Movimiento del extremo de una cadena bajo la acción de un fuerza constante

Consideremos una cadena delgada, idealmente flexible, de densidad ρ que está apilada en el suelo. Estudiaremos el movimiento de un extremo de la cadena cuando se le aplica una fuerza constante F. Dicha fuerza sería igual a la diferencia entre el empuje y el peso del globo atado a su extremo.

Situando el origen en el suelo, la posición del extremo de la cadena es x>0. Supondremos que en determinado instante t, hay una parte de la cadena x en movimiento con velocidad v y la otra parte, en reposo sobre el suelo.

Equilibrio

La cadena está en equilibrio, cuando la fuerza aplicada F es igual al peso de la parte de la cadena que cuelga xe.

F=ρgxe

Cuando el extremo de la cadena está a una altura x0<xe y se suelta, vamos a estudiar el movimiento hacia arriba y hacia abajo de dicho extremo.

Movimiento hacia arriba (v>0)

La derivada del momento lineal p, de la parte de la cadena que se mueve, con respecto al tiempo t, es igual a la fuerza resultante

dp dt =Fρgx

donde p es el momento lineal p=(ρxv

x dv dt + v 2 = F ρ gx d 2 x d t 2 = F ρx g 1 x ( dx dt ) 2

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, x=x0, v=dx/dt=0.

Cálculo de la posición de retorno x1.

Escribiendo la ecuación diferencial del movimiento de la forma

d(xv) dt = F ρ gx

Teniendo en cuenta que dy dt = dy dx · dx dt

v d(xv) dx = F ρ gx(xv) d(xv) dx = Fx ρ g x 2

Integramos

x 0 , v 0 x,v (xv)d(xv) = x 0 x ( F ρ xg x 2 )dx 1 2 ( xv ) 2 1 2 ( x 0 v 0 ) 2 = 1 2 F ρ x 2 1 3 g x 3 1 2 F ρ x 0 2 + 1 3 g x 0 3

Como la velocidad inicial v0=0, y la velocidad final en la posición de retorno x=x1 es igualmente nula v=0, llegamos a la ecuación cúbica

g 3 x 3 F 2ρ x 2 + F 2ρ x 0 2 g 3 x 0 3 =0

Una de cuyas raíces es x0, la posición de partida.

(x x 0 )( g 3 x 2 +( g 3 x 0 F 2ρ )x+ g 3 x 0 2 F 2ρ x 0 )=0

La raíz positiva x1 de la ecuación de segundo grado es

x=( x 0 2 3F 4ρg )± 3 x 0 2 4 + 9 F 2 16 ρ 2 g 2 + 3F x 0 4ρg x 1 = 1 2 ( 3 2 x e x 0 )+ 1 2 3 x 0 2 + 9 4 x e 2 +3 x e x 0

donde xe=F/(ρg) es la posición de equilibrio.

Movimiento hacia abajo (v<0)

En el caso del movimiento hacia abajo, la situación es diferente. En un intervalo de tiempo dt, una masa dm de la cadena cuya velocidad es v, choca inelásticamente contra el suelo y se detiene completamente. Esta disminución de momento lineal v·dm de la cadena en el tiempo dt, se debe a su interacción con el suelo, que podemos describir mediante una fuerza hacia arriba Fs= vdm/dt=ρv2

La derivada del momento lineal p de la parte de la cadena que se mueve con respecto al tiempo t es igual a la fuerza resultante

dp dt =Fρgx+ F s v dm dt +m dv dt =Fρgx+v dm dt ρx dv dt =Fρgx

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos

d 2 x d t 2 = F ρx g

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t1, x=x1, v=dx/dt=0.

Caso particular.

Cuando la fuerza F=0, la cadena cae libremente. La velocidad de caída del extremo libre es v=-g·t. La fuerza que ejerce el suelo para parar los eslabones que caen es

F s =v dm dt =ρ v 2 =ρ ( gt ) 2

Suponemos que v=0, cuando x=L, siendo L la longitud de la cadena. En el instante t, la altura del último eslabón de la cadena es x, una longitud L-x se encuentra en reposo sobre el suelo.

La reacción N del suelo es la suma de dos términos:

x=L+ 1 2 (g) t 2 N=2 M L g(Lx)+ M L g(Lx)=3 M L g(Lx)

Siendo M=ρL la masa de la cadena.

Cuando llega el último eslabón de la cadena al  suelo x=0.

N=3Mg

Si dejamos caer la cadena sobre el plato de una balanza, ésta medirá una fuerza máxima 3Mg.

Resumiendo: cuando la cadena está completamente levantada con el primer eslabón tocando el plato de la balanza, ésta mide una fuerza nula. Cuando el último eslabón cae sobre el plato, la balanza mide una fuerza máxima igual a tres veces el peso de la cadena. Finalmente, la balanza mide una fuerza igual al peso de la cadena.

Cálculo de la posición de retorno x2.

Escribimos la ecuación diferencial del movimiento de la forma

dv dt = F ρx gv dv dx = F ρx g

Integramos

0 v vdv = x 1 x ( F ρx g )dx 1 2 v 2 = F ρ lnxgx( F ρ ln x 1 g x 1 )

En la posición de retorno x2, la velocidad del extremo de la cadena es v=0.

x e ln( x 1 x 2 )= x 1 x 2

donde x e = F ρg es la posición de equilibrio.

Conocido x1 se calcula x2, resolviendo la ecuación trascendente por procedimientos numéricos.

La posición de retorno x2 es ahora la posición de partida x0 para el movimiento hacia arriba y así, sucesivamente.

El extremo de la cadena describe una oscilación amortiguada. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el extremo de la cadena se encuentra en la posición de equilibrio xe.

Cálculo con MATLAB

Posiciones de retorno

Calculamos las primeras posiciones de retorno. Aquellas en las que la velocidad v=0

xe=0.5; %altura de equilibrio
xAbajo=0.3; %altura inicial menor que la de equilibrio

x0=xAbajo;
for i=1:10
    %movimiento hacia arriba
    xArriba=(3*xe/2-x0)/2+sqrt(-3*x0^2+9*xe^2/4+3*xe*x0)/2;
    x0=xArriba;
    disp([xAbajo xArriba])
    %movimiento hacia abajo
    f=@(x) xe*log(x0/x)-x0+x; 
    xAbajo=fzero(f,[xAbajo xe]);
    x0=xAbajo;
end
    0.3000    0.6558
    0.3710    0.6096
    0.4044    0.5847
    0.4239    0.5690
    0.4368    0.5582
    0.4460    0.5504
    0.4528    0.5444
    0.4581    0.5397
    0.4623    0.5359
    0.4657    0.5328

La sucesión converge hacia la posición de equilibrio xe=0.5

Posición en función del tiempo

Resolvemos las dos ecuaciones diferenciales de segundo orden: la primera describe el movimiento de la cadena hacia arriba y la segunda hacia abajo

function z = mov_cadenaGlobo(t,x,xe)
    %x(1) es x
    %x(2) es v
    z=zeros(2,1);
    z(1)=x(2);
    if x(2)>0 %hacia arriba (velocidad positiva)
		z(2)=9.8*(xe/x(1)-1-x(2)^2/(9.8*x(1)));
    else %hacia abajo (velocidad negativa)
		z(2)=9.8*(xe/x(1)-1);
    end
 end
xe=0.5; %altura de equilibrio
%condiciones iniciales
x0=zeros(1,2);
x0(1)=0.3;  %posición de partida
x0(2)=0;    %parte del reposo

tspan=[0 10];
opts=odeset('events',@parabola_ode45);
f=@(t,x) mov_cadenaGlobo(t,x,xe);
[t,x,te,xe,ie]=ode45(f,tspan,x0,opts);

hold on
plot(t,x(:,1),'b')
plot(te(ie==1),xe(ie==1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('Posición x función del tiempo')

Para marcar las posiciones de retorno definimos la función, que ya se ha utilizado en Movimiento sobre una superficie parabólica

function [detect,stopin,direction]=parabola_ode45(t,x)
    detect=x(2); 
    stopin=0;
    direction=0; 
end

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del extremo de la cadena hacia arriba y hacia abajo

Se representan las fuerzas sobre la cadena:

Se representa las posiciones de retorno x0, x1, x2,… en una regla situada a la izquierda.

Se representa la altura x del extremo de la cadena en función del tiempo t.

Referencias

Sima V., Podolsky J., Buquoy's problem. Eur. J. Phys. 26 (2005) pp. 1037-1045

van den Berg W. H. Force exerted by a falling chain. The Physics Teacher, 36, January 1998, pp. 44-45