La lluvia que cae en un vagón de ferrocarril

Cuando no se aplican fuerzas

Se resuelve un problema cuyo enunciado es similar al siguiente:

Un vagón de ferrocarril que está abierto por arriba, se mueve a lo largo de vías rectilíneas con velocidad v0. En un momento dado, comienza a llover verticalmente, incrementándose la masa del vagón a razón constante de f kg/s. Sabiendo que la masa inicial del vagón es m0 kg. Calcular

La solución del problema es

Tenemos una situación equivalente, cuando un cuerpo de masa m0 que lleva una velocidad inicial v0 choca inelásticamente con pequeño cuerpo de masa Δm en reposo. La velocidad v1 después del primer choque es

mv0=(mm)v1

Si el cuerpo resultante de masa m0m se vuelve a encontrar con otro pequeño cuerpo de masa Δm en reposo. La velocidad v2 después del segundo choque es

m0v0=(m0m)v1=(m0+2Δm)v2.

después de n choques consecutivos, el cuerpo tendrá una masa (m0+n·Δm), y su velocidad será

v n = m 0 v 0 m 0 +n·Δm

En la expresión anterior el término f·t es el incremento de la masa del vagón. En ésta, Δm es el incremento de la masa del cuerpo como resultado de sus choques inelásticos

Cuando se aplican fuerzas.

Vamos a estudiar en este apartado, el movimiento de un vagón cuya masa inicial es m0 y cuya velocidad inicial es v0, que incrementa su masa a razón constante de f kg/s. Sobre el vagón se ejerce una fuerza F mediante una máquina de tren conectada al vagón y además, estudiaremos el efecto de la fuerza de rozamiento cuyo coeficiente es μ.

Las fuerzas que actúan sobre el vagón son:

La ecuación del movimiento del vagón es

dp dt =Fμ( m 0 +f·t)g

En el instante t=0, la velocidad inicial es v0, y el vagón parte del origen x=0.

p 0 p dp = 0 t (Fμ m 0 gμgf·t)dt p= p 0 +(Fμ m 0 g)t 1 2 μgf· t 2

Casos particulares

Ejemplos

Ejemplo1:

Sea F=0, y μ=0

La velocidad en el instante t=50 s es

v= 50·0.1 50+0.7·40 =0.064m/sx= 50·0.1 0.7 ln 50+0.7·40 50 =3.18m

F=0;  %Fuerza
mu=0; %coeficiente de rozamiento
f=0.7;  %flujo
m0=50;
v0=0.1;  %Velocidad inicial del depósito
g=9.8; %aceleración de la gravedad
 
%no hay rozamiento
figure;
t=0:0.5:50;
v=(m0*v0+F*t)./(m0+f*t);
plot(t,v)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Velocidad')
 
figure;
x=(F/f)*t+(m0/f)*(v0-F/f)*log((m0+f*t)/m0);
plot(t,x)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Posición')
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f\n',v(end),x(end));

Velocidad final  0.1, posición final   3.8

Ejemplo 2:

Sea μ=0

La velocidad v0 es constante cuando la fuerza F=f·v0=0.7·0.1=0. 07 N

Cuando F es más pequeña que este valor, el vagón se frena y cuando es más grande se acelera

Ejemplo 3:

Sea μ=0.1

Introducimos el valor de la fuerza F que sea mayor que la fuerza de rozamiento inicial μm0g=0.1·50·9.8=49 N

Por ejemplo, F=60 N

Observamos que el vagón parte del reposo, se acelera, hasta que alcanza una velocidad máxima y luego, se decelera hasta que se para. El tiempo que tarda en pararse es

t= 2(6049) 0.1·0.7·9.8 =32.07s

En este tiempo, el vagón se ha desplazado

x= 0.1·9.8 4 32.07 2 + 6049/2 0.7 32.07+ 50 0.7 ( 0 6049/2 0.7 )ln 50+0.7·32.07 50 =31.0m

m0=50; %Masa del depósito vacío
f=0.7;  %Flujo
F=60;  %Fuerza
mu=0.1; %coeficiente de la fuerza de rozamiento
v0=0;  %Velocidad inicial del depósito
g=9.8; %aceleración de la gravedad
%tiempo final
tf=((F-mu*m0*g)+sqrt((F-mu*m0*g)^2+2*mu*f*g*m0*v0))/(mu*f*g);

figure
t=0:0.05:tf;
v=(m0*v0+(F-mu*m0*g)*t-mu*f*g*t.^2/2)./(m0+f*t);
plot(t,v)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')
title('Velocidad')

figure;
x=-mu*g*t.^2/4+(F-mu*m0*g/2)*t/f+(m0/f)*(v0-(F-mu*m0*g/2)/f)
*log((m0+f*t)/m0);
plot(t,x)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
title('Posición')
fprintf('Velocidad final %4.1f, posición final %5.1f\n',v(end),x(end));

Velocidad final  0.0, posición final  31.0

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del vagón arrastrado o no por la máquina según que la fuerza F sea positiva o nula, respectivamente.

La masa del vagón se incrementa con el tiempo, debido a la caída de la lluvia, que se representa por el movimiento vertical de puntos de color azul.



Referencias

Lapidus I. R. Problem: the rain in the plain falls mainly on the train. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, Enunciado pág 644, solución pág 697.