Un cuerpo desliza sobre una cúpula cóncava móvil

Principios de conservación

En la figura, observamos la posición inicial de una partícula de masa m que se suelta en la posición angular θ0, desliza a lo largo de la cúpula sin rozamiento. En el instante t su velocidad es Rdθ/dt, cuya dirección es tangente a la circunferencia de radio R

La cúpula de masa M y radio R desliza sobre el plano horizontal sin rozamiento. En el instante inicial t=0 está en reposo y en el instante t lleva una velocidad V

Conservación de la energía

La energía total se mantiene constante e igual a la inicial

E 0 =mgR( 1cos θ 0 )

Hemos tomado el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de su trayectoria

En el instante t, la velocidad de la cúpula es V en la dirección horizontal, la velocidad relativa de la partícula respecto de la cúpula invertida es v=R·dθ/dt, en la dirección tangencial. La velocidad de la partícula respecto del Sistema de Referencia Inercial, es la suma vectorial de estas dos velocidades. La energía cinética de la partícula es

1 2 m{ ( R dθ dt +Vcosθ ) 2 + V 2 sin 2 θ }

La energía potencial de la partícula es mgR(1-cosθ)

La energía cinética de la cúpula es MV2/2

La energía en el instante t es

E= 1 2 m{ ( R dθ dt +Vcosθ ) 2 + V 2 sin 2 θ }+ 1 2 M V 2 +mgR( 1cosθ )

Igualamos la energía inicial a la energía del sistema en el instante t

mgR( 1cos θ 0 )= 1 2 m{ R 2 ( dθ dt ) 2 +2R dθ dt Vcosθ }+ 1 2 ( M+m ) V 2 +mgR( 1cosθ ) mgR( cosθcos θ 0 )= 1 2 m{ R 2 ( dθ dt ) 2 +2R dθ dt Vcosθ }+ 1 2 ( M+m ) V 2

Conservación del momento lineal

El peso y la reacción del plano horizontal sobre el que desliza la cúpula son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema formado por el cúpula semiesférica y la partícula. No hay fuerzas externas en la dirección horizontal por lo que el momento lineal en esta dirección, se conserva

m( V+R dθ dt cosθ )+MV=0 V= m m+M R dθ dt cosθ

(dθ/dt)cosθ es la componente horizontal de la velocidad relativa de la partícula. Véase la figura

En este sistema de dos ecuaciones, eliminamos la velocidad de la cúpula V y despejamos la velocidad relativa R·dθ/dt de la partícula

mgR( cosθcos θ 0 )= 1 2 m{ R 2 ( dθ dt ) 2 +2R dθ dt ( m m+M R dθ dt cosθ )cosθ }+ 1 2 ( M+m ) ( m m+M R dθ dt cosθ ) 2 g( cosθcos θ 0 )= 1 2 mR ( dθ dt ) 2 1 2 m m+M R ( dθ dt ) 2 cos 2 θ R ( dθ dt ) 2 = 2( m+M )g( cosθcos θ 0 ) M+m sin 2 θ

Ecuaciones del movimiento

Ecuaciones del movimiento de la partícula

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son

La partícula describe un movimiento circular con aceleraciones relativas

A estas aceleraciones hay que sumarle vectorialmente la aceleración a de la cúpula

Ecuación del movimiento de la cúpula

La fuerza que ejerce la partícula sobre la cúpula es N pero de sentido contrario. La ecuación del movimiento de la cúpula es

Ma=Nsinθ

Sustituimos N en la segunda ecuación del movimiento de la partícula y despejamos la aceleración a de la cúpula invertida.

m( R ( dθ dt ) 2 asinθ )= Ma sinθ mgcosθ a= msinθ( R ( dθ dt ) 2 +gcosθ ) M+m sin 2 θ

Sustituímos la aceleración a en la primera ecuación del movimiento

R d 2 θ d t 2 + msinθ( R ( dθ dt ) 2 +gcosθ ) M+m sin 2 θ cosθ=gsinθ ( M+m sin 2 θ )R d 2 θ d t 2 +mR ( dθ dt ) 2 sinθcosθ+( M+m )gsinθ=0

Resolveremos esta ecuación del movimiento mediante procedimientos numéricos, sabiendo que en el instante t=0, la partícula parte de la posición θ=θ0, en reposo.

Ecuaciones de Lagrange

La lagrangiana y las ecuaciones del movimiento

L= E k E p = 1 2 (m+M) ( dx dt ) 2 + 1 2 m R 2 ( dθ dt ) 2 +mRcosθ dx dt dθ dt mgR+mgRcosθ d dt ( L x ˙ ) L x =0 d dt ( (m+M)( dx dt )+mRcosθ dθ dt )=0

Hay una cantidad que se mantiene constante e igual a su valor inicial, el momento lineal horizontal, que es nulo, ya que la partícula y la cúpula estan en reposo en el instante t=0

(m+M) dx dt +mRcosθ dθ dt =0

La segunda ecuación del movimiento es

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( R 2 dθ dt +Rcosθ dx dt )+Rsinθ dx dt dθ dt +gRsinθ=0 R d 2 θ d t 2 +cosθ d 2 x d t 2 +gsinθ=0

Derivamos la ecuación de la conservación del momento lineal respecto del tiempo

(m+M) d 2 x d t 2 +mRcosθ d 2 θ d t 2 mRsinθ ( dθ dt ) 2 =0

y con la segunda, eliminamos la aceleración de la cúpula

R( 1 m m+M cos 2 θ ) d 2 θ d t 2 + m m+M sinθcosθ ( dθ dt ) 2 +gsinθ=0 ( M+m sin 2 θ )R d 2 θ d t 2 +msinθcosθ ( dθ dt ) 2 +( m+M )gsinθ=0

Obteniendo la misma ecuación diferencial que aplicando la Segunda Ley de Newton

Movimiento de los cuerpos

En este apartado describimos el movimiento de la cúpula y la partícula

Movimiento relativo de la partícula

Resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento ode45 de MATLAB para una cúpula de radio R=1 m. El cociente de m/M=0.2, entre la masa de la partícula y de la cúpula. La partícula parte de la posición θ0=π/3

Representamos la posición θ de la partícula θ que desliza sobre la cúpula en función del tiempo t

R=1; %radio
m=0.2; %masa partícula
M=1; %masa cúpula
th_0=pi/3; %posición inicial
f=@(t,x) [x(2); -(m*R*sin(x(1))*cos(x(1))*x(2)^2+(m+M)*9.8*sin(x(1)))
/(M+m*sin(x(1))^2)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,2],[th_0,0]);
plot(t,x(:,1)*180/pi)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Movimiento de la partícula')
%energías
E0=m*9.8*R*(1-cos(th_0)); %inicial
V=-m*R*x(:,2).*cos(x(:,1))/(m+M); %velocidad cúpula
E=m*R^2*x(:,2).^2/2+m*R*x(:,2).*V.*cos(x(:,1))+(m+M)*V.^2/2+
m*9.8*R*(1-cos(x(:,1)));

Comprobamos la conservación de la energía

>> E0
E0 =
     0.9800
>> E
E =
    0.9800
    0.9800
    0.9800
    ....
    0.9792
    0.9792

Movimiento de la cúpula

No es necesario resolver la ecuación diferencial en x para calcular la posición del centro de la cúpula. En este sistema de dos partículas, el centro de masas permanece fijo, ya que la partícula y la cúpula parten del reposo

x cm = Mx+m(x+Rsinθ) m+M =0 x= m m+M Rsinθ

Añadimos esta porción de código, para representar la posición del centro de la cúpula x en función del tiempo

...
figure
xx=-m*R*sin(x(:,1))/(m+M);
plot(t,xx)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')

De modo similar, la velocidad de la cúpula es

V= m m+M R dθ dt cosθ

Añadimos esta porción de código, para representar la velocidad del centro de la cúpula V en función del tiempo

...
figure
plot(t,V)
grid on
xlabel('t')
ylabel('V')
title('Movimiento de la cúpula invertida móvil')

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior, se proporcionan los siguientes datos:


Referencias

CHEN Gangļ¼ŽRUAN Zhong-zhong. A way forming an elliptical pendulum. College Physics Volume 25, Issue 5, 20 May 2006