Oscilador de masa variable

Hemos estudiado el oscilador más simple: un cuerpo de masa m unido a un muelle elástico de constante k. La frecuencia de las oscilaciones es

ω 0 = k m

Vamos estudiar el comportamiento de un oscilador cuya masa m va disminuyendo con el tiempo t, a medida que sale agua del depósito. Observaremos como la frecuencia aumenta con el tiempo hasta que se vacía el depósito. A partir de ese momento, la frecuencia se mantiene constante e igual a

ω 0 = k M

siendo M la masa del depósito vacío

Vaciado del depósito

En la página "Vaciado de un depósito abierto", hemos aplicado la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli, para obtener la variación de la altura h del depósito con el tiempo t.

La velocidad u de salida del agua vale

u= S 1 2gh S 1 2 S 2 2 =f 2gh f 2 1 f= S 1 S 2

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2u y en el tiempo dt será S2u·dt. Como consecuencia disminuirá la altura h de agua en el depósito

S 1 dh= S 2 u·dt dh dt = u f dh= 2gh f 2 1 dt

Sabiendo que en el instante t=0, la altura inicial de agua en el depósito es H. Integramos para obtener la altura h de agua en el depósito en el instante t.

H h dh h = 2g f 2 1 0 t dt H h =( g 2( f 2 1 ) )t

El depósito se vacía, h=0 en el instante tmax

t max = 2H( f 2 1 ) g

Centro de masa del sistema formado por el depósito y el agua.

Sea un recipiente vacío de forma cilíndrica de masa M, sección S1=A y altura H, abierto por la parte superior para que entre aire a medida que se sale agua por el orificio situado en su base. Supongamos que su centro de masas está situado a una altura H/2 de la base. Cuando se llena de agua, el centro de masas no cambia, tal como se aprecia en la figura de la izquierda.

Cuando el agua en el depósito tiene una altura h, la posición del centro de masas habrá cambiado. La masa de agua que hay en el depósito es m=ρAH. Donde ρ=1000 kg/m3 es la densidad del agua. Cuando el depósito se ha vaciado completamente, el centro de masas volverá al valor inicial H/2, tal como se ve en las figuras.

La altura del centro de masas, medido desde la base, en función de h es

y cm = M( H/2 )+ρAh( h/2 ) M+ρAh

La altura ycm del centro de masa cambia con el tiempo t a medida que sale agua por el orificio.

H=0.5;   %altura del depósito
M=1.0; %masa del cubo vacío
rho=1000; %densidad del agua
A=0.02; % 10 litros en un cilindro de 0.05 m de altura
f=1/0.01; %cociente S1/S2 (sección cilindro/área orificio)
tMax=sqrt(2*H*(f^2-1)/9.8);
h= @(t) (sqrt(H)-sqrt(4.9/(f^2-1))*t)^2;

subplot(2,1,1)
fplot(h,[0,tMax])
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('h(m)')
title('Altura del agua en el depósito')

subplot(2,1,2)
y_cm=@(t) (M*(H/2)+rho*A*h(t)^2/2)/(M+rho*A*h(t));
fplot(y_cm,[0,tMax])
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('y_c_m(m)')
title('Altura del c.m.')

Ecuación del movimiento

Posición inicial de equilibrio

Situamos el origen en el centro de masas del depósito lleno cuando lo atamos a un muelle inicialmente no deformado. Denominaremos z a la posición del centro de masas que ya no coincidirá con el centro del depósito cuando empiece a vaciarse. El eje Z apunta hacia arriba

En la situación de equilibrio, la posición del c.m es ze por debajo del origen. El muelle se deforma x=-ze. Las fuerzas que actúan sobre el c.m. del depósito son:

En el equilibrio

x= (M+ρAH)g k z e =x

El depósito lleno de agua se desvía de la posición de equilibrio, se suelta a la vez que el agua empieza a salir por el orificio situado en su base inferior. Vamos a estudiar el movimiento del centro de masas del sistema formado por el depósito y el agua que permenece en su interior.

Hemos formulado las ecuaciones de un sistema de masa variable en varias páginas, una de ellas, es el movimiento vertical de un cohete,

m dv dt +u dm dt = F ext

Donde m es la masa total del cohete, u es la velocidad de escape de los gases relativa al cohete y dm/dt la variación de su masa con el tiempo, Fext es la resultante de las fuerzas (el peso) que se aplican en el centro de masas.

En el sistema que se estudia en esta página, las fuerzas que se ejercen sobre el centro del masas del depósito lleno de agua hasta una altura h son: el peso (M+ρAh)g y la fuerza que ejerce el muelle elástico deformado kx.

Sea z la posición del c.m. La ecuación del movimiento del centro de masas es

( ρAh+M ) d 2 z d t 2 +u d( ρAh ) dt =kx( ρAh+M )g

siendo x la deformación del muelle, que relacionamos con la posición z del centro de masas del depósito lleno de agua hasta una altura h.

x+ H 2 =z y cm +H x=z y cm + H 2

Hemos calculado en apartados anteriores, la variación de la altura h de agua en el depósito en función del tiempo t, la velocidad u de salida de agua por el orificio practicado en el fondo del recipiente y la altura ycm del centro de masas.

( ρAh+M ) d 2 z d t 2 =fρA 2gh f 2 1 k( z y cm + H 2 )( ρAh+M )g h = H ( g 2( f 2 1 ) )t y cm = M( H/2 )+ρAh( h/2 ) M+ρAh

Se resuelve la ecuación diferencial, con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, z=z0, dz/dt=0.

Una vez calculada la posición z del c.m. del sistema formado por el depósito y el agua que permanece en el depósito, determinamos la posición del centro del depósito mediante la transformación z-ycm+H/2 tal como puede verse en las figuras (más arriba)

H=0.5;   %altura del depósito
M=1.0; %masa del cubo vacío
rho=1000; %densidad del agua
A=0.02; % 10 litros en un cilindro de 0.05 m de altura
f=1/0.01; %cociente S1/S2 (sección cilindro/área orificio)
ks=100;
tMax=sqrt(2*H*(f^2-1)/9.8);
 
%condiciones iniciales
x0=[-(M+rho*A*H)*9.8/ks,0];
%x0=[0,0];

tspan=[0 tMax];
p=[f, A, H, M, ks, rho, tMax];
[t,x]=ode45(@muelle_cubo_ode,tspan,x0,[],p);
h= @(t) (sqrt(H)-sqrt(4.9/(f^2-1))*t).^2;
xDeposito=x(:,1)-(M*H/2+rho*A*h(t).^2/2)./(M+rho*A*h(t))+H/2; %centro del depósito
plot(t,xDeposito)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x')
title('Oscilador de masa variable')
function ret =muelle_cubo_ode(t,x,p)
    f=p(1);
    A=p(2);
    H=p(3);
    M=p(4);
    ks=p(5);
    rho=p(6);
    tMax=p(7);
    
    h=0;
    if t<tMax  %mientras el depósito tenga agua
        h=(sqrt(H)-sqrt(4.9/(f*f-1))*t)^2;
    end
    deforma=x(1)-(M*H/2+rho*A*h*h/2)/(M+rho*A*h)+H/2;
    ret=[x(2);(f*rho*A*2*9.8*h/(f*f-1)-ks*deforma)/(M+rho*A*h)-9.8];
end

Un caso especialmente importante es aquél en el que la posición inicial del c.m. es la posición de equilibrio y se abre la llave que permite la salida de agua del depósito, vemos que el centro del depósito parte de la posición de equilibrio con el depósito lleno

z e = (M+ρAH)g k

y llega a la posición final de equilibrio con el depósito vacío, realizando pequeñas oscilaciones en torno a las sucesivas posiciones de equilibrio

z e = Mg k

Actividades

Se introduce

El programa interactivo ha fijado los siguientes valores de los parámetros

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Ejemplo

Sea la constante del muelle k=100 N/m y el parámetro f=100

La posición de equilibrio del depósito lleno cuando se cuelga del muelle es

z e = (M+ρAH)g k = (1+1000·0.02·0.5)9.8 100 =1.078

Cuando el depósito se vacía completamente, la posición de equilibrio es

z e = Mg k = 1·9.8 100 =0.098



Referencias

Hilário Rodrigues, Nelson Panza, Dirceu Portes, Alexandre Soares. The motion of a leaking oscillator: a study for the physics class. Physics Education, 49 (5) September 2014, pp. 557-563