Dibujamos las fuerzas sobre el bloque y sobre el depósito. Supondremos que la polea tiene un momento de inercia despreciable.

La ecuación del movimiento del depósito es

T-μN=ma
N=mg

La ecuación del movimiento del cuerpo que cuelga es

Mg-T=Ma

Primer etapa. La masa del depósito disminuye

La masa del depósito varía con el tiempo de la forma

m=m₀-f·t

Siendo m₀ la masa inicial (depósito vacío más la arena que contiene), y f el flujo constante de arena que sale por el orificio situado en su parte inferior.

Eliminando T del sistema de ecuaciones

${\displaystyle \frac{dv}{dt}=g\frac{M-\mu m_0+\mu ft}{M+m_0-ft}}$

Integrando

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}dv}={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}g\frac{M-\mu m_0+\mu ft}{M+m_0-ft}dt}}$

La fracción es fácilmente integrable si se transforma en esta otra expresión equivalente

${\displaystyle \frac{M-\mu m_0+\mu ft}{M+m_0-ft}=-\mu +\frac{M(1+\mu )}{M+m_0-ft}}$

Después de hacer algunas operaciones se obtiene

${\displaystyle v=\frac{gM(1+\mu )}{f}\ln \frac{M+m_0}{M+m_0-ft}-\mu gt}$

Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento x en función del tiempo t. Recordando que

${\displaystyle {\displaystyle \int \ln z·dz}=z\ln z-z}$

obtenemos

${\displaystyle x=\frac{gM(1+\mu )}{f}\left(\begin{array}{l}t(\ln (M+m_0)+1)-\frac{M+m_0}{f}\ln (M+m_0)+\\ \frac{M+m_0-ft}{f}\ln (M+m_0-ft)\end{array}\right)-\frac{1}{2}\mu g{t}^2}$

Segunda etapa: la masa del depósito es constante

La arena se agota en el instante t_m. A partir de este instante, la masa del depósito es constante

m=m₀-f·t_m

La aceleración del depósito y del bloque es constante, el movimiento es uniformemente acelerado

${\displaystyle a=g\frac{M-\mu (m_0-f{t}_m)}{M+m_0-f{t}_m}}$

La posición y velocidad es

${\displaystyle \begin{array}{l}v=v_0+a(t-t_m)\\ x=x_0+v_0(t-t_m)+\frac{1}{2}a{\left(t-t_m\right)}^2\end{array}}$

donde x₀ y v₀ es la posición y velocidad del depósito en el instante t_m en el que se quedado vacío.

Ejemplo

• Masa inicial de arena 1 kg
• Flujo de arena f=0.8 kg/s
• Coeficiente de rozamiento μ=0.5
• Masa del bloque M=1 kg.

La masa inicial del depósito de arena es igual a la masa de la arena más la masa del recipiente que lo contiene. Se ha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.

• masa inicial del depósito (m₀) =1.1· masa inicial de arena

La masa inicial del depósito es m₀=1.1·1=1.1 kg

El depósito de arena se vacía en el instante t_m=1.0/0.8=1.25 s.

En dicho instante la velocidad del depósito es

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{gM(1+\mu )}{f}\ln \frac{M+m_0}{M+m_0-f{t}_m}-\mu g{t}_m\\ v=\frac{9.8·1·(1+0.5)}{0.8}\ln \frac{1+1.1}{1+1.1-0.8·1.25}-0.5·9.8·1.25=5.76\text{m/s}\end{array}}$

La posición del depósito es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{9.8·1(1+0.5)}{0.8}1.25(\ln (1+1.1)+1)-\frac{1+1.1}{0.8}\ln (1+1.1)\\ +\frac{1+1.1-0.8·1.25}{0.8}\ln (1+1.1-0.8·1.25)-\frac{1}{2}0.5·9.8·{1.25}^2=2.80\text{m}\end{array}}$

A partir de este instante, el depósito se mueve con aceleración constante

${\displaystyle a=g\frac{M-\mu (m_0-f{t}_m)}{M+m_0-f{t}_m}a=9.8\frac{1-0.5(1.1-0.8·1.25)}{1+1.1-0.8·1.25}=8.46\text{m/s}}$

Las ecuaciones del movimiento son

v=5.76 +8.46·(t-1.25)
x=2.80+5.76 (t-1.25)+8.46(t-1.25)²/2

Por ejemplo, en el instante t=1.6 s el depósito se encuentra en la posición x=5.33 m y lleva una velocidad de v=8.72 m/s

Por ejemplo, el depósito llega a la posición x=4.0 m en el instante t=1.43 s, con una velocidad de v=7.31 m/s

Actividades

Se introduce

• La masa de arena (en kg), en el control titulado Masa de arena

• El flujo f de arena (en kg/s), en el control titulado Flujo de arena

• El coeficiente μ de rozamiento entre el depósito y el plano horizontal, en el control titulado Coef. rozamiento

• La masa del bloque M, se ha fijado en el valor M=1 kg

Se pulsa el botón titulado Nuevo

La masa inicial del depósito de arena es igual a la masa de la arena más la masa del recipiente que lo contiene. Se ha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.

• masa inicial del depósito (m₀) =1.1· masa inicial de arena

• masa final del depósito =masa del recipiente =0.1 · masa inicial de arena

El programa interactivo no comienza si se cumple que μ·m₀>M, se aconseja entonces, disminuir el valor del coeficiente de rozamiento μ.

Referencias

Sullivan P., Chaplin B, A system to change both mass and applied force. The Physics Teacher, Vol 37, May 1999, pp. 309-311