Principios de conservación

En la figura, observamos la posición inicial de una partícula de masa m que se suelta en la posición angular θ₀, desliza a lo largo de la cúpula sin rozamiento. En el instante t su velocidad es Rdθ/dt, cuya dirección es tangente a la circunferencia de radio R

La cúpula de masa M y radio R desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento. En el instante inicial t=0 está en reposo y en el instante t lleva una velocidad V

Conservación de la energía

La energía total se mantiene constante e igual a la inicial

${\displaystyle E_0=mgR\left(1-\cos {\theta }_0\right)}$

Hemos tomado el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de su trayectoria

En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa de la partícula respecto de la cúpula invertida es v=R·dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad de la partícula respecto del Sistema de Referencia Inercial, es la suma vectorial de estas dos velocidades. La energía cinética de la partícula es

${\displaystyle \frac{1}{2}m\left\{{\left(R\frac{d\theta }{dt}+V\cos \theta \right)}^2+V^2{\sin }^2\theta \right\}}$

La energía potencial de la partícula es mgR(1-cosθ)

La energía cinética de la cúpula es MV²/2

La energía en el instante t es

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m\left\{{\left(R\frac{d\theta }{dt}+V\cos \theta \right)}^2+V^2{\sin }^2\theta \right\}+\frac{1}{2}M{V}^2+mgR\left(1-\cos \theta \right)}$

Igualamos la energía inicial a la energía del sistema en el instante t

${\displaystyle \begin{array}{l}mgR\left(1-\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}m\left\{R^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+2R\frac{d\theta }{dt}V\cos \theta \right\}+\frac{1}{2}\left(M+m\right)V^2+mgR\left(1-\cos \theta \right)\\ mgR\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}m\left\{R^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+2R\frac{d\theta }{dt}V\cos \theta \right\}+\frac{1}{2}\left(M+m\right)V^2\end{array}}$

Conservación del momento lineal

El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y la partícula. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(V+R\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \right)+MV=0\\ V=-\frac{m}{m+M}R\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \end{array}}$

R·(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa de la partícula. Véase la figura

En este sistema de dos ecuaciones, eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa R·dθ/dt de la partícula

${\displaystyle \begin{array}{l}mgR\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}m\left\{R^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+2R\frac{d\theta }{dt}\left(-\frac{m}{m+M}R\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \right)\cos \theta \right\}+\frac{1}{2}\left(M+m\right){\left(-\frac{m}{m+M}R\frac{d\theta }{dt}\cos \theta \right)}^2\\ g\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)=\frac{1}{2}mR{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\frac{1}{2}\frac{m}{m+M}R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2{\cos }^2\theta \\ R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{2\left(m+M\right)g\left(\cos \theta -\cos {\theta }_0\right)}{M+m{\sin }^2\theta }\end{array}}$

Ecuaciones del movimiento

Ecuaciones del movimiento de la partícula

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son

• el peso mg
• la reacción de la cúpula N, la fuerza que ejerce la cúpula sobre la partícula

La partícula describe un movimiento circular con aceleraciones relativas

• En la dirección tangencial, $a_t=R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$
• En la dirección normal, $a_n=R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2$

A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula

• La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

${\displaystyle m\left(R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+a\cos \theta \right)=-mg\sin \theta }$

• La ecuación del movimiento en la dirección normal es

${\displaystyle m\left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-a\sin \theta \right)=N-mg\cos \theta }$

Ecuación del movimiento de la cúpula

La fuerza que ejerce la partícula sobre la cúpula es N pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es

${\displaystyle Ma=N\sin \theta }$

Sustituimos N en la segunda ecuación del movimiento de la partícula y despejamos la aceleración a de la cúpula invertida.

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-a\sin \theta \right)=\frac{Ma}{\sin \theta }-mg\cos \theta \\ a=\frac{m\sin \theta \left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+g\cos \theta \right)}{M+m{\sin }^2\theta }\end{array}}$

Sustituímos la aceleración a en la primera ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{m\sin \theta \left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+g\cos \theta \right)}{M+m{\sin }^2\theta }\cos \theta =-g\sin \theta \\ \left(M+m{\sin }^2\theta \right)R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+mR{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta \cos \theta +\left(M+m\right)g\sin \theta =0\end{array}}$

Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, la partícula parte de la posición θ=θ₀, en reposo.

Ecuaciones de Lagrange

• Posición

La posición del centro de la cúpula semiesférica y de la partícula respecto del Sistema de Referencia Inercial

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\overrightarrow{r_c}=x\widehat{i}\\ \overrightarrow{r_p}=\left(x+R\sin \theta \right)\widehat{i}+\left(R-R\cos \theta \right)\widehat{j}\end{array}}$

• Velocidad

Derivando respecto del tiempo obtenemos el vector velocidad de la cúpula y de la partícula

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\overrightarrow{V}=\frac{dx}{dt}\widehat{i}\\ \overrightarrow{v}=\left(\frac{dx}{dt}+R\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{i}+R\sin \theta \frac{d\theta }{dt}\widehat{j}\end{array}}$

• La energía cinética de la partícula y de la cúpula

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_k=\frac{1}{2}M{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m\left\{{\left(\frac{dx}{dt}+R\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\right)}^2+{\left(R\sin \theta \frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right\}=\\ \frac{1}{2}(m+M){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{R}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+mR\cos \theta \frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}\end{array}}$

• La energía potencial de la partícula

${\displaystyle E_p=mgR\left(1-\cos \theta \right)}$

La lagrangiana y las ecuaciones del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}L=E_k-E_p=\frac{1}{2}(m+M){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{R}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+mR\cos \theta \frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}-mgR+mgR\cos \theta \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0\\ \frac{d}{dt}\left((m+M)\left(\frac{dx}{dt}\right)+mR\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\right)=0\end{array}}$

Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, que es nulo, ya que la partícula y la cúpula estan en reposo en el instante t=0

${\displaystyle (m+M)\frac{dx}{dt}+mR\cos \theta \frac{d\theta }{dt}=0}$

La segunda ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0\\ \frac{d}{dt}\left(R^2\frac{d\theta }{dt}+R\cos \theta \frac{dx}{dt}\right)+R\sin \theta \frac{dx}{dt}\frac{d\theta }{dt}+gR\sin \theta =0\\ R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\cos \theta \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+g\sin \theta =0\end{array}}$

Derivamos la ecuación de la conservación del momento lineal respecto del tiempo

${\displaystyle (m+M)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+mR\cos \theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}-mR\sin \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=0}$

y con la segunda, eliminamos la aceleración de la cúpula

${\displaystyle \begin{array}{l}R\left(1-\frac{m}{m+M}{\cos }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{m}{m+M}\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+g\sin \theta =0\\ \left(M+m{\sin }^2\theta \right)R\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+m\sin \theta \cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\left(m+M\right)g\sin \theta =0\end{array}}$

Obteniendo la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton

Movimiento de los cuerpos

En este apartado describimos el movimiento de la cúpula y la partícula

Movimiento relativo de la partícula

Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento ode45 de MATLAB para una cúpula de radio R=1 m. El cociente de m/M=0.2, entre la masa de la partícula y de la cúpula. La partícula parte de la posición θ₀=π/3

Representamos la posición θ de la partícula θ que desliza sobre la cúpula en función del tiempo t

R=1; %radio
m=0.2; %masa partícula
M=1; %masa cúpula
th_0=pi/3; %posición inicial
f=@(t,x) [x(2); -(m*R*sin(x(1))*cos(x(1))*x(2)^2+(m+M)*9.8*sin(x(1)))
/(M+m*sin(x(1))^2)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,2],[th_0,0]);
plot(t,x(:,1)*180/pi)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Movimiento de la partícula')
%energías
E0=m*9.8*R*(1-cos(th_0)); %inicial
V=-m*R*x(:,2).*cos(x(:,1))/(m+M); %velocidad cúpula
E=m*R^2*x(:,2).^2/2+m*R*x(:,2).*V.*cos(x(:,1))+(m+M)*V.^2/2+
m*9.8*R*(1-cos(x(:,1)));

Comprobamos la conservación de la energía

>> E0
E0 =
     0.9800
>> E
E =
    0.9800
    0.9800
    0.9800
    ....
    0.9792
    0.9792

Movimiento de la cúpula

No es necesario resolver la ecuación diferencial en x para calcular la posición del centro de la cúpula. En este sistema de dos partículas, el centro de masas permanece fijo, ya que la partícula y la cúpula parten del reposo

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_{cm}=\frac{Mx+m(x+R\sin \theta )}{m+M}=0\\ x=-\frac{m}{m+M}R\sin \theta \end{array}}$

Añadimos esta porción de código, para representar la posición del centro de la cúpula x en función del tiempo

...
figure
xx=-m*R*sin(x(:,1))/(m+M);
plot(t,xx)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')

De modo similar, la velocidad de la cúpula es

${\displaystyle V=-\frac{m}{m+M}R\frac{d\theta }{dt}\cos \theta }$

Añadimos esta porción de código, para representar la velocidad del centro de la cúpula V en función del tiempo

...
figure
plot(t,V)
grid on
xlabel('t')
ylabel('V')
title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')

Actividades

Se introduce

• El cociente de las masas m/M de la partícula y la masa de la cúpula, en el control titulado Cociente masas
• La posición angular inicial de partida de la partícula (en grados) en el control titulado Angulo

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior, se proporcionan los siguientes datos:

• El tiempo t
• la posición angular θ de la partícula
• la velocidad angular dθ/dt de la partícula
• la energía del sistema que permanece constante
• la posición del centro de la cúpula en cm

Referencias

CHEN Gang．RUAN Zhong-zhong. A way forming an elliptical pendulum. College Physics Volume 25, Issue 5, 20 May 2006