Rozamiento de la cuerda sobre una polea
Para amarrar un objeto, que eventualmente pueda ejercer una fuerza intensa, se ata el objeto al extremo de una soga y el otro extremo se enrolla a un poste firmemente fijado al suelo. Esto es lo que hacen los marineros cuando amarran un barco al muelle. La fuerza de rozamiento entre la soga y el poste es tanto mayor cuanto lo sea el ángulo (número de vueltas) de contacto entre ambos cuerpos
![](disco.gif)
En la figura, se muestran las fuerzas normales n que se producen en cada uno de los puntos de contacto entre la cuerda y el cilindro y las correspondientes fuerzas de rozamiento fr cuya dirección es tangente a la circunferencia de radio R y opuestas a la dirección de rotación. Esto reduce la tensión de la cuerda de modo que T1<T2
En esta página, vamos a establecer la relación entre las dos tensiones T1 y T2 y el ángulo de contacto θ de la cuerda con el cilindro cuando la cuerda está a punto de deslizar sobre el cilindro.
En la figura, se muestran las fuerzas sobre un elemento de cuerda de longitud R·Δθ, comprendido entre θ-Δθ/2 y θ+Δθ/2.
La tensión que ejerce la parte izquierda de la cuerda T(θ+Δθ/2) sobre dicho elemento, su dirección es tangente a la circunferencia de radio R en la posición angular θ+Δθ/2, o bien hace un ángulo Δθ/2 con la dirección tangencial.
La tensión que ejerce la parte derecha de la cuerda T(θ-Δθ/2) sobre dicho elemento, su dirección es tangente a la circunferencia de radio R en la posición angular θ-Δθ/2, o bien hace un ángulo Δθ/2 con la dirección tangencial.
La reacción n de la superficie cilíndrica, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento fr cuya dirección es tangencial y opuesta al movimiento de rotación
Formulamos las ecuaciones de equilibrio en la dirección tangencial
y en la dirección normal
Donde fr y n tienen dimensiones de fuerza por unidad de ángulo en radianes
En el límite cuando Δθ→0, cos(Δθ/2)→1
Hemos calculado los módulos fr y n, los vectores son
Fuerzas que ejerce el cilindro sobre la cuerda
Integramos entre 0 y π para calcular las fuerzas totales y que ejerce el cilindro sobre la cuerda
Vector fuerza de rozamiento
Vector fuerza normal
Integramos por partes la primera, la segunda es similar
El vector , es
Donde T2=T(π) y T1=T(0) son las fuerzas que se ejercen sobre la porción de cuerda de longitud πR enrollada en el cilindro en dichas posiciones, θ=0 y π
La suma de las dos fuerzas que ejerce el cilindro sobre la cuerda es
Momentos respecto del eje del cilindro
- La fuerza normal no produce momento, ya que su dirección es radial
- El momento de la fuerza cuya dirección es tangencial es fr·R
El momento total respecto del eje del cilindro es
La cuerda a punto de deslizar sobre el cilindro
Cuando la cuerda está a punto de deslizar se cumple que fr=μ·n
donde μ es el coeficiente estático
Esta relación implica que todos los puntos θ de la cuerda alcanzan esta condición simultáneamente, ya que la cuerda es inextensible.
Como T(π)=T2, tenemos
Ahora, ya podemos calcular el vector que ejerce el cilindro sobre la cuerda cuando está a punto de deslizar (máximo valor de la fuerza de rozamiento)
Ejemplos
En general, la relación entre T2 y T1 es
donde θ es el ángulo de contacto entre la cuerda y el cilindro
Problema 1
Para que el cuerpo de masa m esté en equlibrio en reposo sobre el plano inclinado, (véase el apartado Ejercicios de la página dedicada al estudio de la Fuerza de rozamiento) la fuerza F que aplicamos no deberá superar un valor máximo ni ser inferior a un valor mínimo, es decir, deberá estar comprendida en el intervalo (Fmáx, Fmín)
Fmáx=mgsinθ+μsmgcosθ (figura inferior izquierda)
Fmín=mgsinθ-μsmgcosθ (figura inferior derecha)
Siendo μs=0.3 es el coeficiente estático
Del mismo modo, en el movimiento de rotación, el valor máximo se obtiene en la figura de la izquierda, identificando T2=F, T1=10·9.8, θ=π/2
El valor mínimo, se obtiene en la figura de la derecha, identificando T2=10·9.8, T1=F
-
Supongamos que F=50 N, determinar el valor mínimo del ángulo α para que el peso de 10 kg no caiga.
![](problema_2_1.gif)
Identificando T2=10·9.8, T1=F, θ=π/2+α
Problema 2
![](problema_1.gif)
Calcular el coeficiente estático μs mínimo que impide el deslizamiento de la cuerda enrollada en el cilindro. Datos, m2=10 kg, m1=5 kg
El resultado es μs=0.2206 para el coeficiente estático
Supongamos que incrementamos la masa m2>m1exp(πμs), la cuerda desliza sobre el cilindro, las ecuaciones del movimiento son
![](problema_1_1.gif)
Donde μk es el coeficiente cinético. Supondremos que la relación entre las tensiones derivada para el caso estático se mantiene cuando ambos cuerpos (cuerda y cilindro) están en movimiento relativo
Supongamos que m2=15 kg. La aceleración de las pesas es a=1.96 m/s2
La aceleración a es positiva ya que m2>m1exp(μsπ) en caso contrario la cuerda permanece en reposo, la tensión T2=m2g no supera el valor máximo m1g·exp(μsπ)
Comparamos con el caso más simple, una máquina de Atwood con una polea ideal de masa despreciable
Con los datos m2=15 kg, m1=5 kg la aceleración es a=4.9 m/s2
La máquina de Atwood
![](atwood.gif)
La máquina de Atwood, consta de una polea de masa M y radio R. Si tiene forma de disco su momento de inercia es I=MR2/2
Las pesas que cuelgan del hilo inextensible y de masa despreciable tienen masas m2 y m1, respectivamente
Las ecuaciones del movimiento de las pesas y de la polea son
Analizamos tres situaciones:
La cuerda no desliza sobre la polea, se cumple que a=α·R
En la situación límite, la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo y la cuerda está a punto de deslizar sobre la polea. Se cumple
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Calculamos la masa crítica de la polea
Por ejemplo, si m1=1 kg, m2= 3 kg y μs=0.3, se obtiene que Mc=43.3 kg
Supongamos ahora, que cambiamos la masa de la polea M=40 kg (menor que Mc)
mu=0.3; %coeficiente estático m1=1; %pesas m2=3; M=40; %masa polea a=(m2-m1)*9.8/(m2+m1+M/2); %aceleración T2=(2*m1+M/2)*m2*9.8/(m2+m1+M/2); %tensiones T1=(2*m2+M/2)*m1*9.8/(m2+m1+M/2); T2m=T1*exp(mu*pi); %valor máximo de la tensión disp([T2, T2m])
26.9500 27.2459
La tensión T2=26.95 N. El valor máximo de la tensión justo en el momento en que la cuerda empieza a deslizar sobre la polea es T1exp(πμs)=27.25 N. La tensión T2 es inferior a la máxima, la cuerda no desliza sobre la polea.
Si la masa de la polea M>Mc, la cuerda puede deslizar sobre la polea
Para que la cuerda deslice sobre la polea se tiene que cumplir que m2>m1exp(μsπ) al igual que la polea en reposo (problema 2) y esta condición es independiente de la masa M de la polea
Si la cuerda desliza, ya no se cumple la relación entre aceleraciones, a≠α·R. La relación entre las tensiones es
Junto con las ecuaciones del movimiento, nos permite calcular la aceleración a de las pesas y la aceleración angular del disco α
La aceleración a tiene el mismo valor que el que se obtuvo considerando la polea en reposo (problema 2). Es independiente de la masa M de la polea
Cuando la masa M de la polea es muy grande, su aceleración angular tiende a cero.
Supongamos que m1=1 kg, m2= 3 kg, M=50 kg y μk=0.3.
mu=0.3; %coeficiente cinético m1=1; %pesas m2=3; M=50; %masa polea, mayor que la crítica a=(m2-m1*exp(mu*pi))*9.8/(m2+m1*exp(mu*pi)); T1=2*m1*m2*9.8/(m2+m1*exp(mu*pi)); T2=T1*exp(mu*pi); alfaR=2*m1*m2*9.8*(exp(mu*pi)-1)/(M*(m2+m1*exp(mu*pi))); %límite para deslizar disp([a, alfaR])
0.7635 0.3309
La cuerda desliza sobre la polea, la aceleración de las pesas es a=0.76 m/s2 y la tangencial de un punto del borde de la polea α·R=0.33 m/s2
Si incrementamos el coeficiente estático a μs=0.5, deja de cumplirse la relación m2>m1exp(μsπ), (3<4.81) la tensión de la cuerda T2=m2g no supera el valor máximo m1g·exp(μsπ), la cuerda permenece en reposo sobre la polea, estamos en el primer caso.
Actividades
Se introduce
- La masa M de la polea, en el control titulado Masa polea M
- El coeficiente estático μs y cinético μk con el mismo valor, en el control titulado Coef. rozamiento μ
- La masa de la pesa derecha se ha fijado en m1=1 kg y la izquierda en m2=3 kg
Para m1=1 kg, m2=3 kg y μ=0.3, la masa crítica de la polea es Mc=43.3 kg
- Si la masa de la polea M es menor que Mc la cuerda no desliza
- Si la masa de la polea M es mayor que Mc la cuerda desliza
En la parte derecha, se proporcionan los datos de
- El tiempo t
- La altura de la pesa izquierda de masa m2
- La aceleración a de las pesas
- La aceleración tangencial αR de un punto del borde de la polea
- La tensión T1 de la parte derecha de la cuerda
- La tensión T2 de la parte izquierda de la cuerda
- El valor máximo de T2=T1exp(μsπ)
Los puntos de color azul claro sobre la cuerda nos permiten apreciar el movimiento relativo de la cuerda respecto de la polea por ejemplo, para M=45 y μ=0.3
Referencias
Thiago R. de Oliveira, Nivaldo A. Lemos. Force and torque of a string on a pulley. Am. J. Phys. 86 (4), April 2018. pp. 275-279
J. L. Meriam, L. G. Kraige. Engineering Mechanics, Volume 1, Statics. Seventh Edition, John Wiley & Sons, Inc. 2006, pp. 379