Un cuerpo desliza sobre una cúpula cóncava móvil
Principios de conservación

En la figura, observamos la posición inicial de una partícula de masa m que se suelta en la posición angular θ0, desliza a lo largo de la cúpula sin rozamiento. En el instante t su velocidad es Rdθ/dt, cuya dirección es tangente a la circunferencia de radio R
La cúpula de masa M y radio R desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento. En el instante inicial t=0 está en reposo y en el instante t lleva una velocidad V
Conservación de la energía
La energía total se mantiene constante e igual a la inicial
Hemos tomado el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de su trayectoria
En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa de la partícula respecto de la cúpula invertida es v=R·dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad de la partícula respecto del Sistema de Referencia Inercial, es la suma vectorial de estas dos velocidades. La energía cinética de la partícula es
La energía potencial de la partícula es mgR(1-cosθ)
La energía cinética de la cúpula es MV2/2
La energía en el instante t es
Igualamos la energía inicial a la energía del sistema en el instante t
Conservación del momento lineal
El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y la partícula. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva
R·(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa de la partícula. Véase la figura
En este sistema de dos ecuaciones, eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa R·dθ/dt de la partícula
Ecuaciones del movimiento
Ecuaciones del movimiento de la partícula
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son
- el peso mg
- la reacción de la cúpula N, la fuerza que ejerce la cúpula sobre la partícula
La partícula describe un movimiento circular con aceleraciones relativas
- En la dirección tangencial,
- En la dirección normal,
A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula
La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es
La ecuación del movimiento en la dirección normal es
Ecuación del movimiento de la cúpula

La fuerza que ejerce la partícula sobre la cúpula es N pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es
Sustituimos N en la segunda ecuación del movimiento de la partícula y despejamos la aceleración a de la cúpula invertida.
Sustituímos la aceleración a en la primera ecuación del movimiento
Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, la partícula parte de la posición θ=θ0, en reposo.
Ecuaciones de Lagrange
Posición
Velocidad
La energía cinética de la partícula y de la cúpula
La energía potencial de la partícula
La posición del centro de la cúpula semiesférica y de la partícula respecto del Sistema de Referencia Inercial
Derivando respecto del tiempo obtenemos el vector velocidad de la cúpula y de la partícula
La lagrangiana y las ecuaciones del movimiento
Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, que es nulo, ya que la partícula y la cúpula estan en reposo en el instante t=0
La segunda ecuación del movimiento es
Derivamos la ecuación de la conservación del momento lineal respecto del tiempo
y con la segunda, eliminamos la aceleración de la cúpula
Obteniendo la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton
Movimiento de los cuerpos
En este apartado describimos el movimiento de la cúpula y la partícula
Movimiento relativo de la partícula
Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento
Representamos la posición θ de la partícula θ que desliza sobre la cúpula en función del tiempo t
R=1; %radio m=0.2; %masa partícula M=1; %masa cúpula th_0=pi/3; %posición inicial f=@(t,x) [x(2); -(m*R*sin(x(1))*cos(x(1))*x(2)^2+(m+M)*9.8*sin(x(1))) /(M+m*sin(x(1))^2)]; [t,x]=ode45(f,[0,2],[th_0,0]); plot(t,x(:,1)*180/pi) grid on xlabel('t') ylabel('\theta') title('Movimiento de la partícula') %energías E0=m*9.8*R*(1-cos(th_0)); %inicial V=-m*R*x(:,2).*cos(x(:,1))/(m+M); %velocidad cúpula E=m*R^2*x(:,2).^2/2+m*R*x(:,2).*V.*cos(x(:,1))+(m+M)*V.^2/2+ m*9.8*R*(1-cos(x(:,1)));
Comprobamos la conservación de la energía
>> E0 E0 = 0.9800 >> E E = 0.9800 0.9800 0.9800 .... 0.9792 0.9792
Movimiento de la cúpula
No es necesario resolver la ecuación diferencial en x para calcular la posición del centro de la cúpula. En este sistema de dos partículas, el centro de masas permanece fijo, ya que la partícula y la cúpula parten del reposo
Añadimos esta porción de código, para representar la posición del centro de la cúpula x en función del tiempo
... figure xx=-m*R*sin(x(:,1))/(m+M); plot(t,xx) grid on xlabel('t') ylabel('x') title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')
De modo similar, la velocidad de la cúpula es
Añadimos esta porción de código, para representar la velocidad del centro de la cúpula V en función del tiempo
... figure plot(t,V) grid on xlabel('t') ylabel('V') title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')
Actividades
Se introduce
- El cociente de las masas m/M de la partícula y la masa de la cúpula, en el control titulado Cociente masas
- La posición angular inicial de partida de la partícula (en grados) en el control titulado Angulo
Se pulsa el botón titulado Nuevo
En la parte superior, se proporcionan los siguientes datos:
- El tiempo t
- la posición angular θ de la partícula
- la velocidad angular dθ/dt de la partícula
- la energía del sistema que permanece constante
- la posición del centro de la cúpula en cm
Referencias
CHEN Gangļ¼RUAN Zhong-zhong. A way forming an elliptical pendulum. College Physics Volume 25, Issue 5, 20 May 2006