Sin rozamiento

Sea una cuerda uniforme de longitud l, de densidad lineal λ, que desliza sin rozamiento sobre una mesa horizontal y que cae por uno de sus bordes, tal como se muestra en la figura.

En un determinado instante t, la longitud del segmento vertical de la cuerda que cuelga del borde de la mesa es x. La fuerza que actúa sobre toda la cuerda es el peso de la parte vertical. El peso de la parte horizontal l-x se equilibra con la reacción de la mesa. La segunda ley de Newton se escribe

${\displaystyle \lambda l\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\lambda gx}$

La ecuación del movimiento de la cuerda homogénea es independiente del valor de su densidad λ.

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle x=A\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)+B\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)}$

La velocidad de la cuerda es

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{g}{l}}\left\{A\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)-B\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\right\}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial t=0, x=x₀, v=0, cuelga del borde de la mesa una porción x₀ de la cuerda, y se suelta.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{x_0}{2}\left\{\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)+\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\right\}\\ x=x_0\cosh \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\\ v=x_0\sqrt{\frac{g}{l}}\sinh \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\end{array}}$

Haciendo x=l, calculamos el tiempo T que tarda la cuerda en caer de la mesa

${\displaystyle \begin{array}{l}2\frac{l}{x_0}=\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}}T\right)+\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}}T\right)\\ 2\frac{l}{x_0}=z+\frac{1}{z}\\ z^2-2\frac{l}{x_0}z+1=0\\ z=\frac{1}{x_0}\left(l\pm \sqrt{l^2-x_0^2}\right)\\ T=\sqrt{\frac{l}{g}}\ln \left(\frac{l+\sqrt{l^2-x_0^2}}{x_0}\right)\end{array}}$

De las dos posibles raíces se toma la correspondiente al signo + delante de la raíz, ya que la otra conduce a tiempos T negativos

x0=0.1; %cuerda que cuelga de longitud l=1 m
tf=acosh(1/x0)/sqrt(9.8); %tiempo total
f=@(t) x0*cosh(sqrt(9.8)*t);
fplot(f,[0,tf])
ylim([0,1])
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Cuerda que desliza')
grid on

Tiempo que tarda la cuerda en caer de la mesa. La longitud de la cuerda l=1

>> tf
tf =    0.9561

Balance energético

Situamos el nivel cero de energía potencial en el borde de la mesa.

La energía inicial es la energía potencial del centro de masas (c.m.) de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa, cuya masa es λx₀.

${\displaystyle E=-\lambda x_{0}g\frac{x_0}{2}=-\lambda g\frac{x_0^2}{2}}$

La energía de la cuerda en el instante t es la suma de:

• La energía cinética E_k de toda la cuerda, cuya masa es λl, que se mueve con velocidad v

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}\lambda l{v}^2=\frac{1}{2}\lambda g{x}_0^2{\sinh }^2\left(\sqrt{\frac{g}{l}t}\right)=\frac{1}{2}\lambda g{x}_0^2\left({\cosh }^2\left(\sqrt{\frac{g}{l}t}\right)-1\right)=\frac{1}{2}\lambda g\left(x^2-x_0^2\right)}$

• La energía potencial del c.m. de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa, cuya masa es λx.

${\displaystyle E_p=-\lambda xg\frac{x}{2}=-\lambda g\frac{x^2}{2}}$

Comprobamos el principio de conservación de la energía, la energía inicial es igual a la energía final

${\displaystyle -\lambda g\frac{x_0^2}{2}=-\lambda g\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\lambda l{v}^2}$

Ejemplo

Sea x₀=0.1 y l=1.0

• El tiempo que tarda el extremo de la cuerda en llegar al borde de la tabla x=1.0, es

${\displaystyle 1.0=0.1\cosh \left(\sqrt{9.8}t\right)t=0.956\text{s}}$

La velocidad de la cuerda en este instante es

v=3.11 m/s

• En el instante t=0.5 s

La parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa y su velocidad son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}x=0.1\cosh \left(\sqrt{9.8}·0.5\right)=\text{0}\text{.25}\text{m}\\ v=\sqrt{9.8}·0.1·\sinh \left(\sqrt{9.8}·0.5\right)=0.72\text{m/s}\end{array}}$

La energía potencial es

E_p=-0.25²·9.8/2=-0.305 J

La energía cinética

E_k=1.0·0.72²/2=0.256 J

La energía total es

E=E_p+E_k=-0.049 J

Que es igual a la energía potencial inicial

E_p=-0.1²·9.8/2=-0.049 J

Fuerzas sobre la cuerda en el borde de la mesa

La ecuación del movimiento se ha deducido suponiendo que la cuerda mantiene en todo momento la forma de "L invertida”. Pero cómo es posible mantener un ángulo de 90º entre las dos partes de la cuerda desde el mismo momento en el que ésta se pone en movimiento. La suposición de que la cuerda se dobla bruscamente 90º en el borde de mesa, anulándose instantáneamente el momento lineal horizontal y continuando su movimiento hacia abajo, no es realista. El problema es por tanto, mucho más complejo tal como se describe en el segundo artículo citado en las referencias.

La segunda ley de Newton para este sistema bidimensional

${\displaystyle F=\frac{dp}{dt}}$

• F es la suma de todas las fuerzas exteriores

• p es la suma de los momentos lineales de las partículas que forman el sistema

Momento lineal p

• a lo largo del eje X, p_x=-λ(l-x)·v

• a lo largo del eje Y, p_y= λx·v

Fuerzas exteriores F

• El peso de la porción vertical x de la cuerda λgx. El peso de la parte de la cuerda l-x que está sobre la mesa se anula con la reacción de la misma.

• Sean F_x y F_y las componentes de la fuerza que ejerce el borde de la mesa sobre la cuerda para que mantenga en todo momento la forma de "L invertida”.

La segunda ley de Newton a lo largo del eje X y del eje Y, respectivamente, se escribe.

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x=\frac{d{p}_x}{dt}{F}_x=-\lambda (l-x)\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\lambda {\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2\\ F_y+\lambda gx=\frac{d{p}_y}{dt}{F}_y=-\lambda gx+\lambda {\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+\lambda x\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\end{array}}$

En la ecuación del movimiento, despejamos la aceleración d²x/dt² y en la ecuación de la conservación de la energía despejamos la velocidad dx/dt.

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{g}{l}x{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=\frac{g}{l}\left(x^2-x_0^2\right)}$

Expresando F_x y F_y en función de x.

${\displaystyle F_x=F_y=\frac{\lambda g}{l}\left(2x^2-xl-x_0^2\right)}$

• Cuando t=0, la cuerda empieza a moverse, x=x₀, F_x>0 está dirigida hacia fuera de la mesa

• Cuando x=l, la cuerda abandona la mesa, F_x<0, la fuerza es negativa.

Para una x determinada se cumple que F_x=0

${\displaystyle x=\frac{l+\sqrt{l^2+8x_0^2}}{4}}$

Actividades

Se introduce

• La longitud de la parte de la cuerda x₀ que cuelga del bode de la mesa en el instante inicial t=0, en el control titulado Cuerda que cuelga

• La longitud de la cuerda se ha fijado en l=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la cuerda.

Se proporciona los datos de x (longitud de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa), la velocidad de la cuerda v, en cada instante t.

Se dibujan mediante flechas, las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema (con la excepción del peso de la parte de la cuerda que está sobre la mesa y la reacción de ésta, que se anulan) Se proporciona el valor de la fuerza F_x=F_y que hay que ejercer sobre la cuerda en el borde de la mesa para que mantenga en todo momento la forma de “L invertida”.

En la parte izquierda, un diagrama de barras nos muestra los cambios energéticos.

• La energía potencial (negativa) se representa por una barra vertical de color azul (por debajo del origen)

• La energía cinética (positiva) se representa por una barra vertical de color rojo (por encima del origen).

Con rozamiento

Añadimos a la ecuación del movimiento la fuerza de rozamiento, F_r que se origina al deslizar la porción (l-x) de cuerda sobre la mesa. La reacción N de la mesa es igual al peso de dicha porción de cuerda λg(l-x).

La fuerza de rozamiento, F_r=μN=μ·λg(l-x)

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}\lambda l\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\lambda gx-\mu \lambda g(l-x)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\frac{g}{l}(1+\mu )x=-\mu g\end{array}}$

La solución particular de la ecuación diferencial es una constante C, cuyo valor determinaremos introduciéndolo en la ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}-\frac{g}{l}(1+\mu )C=-\mu g\\ C=l\frac{\mu }{1+\mu }\end{array}}$

La solución de la ecuación diferencial homogénea es similar a la del caso sin rozamiento. La solución completa es

${\displaystyle x=A\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)+B\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)+l\frac{\mu }{1+\mu }}$

Derivando con respecto al tiempo t, obtenemos la velocidad v

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}\left\{A\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)-B\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)\right\}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial t=0, x=x₀, v₀=0, cuelga del borde de la mesa una porción x₀ de la cuerda, y se suelta. Para que la cuerda deslice, el peso de la parte de la cuerda que cuelga tiene que ser mayor que la fuerza de rozamiento, se tendrá que cumplir que x₀>μl/(1+μ)

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)\left\{\exp \left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)+\exp \left(-\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)\right\}+l\frac{\mu }{1+\mu }\\ x=\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)\cosh \left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)+l\frac{\mu }{1+\mu }\end{array}}$

x0=0.1; %cuerda que cuelga de longitud l=1 m
mu=0.1; %coeficiente de rozamiento
tf=acosh(1/(x0*(1+mu)-mu))/sqrt(9.8*(1+mu)); %tiempo total
f=@(t) (x0-mu/(1+mu))*cosh(sqrt(9.8*(1+mu))*t)+mu/(1+mu);
fplot(f,[0,tf])
ylim([0,1])
xlabel('t')
ylabel('x')
title('Cuerda que desliza')
grid on

Cuando x=l, obtenemos el tiempo t_f que tarda la cuerda en caer de la mesa

${\displaystyle t_f=\sqrt{\frac{l}{g(1+\mu )}}{\cosh }^{-1}{\left(\frac{x_0}{l}(1+\mu )-\mu \right)}^{-1}}$

Cuando el coeficiente de rozamiento μ=0.1, el tiempo que tarda la cuerda en caer de la mesa es

tf =    1.6137

Representamos el tiempo t_f en función de x₀/l, para varios valores del coeficiente de rozamiento μ

L=1; %longitud de la cuerda
hold on
for mu=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]
    f=@(x) sqrt(L/(9.8*(1+mu)))*acosh(1./(x*(1+mu)-mu));
    fplot(f,[0,1], 'displayName',num2str(mu))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('x_0/l')
ylabel('t_f')
title('Cuerda que desliza con rozamiento')

Derivando con respecto del tiempo t, obtenemos la velocidad v de la cuerda

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)\sinh \left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)}$

Balance energético

La energía inicial es la energía potencial del centro de masas (c.m.) de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa, cuya masa es λx₀.

${\displaystyle E=-\lambda x_{0}g\frac{x_0}{2}=-\lambda g\frac{x_0^2}{2}}$

La energía de la cuerda en el instante t es la suma de:

• La energía cinética E_k de toda la cuerda, cuya masa es λl, que se mueve con velocidad v

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_k=\frac{1}{2}\lambda l{v}^2=\frac{1}{2}\lambda l\left(\frac{g}{l}(1+\mu )\right){\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)}^2{\sinh }^2\left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)=\\ \frac{1}{2}\lambda g(1+\mu ){\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)}^2\left({\cosh }^2\left(\sqrt{\frac{g}{l}(1+\mu )}t\right)-1\right)\\ \frac{1}{2}\lambda g(1+\mu )\left({\left(x-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)}^2-{\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)}^2\right)\end{array}}$

• La energía potencial del c.m. de la parte de la cuerda que cuelga del borde de la mesa, cuya masa es λx.

${\displaystyle E_p=-\lambda xg\frac{x}{2}=-\lambda g\frac{x^2}{2}}$

El trabajo de la fuerza de rozamiento F_r es

${\displaystyle W=-{\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mu \lambda g(l-x)}dx=-\mu \lambda g\left(l-\frac{x}{2}\right)x+\mu \lambda g\left(l-\frac{x_0}{2}\right)x_0}$

Haciendo algunas operaciones algebraicas, comprobamos que el trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial

${\displaystyle W=\left\{-\frac{1}{2}\lambda g{x}^2+\frac{1}{2}\lambda g(1+\mu )\left({\left(x-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)}^2-{\left(x_0-l\frac{\mu }{1+\mu }\right)}^2\right)\right\}-\left\{-\frac{1}{2}\lambda g{x}_0^2\right\}}$

Cuerda sobre un disco en rotación

Un disco horizontal gira con velocidad angular constante ω, alrededor de su eje vertical que pasa por el centro.

Una cuerda, uniforme, inextensible y perfectamente flexible de longitud L y de densidad lineal λ desliza a lo largo del disco y pasa a través de un agujero central.

Una porción de longitud L-r se mueve sin rozamiento sobre la superficie del disco dentro de una guía (en color rojo), la otra porción r cuelga verticalmente.

Energía cinética

Vamos a calcular la energía cinética de la porción L-r de la cuerda sobre el disco

El módulo de la velocidad de un elemento dm=λ·dx diferencial de masa comprendido entre x y x+dx es

${\displaystyle v^2={\left(\omega x\right)}^2+v_r^2}$

donde v_r=dr/dt es la velocidad de la cuerda en la dirección radial

Sumando para todos los elementos de la porción L-r de cuerda

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{k1}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L-r}{\int }}{v}^{2}dm=}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L-r}{\int }}\left({\omega }^2{x}^2+v_r^2\right)\lambda dx}\\ E_{k1}=\frac{1}{2}\lambda \left({\omega }^2\frac{{\left(L-r\right)}^3}{3}+v_r^2\left(L-r\right)\right)\end{array}}$

La energía cinética de la porción de la cadena que cuelga r que se mueve con velocidad v_r

${\displaystyle E_{k2}=\frac{1}{2}\left(\lambda r\right)v_r^2}$

Energía potencial

Situamos el nivel cero de energía potencial en el centro del disco. La energía potencial es nula para la porción L-r de la cuerda situada sobre el disco

La energía potencial del elemento dm=λ·dx diferencial de masa comprendido entre x y x+dx es

${\displaystyle -\left(\lambda dx\right)gx}$

La energía potencial de la porción vertical r de cuerda es

${\displaystyle E_p=-\lambda g{\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}x·dx}=-\frac{1}{2}\lambda g{r}^2}$

Ecuación del movimiento

La lagrangiana

${\displaystyle \begin{array}{l}L=E_{k1}+E_{k2}-E_p=\frac{1}{2}\lambda \left({\omega }^2\frac{{\left(L-r\right)}^3}{3}+{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2\left(L-r\right)\right)+\frac{1}{2}\lambda r{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}\lambda g{r}^2=\\ L=\frac{1}{2}\lambda L{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}\lambda \left({\omega }^2\frac{{\left(L-r\right)}^3}{3}+g{r}^2\right),\dot{r}=\frac{dr}{dt}\end{array}}$

La ecuación del movimiento de la cuerda

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0\\ \lambda L\frac{d\dot{r}}{dt}-\lambda \left(gr-\frac{1}{2}{\omega }^2{\left(L-r\right)}^2\right)=0\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}-\frac{g}{L}r+\frac{{\omega }^2}{2L}{\left(L-r\right)}^2=0\end{array}}$

Cuando el disco no gira, ω=0, obtenemos la ecuación

${\displaystyle \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{g}{L}r}$

que es la ecuación del movmiento de una cuerda que desliza sin rozamiento sobre una mesa y y cae por el borde de la misma, con x en vez de r

Escribimos la ecuación diferencial del movimiento en forma adimensional

${\displaystyle \begin{array}{l}\xi =\frac{r}{L},\beta =\frac{{\omega }^{2}L}{2g},\tau =t\sqrt{\frac{g}{L}}\\ \frac{d^2\left(\xi L\right)}{\frac{L}{g}d{\tau }^2}-\frac{g}{L}\xi L+\frac{2g\beta }{2L^2}{\left(L-\xi L\right)}^2=0\\ \frac{d^2\xi }{d{\tau }^2}-\xi +\beta {\left(1-\xi \right)}^2=0\end{array}}$

El parámetro β es el cociente entre la aceleración centrífuga y la aceleración de la gravedad

Resolveremos la ecuación del movimiento por el procedimiento numérico ode45 de MATLAB con las siguientes condiciones iniciales: en el instante τ=0, ξ₀=0.5 y dξ/dτ=0

Observamamos que para β=2, la derivada segunda d²ξ/dτ²=0. Lo que implica que la cuerda no se mueve de la posición inicial ξ₀=0.5

Para cualquier otro β>0, la derivada segunda es nula para las posición inicial ξ₀ tales

${\displaystyle \begin{array}{l}\beta {\left(1-\xi \right)}^2-\xi =0\\ \beta {\xi }^2-\left(2\beta +1\right)\xi +\beta =0\\ \xi =\frac{\left(2\beta +1\right)\pm \sqrt{{\left(2\beta +1\right)}^2-4{\beta }^2}}{2\beta }\\ {\xi }_0=\frac{\left(2\beta +1\right)-\sqrt{4\beta +1}}{2\beta }\end{array}}$

ya que ξ<1, solamente tiene sentido la raíz con el signo -

Ejemplos

Ejemplo 1. β=0.1. Velocidad angular ω pequeña

function cadena
    beta=0.1;   
     opts=odeset('events',@stop_cuerda);
     f=@(t,x) [x(2); x(1)-beta*(1-x(1))^2]; 
     [t,x]=ode45(f,[0,10],[0.5,0],opts);
     plot(t, x(:,1))
     grid on
     xlabel('\tau')
     ylabel('\xi')
     title('Cuerda que desliza')

    function [value,isterminal,direction]=stop_cuerda(~,x)
        value=x(1)-1; %detiene cuando x(1) es 1
        isterminal=1;   
        direction=1; % 1 crece, -1 decrece, 0 no importa
    end
end

Se va incrementando la longitud de la porción de la cuerda que cuelga hasta que alcanza la longitud ξ=1 en el instante τ=1.3399

Para β=0.1 la derivada segunda se anula, cuando la posición inicial ξ₀=0.0839, raíz de la ecuación de segundo grado. La cuerda no se mueve de esta posición

Ejemplo 2. β=10. Velocidad angular ω grande

function cadena_1
     beta=10;   
     opts=odeset('events',@stop_cuerda);
     f=@(t,x) [x(2); x(1)-beta*(1-x(1))^2]; 
     [t,x]=ode45(f,[0,10],[0.5,0],opts);
     plot(t, x(:,1))
     grid on
     xlabel('\tau')
     ylabel('\xi')
     title('Cuerda que desliza')

    function [value,isterminal,direction]=stop_cuerda(~,x)
        value=x(1); %detiene cuando x(1) es 0
        isterminal=1;   
        direction=-1; % 1 crece, -1 decrece, 0 no importa
    end
end

Va disminuyendo la longitud de la porción de la cuerda que cuelga, hasta que desaparece en el instante τ=0.5916

Para β=10 la derivada segunda se anula, cuando la posición inicial ξ₀=0.7298, raíz de la ecuación de segundo grado. La cuerda no se mueve de esta posición

Referencias

Prato D., Gleiser R., Another look at the uniform rope sliding over the edge of a smoooth table. Am. J. Phys. 50 (6) June 1982, pp. 536-539.

F Behroozi. The sliding chain problem with and without friction: a universal solution. Eur. J. Phys. 18 (1997) pp. 15-17.

Metin Gürgöze, Atakan Altınkaynak. Variable-mass dynamics made explicit: a rotating falling-chain test case. Eur. J. Phys. 47 (2026) 035002