Movimiento de una cadena con una máquina de Atwood

El peso del cuerpo es igual al peso ρa de una longitud a de la cadena. Donde ρ es la masa por unidad de longitud de la cadena.

Por tanto, el extremo de la cadena unido al hilo se eleva una longitud x=a para que se equilibre con el peso del cuerpo en una máquina de Atwood, tal como se muestra en la figura.

En la situación inicial, la cadena está completamente apilada en el suelo, x=0, y la velocidad inicial v=0. El bloque tira de la cadena que se eleva hasta que alcanza una altura máxima. Analizamos el movimiento de la cadena cuando su extremo se ha elevado una altura x, tal como se muestra en la figura

Movimiento de la cadena hacia arriba.

Las fuerzas sobre el cuerpo son:

La ecuación del movimiento es

ρagT=ρa dv dt

Las fuerzas sobre la cadena son:

Empleamos la definición de fuerza F=dp/dt, donde p es el momento lineal de la cadena, para escribir la ecuación de su movimiento

Tρxg= d(ρxv) dt Tρxg=ρx dv dt +ρ v 2

Eliminamos T del sistema de dos ecuaciones

(a+x) dv dt =g(ax) v 2

Expresamos v en función de la altura x del extremo de la cadena en vez del tiempo t.

dv dt = dx dt dv dx =v dv dx = 1 2 d v 2 dx

y multiplicamos la ecuación diferencial por (a+x), resultando

( a+x ) 2 d v 2 dx +2 v 2 (a+x)=2g(ax)(a+x)

Haciendo el cambio de variable z2=(a+x)2·v2

d z 2 dx =2g(ax)(a+x)

Integrando

z 0 z d z 2 = x 0 x 2g( a 2 x 2 ) dx z 2 z 0 2 =2g( a 2 x x 3 3 )2g( a 2 x 0 x 0 3 3 )

Deshaciendo el cambio

v 2 ( a+x ) 2 v 0 2 ( a+ x 0 ) 2 =2g( a 2 x x 3 3 )2g( a 2 x 0 x 0 3 3 )

Si partimos de la posición inicial x0=0 con velocidad inicial v0=0.

v 2 ( a+x ) 2 =2g( a 2 x x 3 3 )

El extremo de la cadena se mueve hacia arriba, el cuerpo se mueve hacia abajo con la misma velocidad, hasta que se detienen v=0, en la posición

x u =a 3

Ecuación del movimiento (v>0)

Para calcular la posición del extremo de la cadena en función del tiempo, resolvemos mediante procedimientos numéricos la ecuación diferencial del movimiento

d 2 x d t 2 = 1 a+x ( g(ax) ( dx dt ) 2 )

con las condiciones iniciales t=0, x=0, dx/dt=0.

Movimiento de la cadena hacia abajo.

La ecuación del movimiento del cuerpo (v<0) es

ρagT=ρa dv dt

De acuerdo con el artículo mencionado en las referencias, durante el movimiento de la cadena hacia abajo, el suelo ha de actuar con una fuerza suficiente para detener el movimiento de los eslabones de la cadena que lo golpean.

En un intervalo de tiempo dt, una masa dm de la cadena cuya velocidad es v, choca inelásticamente contra el suelo y se detiene completamente. Esta disminución de momento lineal v·dm de la cadena en el tiempo dt, se debe a su interacción con el suelo, que podemos describir mediante una fuerza hacia arriba Fs= vdm/dt=ρv2

En el apartado al final de esta página "Fuerza que ejerce el suelo sobre la cadena que cae" se pone un ejemplo.

La ecuación del movimiento de la cadena hacia abajo (v<0) será

Tρxg+ρ v 2 = d(ρxv) dt Tρxg+ρ v 2 =ρx dv dt +ρ v 2

Eliminamos T del sistema de dos ecuaciones

(a+x) dv dt =g(ax)

Expresamos v en función de la longitud x de la cadena en vez del tiempo t, como en el apartado Movimiento de la cadena hacia arriba.

d v 2 dx = 2g(ax) (a+x)

Integramos con la condición de que en la posición x0, v=v0

v 0 v d v 2 = x 0 x 2g( 2a a+x 1 ) dx

La integral es inmediata

v 2 v 0 2 =2g( 2aln a+x a+ x 0 x+ x 0 )

En el movimiento hacia abajo, parte de la posición inicial x 0 =a 3 con velocidad v0=0.

v 2 =2g( 2aln a+x a+a 3 x+a 3 )

La velocidad se hace nula v=0 en la posición xd=0.412·a, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente

2ln 1+z 1+ 3 z+ 3 =0z= x a

Ecuación del movimiento (v<0)

Para calcular la posición del extremo de la cadena en función del tiempo, resolvemos mediante procedimientos numéricos la ecuación diferencial del movimiento

d 2 x d t 2 =g ax a+x

con las condiciones iniciales t=t0, x 0 =a 3 , dx/dt=0.

Balance energético

Para efectuar el balance energético, comparamos la situación inicial y la final, cuando el extremo de la cadena se ha elevado una altura x, tal como se muestra en la figura.

La energía inicial cuando el extremo de la cadena está en el suelo x=0 y el cuerpo está a una altura h sobre el suelo es

E0=ρagh

Cuando el extremo de la cadena asciende una altura x.

La energía final, es la suma de las cuatro contribuciones

E=ρag(hx)+ρg x 2 2 + 1 2 ρa v 2 + 1 2 ρx v 2

La razón del cambio de energía E con el tiempo t es

dE dt =ρgav+ρgxv+ρ(a+x)v dv dt + 1 2 ρ v 3

Calculamos la variación de energía en el movimiento hacia arriba desde x=0 (posición inicial de partida) hasta x u =a 3 . En ambas posiciones la velocidad v=0.

ΔE=E E 0 =ρg x u 2 2 +ρag(h x u )ρagh=ρg( 3 2 3 ) a 2 =0.23ρg a 2

Calculamos la variación de energía en el movimiento hacia abajo desde la posición x u =a 3 hasta la posición xd=0.412·a.

ΔE=ρg x d 2 2 +ρag(h x d )ρg x u 2 2 ρag(h x u )=0.095ρg a 2

Sucesivas posiciones del extremo de la cadena para las cuales v=0

En la tabla y en la gráfica, se recogen los datos de las sucesivas posiciones xd/a y xu/a del extremo de la cadena para las cuales su velocidad v=0.

xd/a xu/a
0.0 1.732
0.412 1.489
0.580 1.368
0.673 1.295
0.732 1.246
0.773 1.211
0.803 1.185
0.826 1.165
0.844 1.149

Las dos sucesiones convergen lentamente hacia el valor 1 que es la situación de equilibrio de un cuerpo cuya masa es igual a la de una porción de longitud a de la cadena (véase la figura al principio de la página).

Cálculo con MATLAB

Posiciones de retorno

Calculamos las primeras posiciones de retorno. Aquellas en las que la velocidad v=0

xAbajo=0; %altura inicial (parte del origen)
x0=xAbajo;
for i=1:10
    %movimiento hacia arriba (resuelve la ecuación cúbica)
    R=(3*x0-x0^3)/2;
    xArriba=-2*cos((acos(R)+2*pi)/3);  %raíz real positiva
    x0=xArriba;
    disp([xAbajo xArriba])
    %movimiento hacia abajo
    f=@(x) 2*log((1+x)/(1+x0))-x+x0; 
    xAbajo=fzero(f,[xAbajo 1]);
    x0=xAbajo;
end
   0    1.7321
    0.4121    1.4888
    0.5798    1.3678
    0.6724    1.2950
    0.7314    1.2464
    0.7724    1.2115
    0.8024    1.1853
    0.8255    1.1649
    0.8437    1.1486
    0.8585    1.1352

La sucesión converge hacia la posición de equilibrio x/a=1

Posición en función del tiempo

Resolvemos las dos ecuaciones diferenciales de segundo orden: la primera describe el movimiento de la cadena hacia arriba y la segunda hacia abajo

function z = mov_cadenaAtwood(t,x,a)
    %x(1) es x (posición)
    %x(2) es v (velocidad)
    z=zeros(2,1);
    z(1)=x(2);
    if x(2)>0 %hacia arriba (velocidad positiva)
		z(2)=(9.8*(a-x(1))-x(2)^2)/(a+x(1));
    else %hacia abajo (velocidad negativa)
		z(2)=9.8*(a-x(1))/(a+x(1));
    end
 end
a=0.3; %masa cuerpo/cadena
%condiciones iniciales
x0=zeros(1,2);
x0(1)=0;  %parte del origen
x0(2)=0;    %parte del reposo

tspan=[0 10];
opts=odeset('events',@parabola_ode45);
f=@(t,x) mov_cadenaAtwood(t,x,a);
[t,x,te,xe,ie]=ode45(f,tspan,x0,opts);

hold on
plot(t,x(:,1),'b')
plot(te(ie==1),xe(ie==1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Posición x función del tiempo')

Para marcar las posiciones de retorno definimos la función, que ya se ha utilizado en Movimiento sobre una superficie parabólica

function [detect,stopin,direction]=parabola_ode45(t,x)
    detect=x(2); 
    stopin=0;
    direction=0; 
end

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del cuerpo y de la cadena hacia arriba y hacia abajo.

Sobre la regla situada a la izquierda, se señalan las sucesivas posiciones del extremo de la cadena para las cuales la velocidad es nula (v=0).

En la parte derecha, un diagrama en forma de tarta, nos muestra la energía del sistema formado por el cuerpo y la cadena, dividido en sectores

Fuerza que ejerce el suelo sobre la cadena que cae

Para entender el origen de la fuerza que ejerce el suelo sobre una cadena que cae, resolvemos primero el siguiente problema.

Una ametralladora dispara 600 balas de 40 g cada minuto, con una velocidad de 500 m/s. Calcular la fuerza media con la que se debe sujetar la ametralladora.

En la parte de arriba, se muestra la fuerza instantánea que ejerce la ametralladora al disparar cada una de las balas. La fuerza crece rápidamente pero dura muy poco tiempo. En la parte inferior, se muestra la fuerza media <F> que ejerce la ametralladora al disparar sucesivamente N balas.

Para cada una de las balas la variación de momento lineal es igual al impulso (área bajo cada una de las curvas)

mv= F·dt

Cuando se disparan N balas, el cambio de momento total es igual al impulso total

N·mv=N F·dt =<F>·t

Despejando la fuerza media <F>

<F>= N t mv<F>= 600 60 0.04·500=200N

Consideremos ahora el caso de una cadena con eslabones muy pequeños (aproximación continua). La cadena tiene una masa ρ por unidad de longitud. Supongamos que en el instante t la velocidad de la cadena es v.

En el intervalo de tiempo entre t y t+dt, una masa ρ·v·dt choca con el suelo con velocidad v. Si después del choque la cadena permanece apilada en reposo, el cambio de momento lineal es dp=(ρ·v·dt)·v. El impulso de la fuerza F que ejerce el suelo es F·dt.

Como F·dt=dp entonces F=ρv2

Referencias

Davis A. Error in the vibrating chain problem. Am. J. Phys. 20 (2) February 1952, pp. 112-114