta \frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}-mg\left(R-r\right)\left(1-\cos \theta \right)}$

• Primera ecuación del movimiento

${\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0}$

La lagrangiana no depende de x. Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, que es nulo, ya que el cuerpo y la cúpula estan en reposo en el instante t=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\left(m+M\right)\frac{dx}{dt}+m\left(R-r\right)\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \right)=0\\ \left(m+M\right)\frac{dx}{dt}+m\left(R-r\right)\frac{d\theta }{dt}\cos \theta =0\end{array}}$

Como apreciamos dx/dt es la velocidad V de la cúpula.

Integrando obtenemos la posición x, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}dx}=-\frac{m}{m+M}\left(R-r\right){\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\theta }{\int }}\cos \theta ·d\theta }\\ x=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left(\sin {\theta }_0-\sin \theta \right)\end{array}}$

Otra forma de obtener esta expresión es la siguiente:

La posición inicial del centro de masas del sistema formado por la cúpula y el cuerpo es

${\displaystyle x_{cm}=\frac{M·0+m\left(R-r\right)\sin {\theta }_0}{m+M}}$

La posición del centro de masas del sistema formado por la cúpula y el cuerpo en el instante t no cambia

${\displaystyle x_{cm}=\frac{M·x+m\left(x+\left(R-r\right)\sin \theta \right)}{m+M}}$

Despejamos la posición x de la cúpula

${\displaystyle \begin{array}{l}Mx+mx+m\left(R-r\right)\sin \theta =m\left(R-r\right)\sin {\theta }_0\\ x=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left(\sin {\theta }_0-\sin \theta \right)\end{array}}$

• La segunda ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0\\ m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+m\left(R-r\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\cos \theta -m\left(R-r\right)\frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}\sin \theta +m\left(R-r\right)\frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}\cos \theta +mg\left(R-r\right)\sin \theta =0\\ m\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+m\left(R-r\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\cos \theta +mg\left(R-r\right)\sin \theta =0\end{array}}$

Derivamos la ecuación de la conservación del momento lineal respecto del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(m+M\right)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+m\left(R-r\right)\cos \theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}-m\left(R-r\right)\sin \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=0\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{m}{m+M}\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)\end{array}}$

y con la segunda, eliminamos la aceleración de la cúpula

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(1+k\right){\left(R-r\right)}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\left(R-r\right)\cos \theta \frac{m\left(R-r\right)\left({\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta -\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\cos \theta \right)}{m+M}+g\left(R-r\right)\sin \theta =0\\ \left(1+k-\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta \right)\left(R-r\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{m}{m+M}\left(R-r\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\cos \theta \sin \theta +g\sin \theta =0\\ \left(m{\sin }^2\theta +M+k\left(m+M\right)\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+m{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\cos \theta \sin \theta +\left(m+M\right)\frac{g}{R-r}\sin \theta =0\end{array}}$

Obtenemos la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton

Movimiento de los cuerpos

En este apartado describimos el movimiento de la cúpula y el cuerpo redondo

Movimiento relativo del cuerpo

Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento ode45 de MATLAB. Conocido el cociente de μ=m/M, entre la masa del cuerpo y de la cúpula y el factor de forma k del momento de inercia. El cuerpo parte, en reposo, de la posición θ₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\frac{1+\mu {\sin }^2\theta }{1+\mu }+k\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{\mu }{1+\mu }{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\cos \theta \sin \theta +{\omega }_0^2\sin \theta =\mathrm{0,}\mu =\frac{m}{M},{\omega }_0^2=\frac{g}{R-r}\\ \left(\frac{1+\mu {\sin }^2\theta }{1+\mu }+k\right)\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}+\frac{\mu }{1+\mu }{\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2\cos \theta \sin \theta +{\pi }^2\sin \theta =\mathrm{0,}\tau =\frac{{\omega }_{0}t}{\pi }\end{array}}$

Representamos la posición relativa θ/π del c.m. del cuerpo que rueda sin deslizar sobre la cúpula en función del tiempo τ

Datos

• Factor k de forma: 0, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.2

mu=0.2; %masa cuerpo/masa cúpula
th_0=pi/2; %posición angular inicial
hold on
for k=[0,2/5,1/2,1]
    f=@(t,x) [x(2); (-mu*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))/(1+mu)-
pi^2*sin(x(1)))/((1+mu*sin(x(1))^2)/(1+mu)+k)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,8],[th_0,0]);
    plot(t,x(:,1)/pi,'displayName',num2str(k))
end
hold off
grid on
   legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\tau')
ylabel('\theta/\pi')
title('Movimiento relativo del cuerpo')

Cambiamos el cociente μ=m/M=0.5

Representamos la velocidad relativa (dθ/dt)/(πω₀) del c.m. del cuerpo que rueda sin deslizar sobre la cúpula en función del tiempo τ

Datos

• Factor k de forma: 0, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.2

mu=0.2; %masa cuerpo/masa cúpula
hold on
th_0=pi/2; %posición angular inicial

for k=[0,2/5,1/2,1]
    f=@(t,x) [x(2); (-mu*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))/(1+mu)-
pi^2*sin(x(1)))/((1+mu*sin(x(1))^2)/(1+mu)+k)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,6],[th_0,0]);
    plot(t,x(:,2),'displayName',num2str(k))
end
hold off
grid on
   legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\tau')
ylabel('(d\theta/dt)/(\pi\omega_0)')
title('Movimiento relativo del cuerpo')

Cambiamos el cociente μ=m/M=0.5

Movimiento de la cúpula

Representamos posición x/(R-r) de la cúpula en función del tiempo τ

${\displaystyle \frac{x}{R-r}=\frac{\mu }{1+\mu }\left(\sin {\theta }_0-\sin \theta \right)}$

Datos

• Factor k de forma: 0, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.2

mu=0.2; %masa cuerpo/masa cúpula
th_0=pi/2; %posición angular inicial
hold on
for k=[0,2/5,1/2,1]
    f=@(t,x) [x(2); (-mu*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))/(1+mu)
-pi^2*sin(x(1)))/((1+mu*sin(x(1))^2)/(1+mu)+k)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,6],[th_0,0]);
    X=mu*(sin(th_0)-sin(x(:,1)))/(1+mu); %posición cúpula
    plot(t,X,'displayName',num2str(k))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\tau')
ylabel('x/(R-r)')
title('Movimiento de la cúpula')

Cambiamos el cociente μ=m/M=0.5

Reacción N

Representamos N/mg en función de τ

${\displaystyle \begin{array}{l}N=\frac{\mu }{1+\mu }\left(R-r\right)m\left(\left(\frac{1}{\mu }+{\cos }^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2\frac{{\omega }_0^2}{{\pi }^2}+\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}\frac{{\omega }_0^2}{{\pi }^2}\cos \theta \sin \theta \right)+mg\cos \theta \\ N=\frac{\mu }{1+\mu }\frac{1}{{\pi }^2}mg\left(\left(\frac{1}{\mu }+{\cos }^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2+\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}\cos \theta \sin \theta \right)+mg\cos \theta \\ \frac{N}{mg}=\frac{\mu }{1+\mu }\frac{1}{{\pi }^2}\left(\left(\frac{1}{\mu }+{\cos }^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2+\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}\cos \theta \sin \theta \right)+\cos \theta \end{array}}$

Datos

• Factor k de forma: 0, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.2

mu=0.2; %masa cuerpo/masa cúpula
th_0=pi/2; %posición angular inicial
hold on
for k=[0,2/5,1/2,1]
    f=@(t,x) [x(2); (-mu*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))/(1+mu)-
pi^2*sin(x(1)))/((1+mu*sin(x(1))^2)/(1+mu)+k)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,4],[th_0,0]);
    d2_th=(-(mu*x(:,2).^2).*cos(x(:,1)).*sin(x(:,1))./(1+mu)-
pi^2*sin(x(:,1)))/((1+mu*sin(x(:,1)).^2)/(1+mu)+k);
    N=mu*((1/mu+cos(x(:,1)).^2).*x(:,2).^2+d2_th.*cos(x(:,1))*
sin(x(:,1)))/((1+mu)*pi^2)+cos(x(:,1));
    plot(t,N,'displayName',num2str(k))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\tau')
ylabel('N/(mg)')
title('Fuerza N')

Datos

• Factor k de forma: 1/10, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.75

Fuerza de rozamiento F_r

Representamos F_r/mg en función de τ

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_r=\frac{\mu }{1+\mu }\left(R-r\right)m\left(\left(\frac{1}{\mu }+{\sin }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}\frac{{\omega }_0^2}{{\pi }^2}+{\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2\frac{{\omega }_0^2}{{\pi }^2}\sin \theta \cos \theta \right)+mg\sin \theta \\ F_r=\frac{\mu }{1+\mu }\left(R-r\right)\frac{mg}{R-r}\frac{1}{{\pi }^2}\left(\left(\frac{1}{\mu }+{\sin }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}+{\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2\sin \theta \cos \theta \right)+mg\sin \theta \\ \frac{F_r}{mg}=\frac{\mu }{1+\mu }\frac{1}{{\pi }^2}\left(\left(\frac{1}{\mu }+{\sin }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{\tau }^2}+{\left(\frac{d\theta }{d\tau }\right)}^2\sin \theta \cos \theta \right)+\sin \theta \end{array}}$

Datos

• Factor k de forma: 0, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.2

mu=0.2; %masa cuerpo/masa cúpula
th_0=pi/2; %posición angular inicial
hold on
for k=[0,2/5,1/2,1]
    f=@(t,x) [x(2); (-mu*x(2)^2*cos(x(1))*sin(x(1))/(1+mu)-
pi^2*sin(x(1)))/((1+mu*sin(x(1))^2)/(1+mu)+k)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,4],[th_0,0]);
    d2_th=(-(mu*x(:,2).^2).*sin(2*x(:,1))/(2*(1+mu))-pi^2*sin(x(:,1))).
/((1+mu*sin(x(:,1)).^2)/(1+mu)+k);
    Fr=mu*((1/mu+sin(x(:,1)).^2).*d2_th+(x(:,2).^2).*sin(2*x(:,1))/2)
/((1+mu)*pi^2)+sin(x(:,1));
    plot(t,Fr,'displayName',num2str(k))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','best')
xlabel('\tau')
ylabel('F_r/(mg)')
title('Fuerza de rozamiento, F_r')

Datos

• Factor k de forma: 1/10, 2/5, 1/2, 1
• Cociente μ=m/M=0.75

Actividades

Se introduce

• El cociente de las masas m/M del cuerpo y la masa de la cúpula, en el control titulado Cociente masas
• La posición angular inicial θ₀ de partida del c. m. del cuerpo (en grados) en el control titulado Angulo
• El cuerpo que rueda: esfera, cilindro, aro y un cuerpo que desliza sin rozamiento, en el control titulado Cuerpo

Se ha fijado

• El radio del cuerpo redondo, r=0.20 m
• El radio de la cúpula invertida, R= 1 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior, se proporcionan los siguientes datos:

• El tiempo t en s
• la posición angular θ del c. m. del cuerpo en grados
• la posición del centro de la cúpula en cm
• La reacción N o fuerza que ejerce la cúpula sobre el cuerpo
• La fuerza de rozamiento F_r necesaria para que el cuerpo ruede sin deslizar

En la parte central, se muestra un diagrama con los distntos tipos de energía

• La energía cin&eaccute;tica de la cúpula
• La energía cin&eaccute;tica del movimiento de traslación del cuerpo
• La energía cin&eaccute;tica del movimiento de rotación del cuerpo
• La energía potencial del c. m. del cuerpo

La energía total se mentiene constante y se reparte entre los distintos tipos de energía

Referencias

Jun-Yang Jiao, Ke Fu, Xi-Bin L. Dynamical analysis of a rigid body in a movable circular-arc groove. Eur. J. Phys. 47 (2026) 055007