El peso del cuerpo es igual al peso ρa de una longitud a de la cadena. Donde ρ es la masa por unidad de longitud de la cadena.

Por tanto, el extremo de la cadena unido al hilo se eleva una longitud x=a para que se equilibre con el peso del cuerpo en una máquina de Atwood, tal como se muestra en la figura.

En la situación inicial, la cadena está completamente apilada en el suelo, x=0, y la velocidad inicial v=0. El bloque tira de la cadena que se eleva hasta que alcanza una altura máxima. Analizamos el movimiento de la cadena cuando su extremo se ha elevado una altura x, tal como se muestra en la figura

Movimiento de la cadena hacia arriba.

Las fuerzas sobre el cuerpo son:

• El peso del cuerpo, ρag

• La tensión del hilo, T.

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \rho ag-T=\rho a\frac{dv}{dt}}$

Las fuerzas sobre la cadena son:

• El peso de la longitud x de la cadena, ρxg, que actúa en el centro de masas

• La tensión del hilo T, que es la misma a ambos lados de la polea si se considera que tiene una masa despreciable.

Empleamos la definición de fuerza F=dp/dt, donde p es el momento lineal de la cadena, para escribir la ecuación de su movimiento

${\displaystyle T-\rho xg=\frac{d(\rho xv)}{dt}T-\rho xg=\rho x\frac{dv}{dt}+\rho v^2}$

Eliminamos T del sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle (a+x)\frac{dv}{dt}=g(a-x)-v^2}$

Expresamos v en función de la altura x del extremo de la cadena en vez del tiempo t.

${\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\frac{dv}{dx}=\frac{1}{2}\frac{d{v}^2}{dx}}$

y multiplicamos la ecuación diferencial por (a+x), resultando

${\displaystyle {\left(a+x\right)}^2\frac{d{v}^2}{dx}+2v^2(a+x)=2g(a-x)(a+x)}$

Haciendo el cambio de variable z²=(a+x)²·v²

${\displaystyle \frac{d{z}^2}{dx}=2g(a-x)(a+x)}$

Integrando

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{z_0}{\overset{z}{\int }}d{z}^2}={\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}2g(a^2-x^2)}dx\\ z^2-z_0^2=2g\left(a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)-2g\left(a^2{x}_0-\frac{x_0^3}{3}\right)\end{array}}$

Deshaciendo el cambio

${\displaystyle v^2{\left(a+x\right)}^2-v_0^2{\left(a+x_0\right)}^2=2g\left(a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)-2g\left(a^2{x}_0-\frac{x_0^3}{3}\right)}$

Si partimos de la posición inicial x₀=0 con velocidad inicial v₀=0.

${\displaystyle v^2{\left(a+x\right)}^2=2g\left(a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)}$

El extremo de la cadena se mueve hacia arriba, el cuerpo se mueve hacia abajo con la misma velocidad, hasta que se detienen v=0, en la posición

${\displaystyle x_u=a\sqrt{3}}$

Ecuación del movimiento (v>0)

Para calcular la posición del extremo de la cadena en función del tiempo, resolvemos mediante procedimientos numéricos la ecuación diferencial del movimiento

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{1}{a+x}\left(g(a-x)-{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2\right)}$

con las condiciones iniciales t=0, x=0, dx/dt=0.

Movimiento de la cadena hacia abajo.

La ecuación del movimiento del cuerpo (v<0) es

${\displaystyle \rho ag-T=\rho a\frac{dv}{dt}}$

De acuerdo con el artículo mencionado en las referencias, durante el movimiento de la cadena hacia abajo, el suelo ha de actuar con una fuerza suficiente para detener el movimiento de los eslabones de la cadena que lo golpean.

En un intervalo de tiempo dt, una masa dm de la cadena cuya velocidad es v, choca inelásticamente contra el suelo y se detiene completamente. Esta disminución de momento lineal v·dm de la cadena en el tiempo dt, se debe a su interacción con el suelo, que podemos describir mediante una fuerza hacia arriba F_s= vdm/dt=ρv²

En el apartado al final de esta página "Fuerza que ejerce el suelo sobre la cadena que cae" se pone un ejemplo.

La ecuación del movimiento de la cadena hacia abajo (v<0) será

${\displaystyle T-\rho xg+\rho v^2=\frac{d(\rho xv)}{dt}T-\rho xg+\rho v^2=\rho x\frac{dv}{dt}+\rho v^2}$

Eliminamos T del sistema de dos ecuaciones

${\displaystyle (a+x)\frac{dv}{dt}=g(a-x)}$

Expresamos v en función de la longitud x de la cadena en vez del tiempo t, como en el apartado Movimiento de la cadena hacia arriba.

${\displaystyle \frac{d{v}^2}{dx}=\frac{2g(a-x)}{(a+x)}}$

Integramos con la condición de que en la posición x₀, v=v₀

${\displaystyle {\displaystyle \underset{v_0}{\overset{v}{\int }}d{v}^2}={\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}2g\left(\frac{2a}{a+x}-1\right)}dx}$

La integral es inmediata

${\displaystyle v^2-v_0^2=2g\left(2a\ln \frac{a+x}{a+x_0}-x+x_0\right)}$

En el movimiento hacia abajo, parte de la posición inicial $x_0=a\sqrt{3}$ con velocidad v₀=0.

${\displaystyle v^2=2g\left(2a\ln \frac{a+x}{a+a\sqrt{3}}-x+a\sqrt{3}\right)}$

La velocidad se hace nula v=0 en la posición x_d=0.412·a, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente

${\displaystyle 2\ln \frac{1+z}{1+\sqrt{3}}-z+\sqrt{3}=0z=\frac{x}{a}}$

Ecuación del movimiento (v<0)

Para calcular la posición del extremo de la cadena en función del tiempo, resolvemos mediante procedimientos numéricos la ecuación diferencial del movimiento

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g\frac{a-x}{a+x}}$

con las condiciones iniciales t=t₀, $x_0=a\sqrt{3}$ , dx/dt=0.

Balance energético

Para efectuar el balance energético, comparamos la situación inicial y la final, cuando el extremo de la cadena se ha elevado una altura x, tal como se muestra en la figura.

La energía inicial cuando el extremo de la cadena está en el suelo x=0 y el cuerpo está a una altura h sobre el suelo es

E₀=ρagh

Cuando el extremo de la cadena asciende una altura x.

• La energía potencial del cuerpo es ρag(h-x)

• La energía potencial del centro de masa de la cadena es $\rho xg\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\rho x^{2}g$

• La energía cinética del cuerpo es $\frac{1}{2}\rho a{v}^2$

• La energía cinética de la cadena es $\frac{1}{2}\rho x{v}^2$

La energía final, es la suma de las cuatro contribuciones

${\displaystyle E=\rho ag(h-x)+\rho g\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\rho a{v}^2+\frac{1}{2}\rho x{v}^2}$

La razón del cambio de energía E con el tiempo t es

${\displaystyle \frac{dE}{dt}=-\rho gav+\rho gxv+\rho (a+x)v\frac{dv}{dt}+\frac{1}{2}\rho v^3}$

• En el movimiento hacia arriba tenemos que

${\displaystyle (a+x)\frac{dv}{dt}=g(a-x)-v^2}$

Simplificando llegamos a la expresión

${\displaystyle \frac{dE}{dt}=-\frac{1}{2}\rho v^3}$

La energía total del sistema disminuye con el tiempo en proporción al cubo de la velocidad.

• En el movimiento hacia abajo

${\displaystyle (a+x)\frac{dv}{dt}=g(a-x)}$

por lo que

${\displaystyle \frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\rho v^3}$

Como en el movimiento hacia abajo v<0. La energía E del sistema disminuye del mismo modo en el movimiento hacia arriba.

Calculamos la variación de energía en el movimiento hacia arriba desde x=0 (posición inicial de partida) hasta $x_u=a\sqrt{3}$ . En ambas posiciones la velocidad v=0.

${\displaystyle \Delta E=E-E_0=\rho g\frac{x_u^2}{2}+\rho ag(h-x_u)-\rho agh=\rho g\left(\frac{3}{2}-\sqrt{3}\right)a^2=-0.23\rho g{a}^2}$

Calculamos la variación de energía en el movimiento hacia abajo desde la posición $x_u=a\sqrt{3}$ hasta la posición x_d=0.412·a.

${\displaystyle \Delta E=\rho g\frac{x_d^2}{2}+\rho ag(h-x_d)-\rho g\frac{x_u^2}{2}-\rho ag(h-x_u)=-0.095\rho g{a}^2}$

Sucesivas posiciones del extremo de la cadena para las cuales v=0

• Movimiento hacia arriba

La velocidad del cuerpo y del extremo de la cadena viene dada por la ecuación

${\displaystyle v^2{\left(a+x\right)}^2-v_0^2{\left(a+x_0\right)}^2=2g\left(a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)-2g\left(a^2{x}_0-\frac{x_0^3}{3}\right)}$

Como la velocidad v₀=0 en la posición inicial x₀=x_d y v=0 en la posición final x=x_u. Conocida x_d se calcula x_u resolviendo la ecuación cúbica.

${\displaystyle \left(a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)-\left(a^2{x}_d-\frac{x_d^3}{3}\right)=\text{0}z-\frac{z^3}{3}-z_0+\frac{z_0^3}{3}=0}$

con z=x/a y z₀=x_d/a

Por ejemplo, el extremo de la cadena parte del reposo v₀=0 en la posición inicial x_d=0, se mueve hacia arriba hasta que alcanza la posición $x_u=a\sqrt{3}$

• Movimiento hacia abajo

La velocidad del bloque, durante el movimiento hacia abajo del extremo de la cadena viene dada por la ecuación

${\displaystyle v^2-v_0^2=2g\left(2a\ln \frac{a+x}{a+x_0}-x+x_0\right)}$

Como la velocidad v₀=0 en la posición inicial x₀=x_u y v=0 en la posición final x=x_d. Conocida x_u se calcula x_d resolviendo la ecuación trascendente.

${\displaystyle 2a\ln \frac{a+x}{a+x_u}-x+x_u=02\ln \frac{1+z}{1+z_0}-z+z_0=0}$

con z=x/a y z₀=x_u/a

Por ejemplo, el extremo de la cadena parte del reposo en la posición inicial $x_u=a\sqrt{3}$ y se mueve hacia abajo hasta que alcanza la posición x_d=0.412·a.

En la tabla y en la gráfica, se recogen los datos de las sucesivas posiciones x_d/a y x_u/a del extremo de la cadena para las cuales su velocidad v=0.

Las dos sucesiones convergen lentamente hacia el valor 1 que es la situación de equilibrio de un cuerpo cuya masa es igual a la de una porción de longitud a de la cadena (véase la figura al principio de la página).

Cálculo con MATLAB

Posiciones de retorno

Calculamos las primeras posiciones de retorno. Aquellas en las que la velocidad v=0

xAbajo=0; %altura inicial (parte del origen)
x0=xAbajo;
for i=1:10
    %movimiento hacia arriba (resuelve la ecuación cúbica)
    R=(3*x0-x0^3)/2;
    xArriba=-2*cos((acos(R)+2*pi)/3);  %raíz real positiva
    x0=xArriba;
    disp([xAbajo xArriba])
    %movimiento hacia abajo
    f=@(x) 2*log((1+x)/(1+x0))-x+x0; 
    xAbajo=fzero(f,[xAbajo 1]);
    x0=xAbajo;
end

   0    1.7321
    0.4121    1.4888
    0.5798    1.3678
    0.6724    1.2950
    0.7314    1.2464
    0.7724    1.2115
    0.8024    1.1853
    0.8255    1.1649
    0.8437    1.1486
    0.8585    1.1352

La sucesión converge hacia la posición de equilibrio x/a=1

Posición en función del tiempo

Resolvemos las dos ecuaciones diferenciales de segundo orden: la primera describe el movimiento de la cadena hacia arriba y la segunda hacia abajo

function z = mov_cadenaAtwood(t,x,a)
    %x(1) es x (posición)
    %x(2) es v (velocidad)
    z=zeros(2,1);
    z(1)=x(2);
    if x(2)>0 %hacia arriba (velocidad positiva)
		z(2)=(9.8*(a-x(1))-x(2)^2)/(a+x(1));
    else %hacia abajo (velocidad negativa)
		z(2)=9.8*(a-x(1))/(a+x(1));
    end
 end

a=0.3; %masa cuerpo/cadena
%condiciones iniciales
x0=zeros(1,2);
x0(1)=0;  %parte del origen
x0(2)=0;    %parte del reposo

tspan=[0 10];
opts=odeset('events',@parabola_ode45);
f=@(t,x) mov_cadenaAtwood(t,x,a);
[t,x,te,xe,ie]=ode45(f,tspan,x0,opts);

hold on
plot(t,x(:,1),'b')
plot(te(ie==1),xe(ie==1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Posición x función del tiempo')

Para marcar las posiciones de retorno definimos la función, que ya se ha utilizado en Movimiento sobre una superficie parabólica

function [detect,stopin,direction]=parabola_ode45(t,x)
    detect=x(2); 
    stopin=0;
    direction=0; 
end

Actividades

Se introduce

• El valor de la masa del bloque, igual a una porción de longitud a de la cadena, en el control titulado Masa cuerpo/cadena.

• La densidad lineal m o masa por unidad de longitud de la cadena se ha fijado en el valor ρ=1

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del cuerpo y de la cadena hacia arriba y hacia abajo.

Sobre la regla situada a la izquierda, se señalan las sucesivas posiciones del extremo de la cadena para las cuales la velocidad es nula (v=0).

En la parte derecha, un diagrama en forma de tarta, nos muestra la energía del sistema formado por el cuerpo y la cadena, dividido en sectores

• La energía potencial del cuerpo, en color azul

• la energía potencial del centro de masa de la cadena, en color rojo

• La energía cinética del cuerpo, en color azul claro

• La energía cinética de la parte de la cadena que cuelga, en color rosa

• La energía que se va perdiendo en el movimiento hacia arriba y hacia abajo de la cadena, en color negro

Peso de una cadena que cae

Para entender el origen de la fuerza que ejerce el suelo sobre una cadena que cae, resolvemos primero el siguiente problema.

Una ametralladora dispara 600 balas de 40 g cada minuto, con una velocidad de 500 m/s. Calcular la fuerza media con la que se debe sujetar la ametralladora.

En la parte de arriba, se muestra la fuerza instantánea que ejerce la ametralladora al disparar cada una de las balas. La fuerza crece rápidamente pero dura muy poco tiempo. En la parte inferior, se muestra la fuerza media <F> que ejerce la ametralladora al disparar sucesivamente N balas.

Para cada una de las balas la variación de momento lineal es igual al impulso (área bajo cada una de las curvas)

${\displaystyle mv={\displaystyle \int F·dt}}$

Cuando se disparan N balas, el cambio de momento total es igual al impulso total

${\displaystyle N·mv=N{\displaystyle \int F·dt}=<F>·t}$

Despejando la fuerza media <F>

${\displaystyle <F>=\frac{N}{t}mv<F>=\frac{600}{60}0.04·500=200\text{N}}$

El peso de una cadena que cae

Consideremos una cadena perfectamente flexible e inextensible de longitud L de densidad ρ. Su extremo inferior toca el plato de la balanza y el extremo superior está sujeto a un soporte. En el instante t=0, se libera el extremo superior y la cadena cae

Para t>0, el extremo superior de la cadena ha caído una altura x, por lo que una porción ρx de la cadena permanece en reposo sobre el plato de la balanza, su peso es ρgx, al mismo tiempo una porción L-x de la cadena se mueve hacia abajo con una velocidad v. La fuerza F que ejerce el plato de la balanza sobre la cadena se opone al peso de la cadena que permanece en reposo sobre el plato ρgx y a la fuerza f necesaria para detener los eslabones de la cadena que chocan con el plato.

Durante un intervalo de tiempo comprendido entre t y t+Δt, una masa ρ·v·Δt de cadena con velocidad v al comienzo del intervalo choca contra el plato y se detiene (supondremos un choque perfectamente inelástico). El cambio en el momento lineal es Δp=-(ρ·v·Δt)v=-ρ·Δt·v².

Por la segunda ley de Newton y en el límite, cuando Δt→0

${\displaystyle f=\frac{dp}{dt}=-\rho v^2}$

Si suponemos que la cadena cae como un cuerpo en el vacío, v=gt, x=gt²/2, la lectura de la balanza es

${\displaystyle F=\rho g\frac{1}{2}g{t}^2+\rho {\left(gt\right)}^2=\frac{3}{2}\rho g^2{t}^2}$

El peso de la cadena que cae F, es proporcional al cuadrado del tiempo t. La caída dura un tiempo T tal que $L=\frac{1}{2}g{T}^2$

En el instante T el último eslabón toca el plato de la balanza, la balanza marca un un peso F=3Mg, donde M=ρLes la masa de la cadena.

Para t>T, el el peso que mide la balanza disminuye instantáneamente a Mg que es el peso de la cadena en reposo.

Sea una cadena

• Longitud, L=1.9 m
• Masa, M=29.6 g

Representamos el peso F de la cadena que cae medido por una balanza

L=1.9; %m, longitud de la cadena
M=0.0296; %kg, masa
T=sqrt(2*L/9.8); %tiempo de caída
F=@(t) 3*M*9.8^2*t.^2/L;
fplot(@(t) 3*M*9.8^2*t.^2/L,[0,sqrt(2*L/9.8)])
line([T,T+0.2],[M*9.8,M*9.8])
line([T,T],[0,F(T)],'lineStyle','--','color','k')
xlabel('t (s)')
ylabel('F (N)')
grid on
title('Peso de una cadena que cae')

Referencias

Davis A. Error in the vibrating chain problem. Am. J. Phys. 20 (2) February 1952, pp. 112-114

Eugenio Hamm, Jean-Christophe Géminard. The weight of a falling chain, revisited. Am. J. Phys. 78 (8), August 2010. pp. 828-833