Movimiento sobre una superficie parabólica

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en la posición x, moviéndose hacia la derecha son:

Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x, el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria) forma un ángulo θ con el eje X.

y= a 2 x 2 dy dx =tanθ=ax

Movimiento hacia la derecha

La partícula inicialmente en reposo, parte de la posición x0 y se moverá hacia la derecha si la componente tangencial del peso es mayor que la fuerza de rozamiento

mgsin0|μsmgcosθ0     tan0|μs 

Siendo μs el coeficiente de rozamiento estático

Descomponemos las fuerzas y escribimos las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y

m d 2 x d t 2 =Nsinθ F r cosθ m d 2 y d t 2 =Ncosθmg F r sinθ

Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t

y= a 2 x 2 dy dt =ax dx dt d 2 y d t 2 =ax d 2 x d t 2  +a ( dx dt ) 2

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la ecuación diferencial

( 1+ a 2 x 2 ax+μ ) d 2 x d t 2 +a ( dx dt ) 2 =g

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con la condición inicial de que la partícula está en reposo vx=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la posición x0.

Posición de parada

La partícula se mueve hacia la derecha, hasta que se para momentáneamente en la posición x1. Para calcular esta posición trasformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

v x = dx dt d 2 x d t 2 = v x d v x dx ( 1+ a 2 x 2 ax+μ ) v x d v x dx +a v x =g v x d v x g+a v x 2 =( ax+μ 1+ a 2 x 2 )dx= 1 a (μ+tanθ)dθ

Integramos la ecuación diferencial entre x0 ó θ0 donde la velocidad es 0 y x ó θ donde la velocidad de la partícula es vx.

0 v x v x d v x g+a v x 2 = θ 0 θ (μ+tanθ)dθ ln( 1+ a v x 2 g )=2ln( cosθ cos θ 0 )2μ(θ θ 0 )

En la posición θ=θ1 la velocidad es cero, esta posición se calcula poniendo vx=0 en la ecuación anterior y resolviendo la ecuación trascendente

lncosθμθ=lncos θ 0 μ θ 0

Una vez calculado la raíz θ1,obtenemos la posición x1 a partir de tanθ1= a·x1

Movimiento hacia la izquierda

Cuando la partícula llega a la posición x1, se para momentáneamente e inicia el camino de vuelta si la fuerza de rozamiento es menor que la componente tangencial del peso

mgsinθ1μmgcosθ1     tan θ1μ 

La fuerza de rozamiento cambia de sentido y las ecuaciones del movimiento son

m d 2 x d t 2 =Nsinθ+ F r cosθ m d 2 y d t 2 =Ncosθmg+ F r sinθ

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la ecuación diferencial

( 1+ a 2 x 2 axμ ) d 2 x d t 2 +a ( dx dt ) 2 =g

Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente cambiando μ→-μ

mu=0.1;  %coeficiente de rozamiento
a=1.9; %parámetro
x0=zeros(1,2);
x0(1)=-2.2;  %posición de partida
x0(2)=0;    %parte del reposo
f=@(t,x) [x(2);(-9.8-a*x(2)^2)*(a*x(1)+sign(x(2))*mu)/(1+a^2*x(1)^2)]; 
tspan=[0 10];
opts=odeset('events',@parabola_ode45);
[t,x,te,xe,ie]=ode45(f,tspan,x0,opts);

hold on
plot(t,x(:,1),'b')
plot(te(ie==1),xe(ie==1),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('x');
title('posición x en función del tiempo')

Definimos una función para que el procedimiento ode45de MATLAB detecte cuando la velocidad, x(2) en el código, se hace cero, cualquiera que sea la dirección del movimiento.

function [detect,stopin,direction]=parabola_ode45(t,x)
    detect=x(2); 
    stopin=0;
    direction=0; 
end

En la ventana de comandos mostramos estas posiciones, señaladas mediante un punto de color rojo en la ventana gráfica.

>> xe(:,1)
ans =
   -2.2000
    1.6652
   -1.2649
    0.9611
   -0.7250
    0.5405
   -0.3870
    0.2572
   -0.1424
    0.0352

Posición de parada

La partícula sale de la posición x1 se mueve hacia la izquierda y se para en la posición x2, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente en la que se ha efectuado el cambio  μ→-μ

lncosθ+μθ=lncos θ 1 +μ θ 1

Una vez calculada la raíz θ2, obtenemos la posición x2, tal que tanθ2= a·x2

Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tann|<μ

Calculamos las sucesivas posiciones x de parada de la partícula, resolviendo la ecuación trascendente

a=1.9;
x0=atan(-2.2*a);  %ángulo de partida
mu=0.1;  %coeficiente de rozamiento

while tan(abs(x0))>abs(mu)
    f=@(x)  log(cos(x))-mu*x;
    g=@(x) f(x)-f(x0);
    x0=fzero(g,[0, -x0]); %ángulo de llegada
    disp(tan(x0)/a)
    mu=-mu;
end
 1.6628
 -1.2611
 0.9567
-0.7217
 0.5357
-0.3836
 0.2545
-0.1397
 0.0326

En el siguiente ejemplo, el programa produce un error

a=0.5;
x0=atan(-4.9*a);  %ángulo de partida
mu=0.2;  %coeficiente de rozamiento

while tan(abs(x0))>abs(mu)
    f=@(x)  log(cos(x))-mu*x;
    g=@(x) f(x)-f(x0);
    x0=fzero(g,[0, -x0]); %ángulo de llegada
    disp(tan(x0)/a)
    mu=-mu;
end
 2.8140
   -1.5114
    0.5784
Error using fzero (line 274)
The function values at the interval endpoints must differ in sign.

La razón, como puede apreciarse en la simulación más abajo, es que la última posición de parada x=0.225 está del mismo lado que la anterior x=0.578. El problema se soluciona con el siguiente código.

a=0.5;
x0=atan(-4.9*a);  %ángulo de partida
mu=0.2;  %coeficiente de rozamiento

while tan(abs(x0))>abs(mu)
    f=@(x)  log(cos(x))-mu*x;
    g=@(x) f(x)-f(x0);
    if sign(g(0))~=sign(g(-x0))
        x0=fzero(g,[0,-x0]); %ángulo de llegada
    else
        x0=fzero(g,0);  %última posición de parada
    end
    disp(tan(x0)/a)
    mu=-mu;
end
    2.8140
   -1.5114
    0.5784
    0.2256

Trabajo de la fuerza de rozamiento

W= A B F r · dr = A B μN·ds

Fr=μN es la fuerza de rozamiento

dr es el vector desplazamiento cuyo módulo es ds.

Calculamos la reacción N de la superficie

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

m v 2 ρ =Nmgcosθ

donde ρ es el radio de curvatura y el punto C el centro de curvatura

La fórmula del radio de curvatura de una función y=f(x) en un punto de abscisa x, es.

ρ=| ( 1+ ( dy dx ) 2 ) 3/2 d 2 y d x 2 |

Para la parábola de ecuación

y= a 2 x 2 dy dx =ax d 2 y d x 2 =a ρ=| ( 1+ a 2 x 2 ) 3/2 a |= ( 1+ tan 2 θ ) 3/2 a = 1 a cos 3 θ

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula vale

( 1+ a v x 2 g )= ( cosθ cos θ 0 ) 2 exp( 2μ(θ θ 0 ) )

La reacción de la superficie N es

N=mgcosθ+ma v x 2 cosθ=mgcosθ( 1+ a v x 2 g )= mgcosθ ( cosθ cos θ 0 ) 2 exp( 2μ(θ θ 0 ) )

Calculamos el trabajo W

W= θ 0 θ μN·ds = μmg a cos 2 θ 0 θ 0 θ exp( 2μ(θ θ 0 ) ) dθ= mg 2a cos 2 θ 0 ( 1exp( 2μ(θ θ 0 ) ) )

Balance energético

El trabajo W es la diferencia entre la energía final (cuando la partícula se encuentra en la posición x) y la energía inicial (cuando la partícula se encuentra en la posición x0)

W=( mgy+ 1 2 m v 2 )mg y 0

Expresamos las variables y y v en función del ángulo θ de la tangente a la curva.

y= a 2 x 2 tanθ=axv= v x cosθ

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula vale

( 1+ a v x 2 g )= ( cosθ cos θ 0 ) 2 exp( 2μ(θ θ 0 ) )

Después de realizar algunas operaciones llegamos a la misma expresión para el trabajo W.

W= mg 2a cos 2 θ 0 ( 1exp( 2μ(θ θ 0 ) ) )

Ejemplos

  1. Determinar la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria x=0.0

  2. El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x0=-2.0 es

    tanθ0=ax0, θ0=-1.32 rad

    El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x=0.0 es θ=0.0 rad.

    Calculamos la componente X de la velocidad vx y a continuación, el módulo de la velocidad v.

    ( 1+ 2.0· v x 2 9.8 )= ( cos0 cos(1.32) ) 2 exp( 2·0.1·1.32 ) v= v x cosθ v=7.68m/s

  3. Posiciones de pausa

  4. La posición de pausa se calcula resolviendo la ecuación trascendente

    lncosθ0.1·θ=lncos(1.32)0.1·(1.32) θ 1 =1.25radx= tan θ 1 a =1.51m

    como tanθ1>μ la partícula desliza hacia la izquierda, hasta que se detiene momentáneamente en la posición que se calcula resolviendo la ecuación trascendente en la que se ha sustituido μ→-μ

    lncosθ+0.1·θ=lncos(1.25)+0.1·1.25 θ 2 =1.16radx= tan θ 2 a =1.15m

    como tan2|>μ la partícula desliza hacia la derecha

    y así sucesivamente, hasta que tann|<0.1

  5. Efectuamos el balance energético entre las posiciones inicial x=-2.0 y la posición x=0 .

  6. Energía inicial cuando la partícula se encuentra en x0=-2.0

    E 0 =mg y 0 =m·9.8· 2.0 2 ( 2.0 ) 2 =39.2·m

    La energía final cuando la partícula se encuentra en x=0

    E= 1 2 m v 2 = 1 2 m 7.68 2 =29.5m

    Trabajo de la fuerza de rozamiento

    W= mg 2a cos 2 θ 0 ( 1exp( 2μ(θ θ 0 ) ) ) W= m·9.8 2·2.0· cos 2 (1.32) ( 1exp(2·0.1·1.32) )=9.70m

    Comprobamos que W=E-E0

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la partícula. Sobre el eje X aparecen señaladas las posiciones de paro momentáneo de la partícula.

También se representa de forma gráfica el balance energético


Referencias

Lapidus I R. Motion of a harmonic oscillator with variable sliding friction. Am. J. Phys. 52 (11) November 1984, pp. 1015-1016