Una cuerda que desliza sobre una mesa

Sin rozamiento

Sea una cuerda uniforme de longitud l, de densidad lineal ρ, que desliza sin rozamiento sobre una mesa horizontal y que cae por uno de sus bordes, tal como se muestra en la figura.

En un determinado instante t, la longitud del segmento vertical de la cuerda que cuelga del borde de la mesa es x. La fuerza que actúa sobre toda la cuerda es el peso de la parte vertical. El peso de la parte horizontal l-x se equilibra con la reacción de la mesa. La segunda ley de Newton se escribe

ρl d 2 x d t 2 =ρgx

La ecuación del movimiento de la cuerda homogénea es independiente del valor de su densidad ρ.

La solución de esta ecuación diferencial es

x=Aexp( g l t )+Bexp( g l t )

La velocidad de la cuerda es

v= dx dt = g l { Aexp( g l t )Bexp( g l t ) }

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial t=0, x=x0, v=0, cuelga del borde de la mesa una porción x0 de la cuerda, y se suelta.

x= x 0 2 { exp( g l t )+exp( g l t ) } x= x 0 cosh( g l t ) v= x 0 g l sinh( g l t )

Haciendo x=l, calculamos el tiempo T que tarda la cuerda en caer de la mesa

2 l x 0 =exp( g l T )+exp( g l T ) 2 l x 0 =z+ 1 z z 2 2 l x 0 z+1=0 z= 1 x 0 ( l± l 2 x 0 2 ) T= l g ln( l+ l 2 x 0 2 x 0 )

De las dos posibles raíces se toma la correspondiente al signo + delante de la raíz, ya que la otra conduce a tiempos T negativos

x0=0.1; %cuerda que cuelga de longitud l=1 m
tf=acosh(1/x0)/sqrt(9.8); %tiempo total
f=@(t) x0*cosh(sqrt(9.8)*t);
fplot(f,[0,tf])
ylim([0,1])
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Cuerda que desliza')
grid on

Tiempo que tarda la cuerda en caer de la mesa. La longitud de la cuerda l=1

>> tf
tf =    0.9561

Balance energético

Situamos el nivel cero de energía potencial en el borde de la mesa.

La energía inicial es la energía potencial del centro de masas (c.m.) de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa, cuya masa es ρx0.

E=ρ x 0 g x 0 2 =ρg x 0 2 2

La energía de la cuerda en el instante t es la suma de:

Comprobamos el principio de conservación de la energía, la energía inicial es igual a la energía final

ρg x 0 2 2 =ρg x 2 2 + 1 2 ρl v 2

Ejemplo

Sea x0=0.1 y l=1.0

Fuerzas sobre la cuerda en el borde de la mesa

La ecuación del movimiento se ha deducido suponiendo que la cuerda mantiene en todo momento la forma de "L invertida”. Pero cómo es posible mantener un ángulo de 90º entre las dos partes de la cuerda desde el mismo momento en el que ésta se pone en movimiento. La suposición de que la cuerda se dobla bruscamente 90º en el borde de mesa, anulándose instantáneamente el momento lineal horizontal y continuando su movimiento hacia abajo, no es realista. El problema es por tanto, mucho más complejo tal como se describe en el segundo artículo citado en las referencias.

La segunda ley de Newton para este sistema bidimensional

F= dp dt

Momento lineal p

Fuerzas exteriores F

La segunda ley de Newton a lo largo del eje X y del eje Y, respectivamente, se escribe.

F x = d p x dt F x =ρ(lx) d 2 x d t 2 +ρ ( dx dt ) 2 F y +ρgx= d p y dt F y =ρgx+ρ ( dx dt ) 2 +ρx d 2 x d t 2

En la ecuación del movimiento, despejamos la aceleración d2x/dt2 y en la ecuación de la conservación de la energía despejamos la velocidad dx/dt.

d 2 x d t 2 = g l x ( dx dt ) 2 = g l ( x 2 x 0 2 )

Expresando Fx y Fy en función de x.

F x = F y = ρg l ( 2 x 2 xl x 0 2 )

Para una x determinada se cumple que Fx=0

x= l+ l 2 +8 x 0 2 4

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la cuerda.

Se proporciona los datos de x (longitud de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa), la velocidad de la cuerda v, en cada instante t.

Se dibujan mediante flechas, las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema (con la excepción del peso de la parte de la cuerda que está sobre la mesa y la reacción de ésta, que se anulan) Se proporciona el valor de la fuerza Fx=Fy que hay que ejercer sobre la cuerda en el borde de la mesa para que mantenga en todo momento la forma de “L invertida”.

En la parte izquierda, un diagrama de barras nos muestra los cambios energéticos.

Con rozamiento

Añadimos a la ecuación del movimiento la fuerza de rozamiento, Fr que se origina al deslizar la porción (l-x) de cuerda sobre la mesa. La reacción N de la mesa es igual al peso de dicha porción de cuerda ρg(l-x).

La fuerza de rozamiento, Fr=μN=μ·ρg(l-x)

La ecuación del movimiento es

ρl d 2 x d t 2 =ρgxμρg(lx) d 2 x d t 2 g l (1+μ)x=μg

La solución particular de la ecuación diferencial es una constante C, cuyo valor determinaremos introduciéndolo en la ecuación diferencial

g l (1+μ)C=μg C=l μ 1+μ

La solución de la ecuación diferencial homogénea es similar a la del caso sin rozamiento. La solución completa es

x=Aexp( g l (1+μ) t )+Bexp( g l (1+μ) t )+l μ 1+μ

Derivando con respecto al tiempo t, obtenemos la velocidad v

v= dx dt = g l (1+μ) { Aexp( g l (1+μ) t )Bexp( g l (1+μ) t ) }

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial t=0, x=x0, v0=0, cuelga del borde de la mesa una porción x0 de la cuerda, y se suelta. Para que la cuerda deslice, el peso de la parte de la cuerda que cuelga tiene que ser mayor que la fuerza de rozamiento, se tendrá que cumplir que x0>μl/(1+μ)

x= 1 2 ( x 0 l μ 1+μ ){ exp( g l (1+μ) t )+exp( g l (1+μ) t ) }+l μ 1+μ x=( x 0 l μ 1+μ )cosh( g l (1+μ) t )+l μ 1+μ

x0=0.1; %cuerda que cuelga de longitud l=1 m
mu=0.1; %coeficiente de rozamiento
tf=acosh(1/(x0*(1+mu)-mu))/sqrt(9.8*(1+mu)); %tiempo total
f=@(t) (x0-mu/(1+mu))*cosh(sqrt(9.8*(1+mu))*t)+mu/(1+mu);
fplot(f,[0,tf])
ylim([0,1])
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Cuerda que desliza')
grid on

Cuando x=l, obtenemos el tiempo tf que tarda la cuerda en caer de la mesa

t f = l g(1+μ) cosh 1 ( x 0 l (1+μ)μ ) 1

Cuando el coeficiente de rozamiento μ=0.1, el tiempo que tarda la cuerda en caer de la mesa es

tf =    1.6137

Representamos el tiempo tf en función de x0/l, para varios valores del coeficiente de rozamiento μ

L=1; %longitud de la cuerda
hold on
for mu=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]
    f=@(x) sqrt(L/(9.8*(1+mu)))*acosh(1./(x*(1+mu)-mu));
    fplot(f,[0,1], 'displayName',num2str(mu))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('x_0/l')
ylabel('t_f')
title('Cuerda que desliza con rozamiento')

Derivando con respecto del tiempo t, obtenemos la velocidad v de la cuerda

v= g l (1+μ) ( x 0 l μ 1+μ )sinh( g l (1+μ) t )

Balance energético

La energía inicial es la energía potencial del centro de masas (c.m.) de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa, cuya masa es ρx0.

E=ρ x 0 g x 0 2 =ρg x 0 2 2

La energía de la cuerda en el instante t es la suma de:

El trabajo de la fuerza de rozamiento Fr es

W= x 0 x μρg(lx) dx=μρg( l x 2 )x+μρg( l x 0 2 ) x 0

Haciendo algunas operaciones algebraicas, comprobamos que el trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial

W={ 1 2 ρg x 2 + 1 2 ρg(1+μ)( ( xl μ 1+μ ) 2 ( x 0 l μ 1+μ ) 2 ) }{ 1 2 ρg x 0 2 }

Referencias

Prato D., Gleiser R., Another look at the uniform rope sliding over the edge of a smoooth table. Am. J. Phys. 50 (6) June 1982, pp. 536-539.

F Behroozi. The sliding chain problem with and without friction: a universal solution. Eur. J. Phys. 18 (1997) pp. 15-17.

Vrbik J. Chain sliding off a table. Am. J. Physics 61 (3) March 1993, pp. 258-261.