Una varilla, que forma un ángulo θ con la horizontal está girando alrededor de su eje vertical Z con velocidad angular constante ω.

Un cuerpo de masa m situado a una distancia x puede deslizar a lo largo de la varilla

El coeficiente estático de rozamiento entre el cuerpo y la varilla es μ. Vamos a estudiar en esta página, el movimiento del cuerpo para distintas posiciones x y velocidades angulares ω de rotación.

Velocidad angular nula ω=0

Primero, vamos a calcular los ángulos θ para los cuales la partícula permanece en reposo si la varilla no gira ω=0

Las fuerzas sobre la partícula son

• el peso, mg
• La fuerza que ejerce la varilla, N
• La fuerza de rozamiento, F_r

Equilibrio en la dirección perpendicular a la varilla

${\displaystyle N=mg\cos \theta }$

Equilibrio en la dirección de la varilla

${\displaystyle F_r=mg\sin \theta ,F_r<\mu N}$

Permanece en reposo si, F_r es menor que su valor máximo μN

${\displaystyle \begin{array}{l}mg\sin \theta <\mu N\\ mg\sin \theta <\mu mg\cos \theta \\ \tan \theta <\mu \end{array}}$

Rozamiento nulo

Los casos más interesantes se presentan cuando la varilla gira, ω≠0

Consideremos primero el caso más sencillo, cuando no hay rozamiento entre el cuerpo y la superficie sobre la que desliza.

Sistema de referencia inercial

Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas:

• El peso, mg
• La fuerza que ejerce la varilla, N.

El cuerpo describe una trayectoria circular centrada en el eje Z de radio x·cosθ. La aceleración normal a_n=ω²x·cosθ tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia.

Descomponemos la reacción N y aplicamos:

Equilibrio en la dirección vertical, perpendicular al plano de la trayectoria circular

Ncosθ=mg

La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme en la dirección radial

Nsinθ=mω²x·cosθ

Eliminando N en el sistema de dos ecuaciones, la posición de equilibrio es

${\displaystyle x_e=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }}$

Sistema de referencia no inercial

Este observador verá el cuerpo en equilibrio, bajo la acción de las siguientes fuerzas:

• El peso, mg
• La fuerza que ejerce la varilla, N.
• La fuerza centrífuga, F_c= mω²x·cosθ

Descomponemos  la reacción N, y aplicamos las condiciones de equilibrio

Ncosθ=mg
Nsinθ=mω² x·cosθ

Obtenemos las mismas ecuaciones que en el apartado anterior

Estabilidad

El peso es una fuerza conservativa. Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen O. La energía potencial es

E_g= mgx·sinθ

La fuerza centrífuga depende solamente de la distancia r al eje de rotación, es una fuerza conservativa similar a la que ejerce de un muelle elástico.

La fuerza que ejerce un muelle elástico tiene sentido contrario al desplazamiento F=-kx, su energía potencial es positiva E_p=kx²/2

La fuerza centrífuga tiene el mismo sentido que el desplazamiento F=mω²·r

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}m{\omega }^{2}r·dr}=0-E_c\\ E_c=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2=-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2{\cos }^2\theta \end{array}}$

y su energía potencial será por tanto negativa. La energía potencial inicial para r=0, se toma como cero.

Cuando el cuerpo se encuentra en la posición x a lo largo de la varilla, la energía potencial total será la suma de ambas contribuciones E_p=E_g+E_c.

${\displaystyle E_p(x)=mgx\sin \theta -\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2{\cos }^2\theta }$

La condición de equilibrio x_e  se establece cuando E_p sea un extremo (máximo o mínimo)

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{E}_p}{dx}=mg\sin \theta -m{\omega }^{2}x·{\cos }^2\theta =0\\ x_e=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }\end{array}}$

La estabilidad de la solución depende de la derivada segunda.

${\displaystyle \frac{d^2{E}_p}{d{x}^2}=-m{\omega }^2{\cos }^2\theta <0}$

La energía potencial presenta un máximo para x_e, la derivada segunda es negativa y el equilibrio es inestable.

• Si se coloca el cuerpo en la posición x>x_e desliza hacia arriba
• Si se coloca el cuerpo en la posición x<x_e desliza hacia abajo.

Rozamiento no nulo

Describiremos el movimiento del cuerpo desde el punto de vista del observador no inercial

1. Supongamos que el cuerpo se coloca en una posición x>x_e, el cuerpo tenderá a deslizar hacia arriba, la fuerza de rozamiento se opondrá a este deslizamiento. Las fuerzas sobre el cuerpo serán:



• El peso, mg
• La fuerza que ejerce la varilla, N.
• La fuerza centrífuga, F_c= mω²x·cosθ
• La fuerza de rozamiento, F_r.

Descomponemos las fuerzas a lo largo de la varilla y perpendicularmente a ésta.

Si el cuerpo se encuentra en equilibrio entonces,

F_c·cosθ=mg·sinθ+F_r
N=mg·cosθ+F_c·sinθ

Cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo F_r=μN el cuerpo empezará a deslizar hacia arriba a lo largo de la varilla.

${\displaystyle \begin{array}{l}m{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta =mg\sin \theta +\mu \left(mg\cos \theta +m{\omega }^{2}x\cos \theta \sin \theta \right)\hfill \\ \begin{array}{l}{x}_1=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\sin \theta +\mu \cos \theta }{\cos \theta -\mu \sin \theta }\frac{1}{\cos \theta }=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\tan \theta +\tan \beta }{1-\tan \beta \tan \theta }\frac{1}{\cos \theta }\\ x_1=\frac{g}{{\omega }^2}\tan \left(\theta +\beta \right)\frac{1}{\cos \theta },\tan \beta =\mu \end{array}\hfill \end{array}}$

Hemos utilizado la relación trigonométrica

${\displaystyle \tan \left(a+b\right)=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos \left(a+b\right)}=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a·\tan b}}$

Cuando la posición inicial del cuerpo x₀≥x₁ el cuerpo desliza hacia arriba, calculamos su aceleración

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=m{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta -mg\sin \theta -\mu \left(mg\cos \theta +m{\omega }^{2}x\cos \theta \sin \theta \right)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-{\omega }^2\left(\cos \theta -\mu \sin \theta \right)\cos \theta ·x=-g\left(\sin \theta +\mu \cos \theta \right)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-k_1^2·x=-c_1\end{array}}$

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{c_1}{k_1^2}+A\exp (-k_{1}t)+B\exp (k_{1}t)\\ \frac{dx}{dt}=-k_{1}A\exp (-k_{1}t)+k_{1}B\exp (k_{1}t)\end{array}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial x=x₀ y la velocidad inicial dx/dt=0, parte del reposo.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{c_1}{k_1^2}+\left(x_0-\frac{c_1}{k_1^2}\right)\cosh (k_{1}t)\\ x=x_1+\left(x_0-x_1\right)\cosh \left(\omega \sqrt{\left(\cos \theta -\mu \sin \theta \right)\cos \theta }·t\right)\end{array}}$

2. Supongamos que el cuerpo se coloca en una posición x<x_e, el cuerpo tenderá a deslizar  hacia abajo hacia el origen, la fuerza de rozamiento se opondrá a este deslizamiento. Las fuerzas sobre el cuerpo serán.



• El peso mg
• La fuerza que ejerce la varilla, N.
• La fuerza centrífuga, F_c= mω²x·cosθ
• La fuerza de rozamiento, F_r.

Descomponemos las fuerzas a lo largo del plano y perpendicularmente al plano

Si el cuerpo se encuentra en equilibrio entonces,

mg·sinθ=F_c·cosθ +F_r
N=mg·cosθ+F_c·sinθ

Cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo F_r=μN el cuerpo empezará a deslizar hacia abajo a lo largo de la varilla.

${\displaystyle \begin{array}{l}mg\sin \theta =m{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta +\mu \left(mg\cos \theta +m{\omega }^{2}x\cos \theta \sin \theta \right)\hfill \\ x_2=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\sin \theta -\mu \cos \theta }{\cos \theta +\mu \sin \theta }\frac{1}{\cos \theta }=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\tan \theta -\tan \beta }{1+\tan \theta ·\tan \beta }\frac{1}{\cos \theta }=\frac{g}{{\omega }^2}\tan \left(\theta -\beta \right)\frac{1}{\cos \theta }\hfill \end{array}}$

Cuando la posición inicial del cuerpo x₀≤x₂ el cuerpo desliza hacia abajo, calculamos su aceleración.

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=m{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta -mg\sin \theta +\mu \left(mg\cos \theta +m{\omega }^{2}x\cos \theta \sin \theta \right)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-{\omega }^2\left(\cos \theta +\mu \sin \theta \right)\cos \theta ·x=-g\left(\sin \theta -\mu \cos \theta \right)\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}-k_2^2·x=-c_2\end{array}}$

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{c_2}{k_2^2}+A\exp (-k_{2}t)+B\exp (k_{2}t)\\ \frac{dx}{dt}=-k_{2}A\exp (-k_{2}t)+k_{2}B\exp (k_{2}t)\end{array}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial x=x₀ y la velocidad inicial dx/dt=0, parte del reposo.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{c_2}{k_2^2}+\left(x_0-\frac{c_2}{k_2^2}\right)\cosh (k_{2}t)\\ x=x_2+\left(x_0-x_2\right)\cosh \left(\omega \sqrt{\left(\cos \theta +\mu \sin \theta \right)\cos \theta }·t\right)\end{array}}$

Posiciones en reposo

• Si, sinθ>μcosθ, tanθ>μ o bien, si θ>β el cuerpo permanecerá en equilibrio en el intervalo x₂<x<x₁

• Si, sinθ<μcosθ, tanθ<μ, o bien, si θ<β, entonces x₂<0 lo que no tiene sentido físico. El cuerpo permanecerá en equilibrio en el intervalo 0<x<x₁. Recuérdese que tanβ=μ

Ejemplo:

• El coeficiente de rozamiento, μ=0.2.
• La velocidad angular de rotación, ω=7 rad/s
• El ángulo que forma la varilla con la horizontal, θ=30º

1. Cuando no hay rozamiento la posición de equilibrio inestable es

${\displaystyle x_e=\frac{g}{{\omega }^2}\frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }{x}_e=\frac{9.8}{7^2}\frac{\sin 30}{{\cos }^{2}30}=13.33\text{cm}}$

2. Cuando hay rozamiento, tan(30°)>0.2

La partícula estará en equilibrio entre las posiciones x₂ y x₁

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}_1=\frac{g}{{\omega }^2}\tan \left(\theta +\beta \right)\frac{1}{\cos \theta },x_1=\frac{9.8}{7^2}\tan \left(30+\arctan \left(0.2\right)\right)\frac{1}{\cos 30}=20.3\text{cm}\hfill \\ x_2=\frac{g}{{\omega }^2}\tan \left(\theta -\beta \right)\frac{1}{\cos \theta },x_2=\frac{9.8}{7^2}\tan \left(30-\arctan \left(0.2\right)\right)\frac{1}{\cos 30}=7.8\text{cm}\hfill \end{array}}$

• Cuando la posición inicial del cuerpo es x₀≤x₂ desliza hacia abajo
• Cuando la posición inicial del cuerpo es x₀≥x₁ desliza hacia arriba.

Conclusiones

El valor máximo de la fuerza de rozamiento es

${\displaystyle F_m=\mu \left(g+{\omega }^{2}x\sin \theta \right)\cos \theta }$

La partícula permencerá en reposo si

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}-mg\sin \theta +m{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta <\mu \left(mg\cos \theta +m{\omega }^{2}x\cos \theta \sin \theta \right)\\ mg\sin \theta -m{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta <\mu \left(mg\cos \theta +m{\omega }^{2}x\cos \theta \sin \theta \right)\end{array}\\ F=\left|g\sin \theta -{\omega }^{2}x{\cos }^2\theta \right|<\mu \left(g+{\omega }^{2}x\sin \theta \right)\cos \theta \end{array}}$

Siempre que F<F_m la partícula permenecerá en reposo

Representamos F y F_m (fuerzas por unidad de masa) para

1. tanθ>μ, θ>β

• Coeficiente estático de rozamiento, μ=0.2
• Velocidad angular de rotación, ω= 7 rad/s
• Inclinación de la varilla respecto de la horizontal, θ=30°

mu=0.2; %coeficiente estático
w=7; %velocidad angular de rotación
th=pi/6; %inclinación de la varilla
hold on
Fr=@(x) mu*(9.8+w^2*x*sin(th))*cos(th);
F=@(x) abs(9.8*sin(th)-w^2*x*cos(th)^2);
fplot(Fr, [0,0.4])
fplot(F, [0,0.4])
xe=9.8*sin(th)/(w*cos(th))^2;
plot(xe,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
x1=9.8*tan(th+atan(mu))/(w^2*cos(th));
x2=9.8*tan(th-atan(mu))/(w^2*cos(th));

plot(xe,0,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(x1,F(x1),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
plot(x2,F(x2),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
line([x1,x1],[0,F(x1)],'lineStyle','--')
line([x2,x2],[0,F(x2)],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('F, F_m')
legend('F_m','F','location','best')
title('Movimento circular')



La posición de equilibrio inestable x_e=13.3 cm (un punto de color rojo). El cuerpo permanecerá en reposo en el intervalo [7.8, 20.3] cm. Como vemos en la gráfica, en este intervalo, F (color rojo) es menor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento F_m=μN (en azul)

xe =    0.1333
x1 =    0.2030
x2 =    0.0781

2. tanθ<μ, θ<β

Cambiamos el coeficiente estático de rozamiento, μ=0.7

mu=0.7; %coeficiente estático
w=7; %velocidad angular de rotación
th=pi/6; %inclinación de la varilla
hold on
Fr=@(x) mu*(9.8+w^2*x*sin(th))*cos(th);
F=@(x) abs(9.8*sin(th)-w^2*x*cos(th)^2);
fplot(Fr, [-0.1,0.6])
fplot(F, [-0.1,0.6])
xe=9.8*sin(th)/(w*cos(th))^2;
plot(xe,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
x1=9.8*tan(th+atan(mu))/(w^2*cos(th));
x2=9.8*tan(th-atan(mu))/(w^2*cos(th));

plot(xe,0,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(x1,F(x1),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
plot(x2,F(x2),'bo','markersize',4,'markerfacecolor','b')
line([x1,x1],[0,F(x1)],'lineStyle','--')
line([x2,x2],[0,F(x2)],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('F, F_m')
legend('F_m','F','location','best')
title('Movimento circular')



El cuerpo permanecerá en reposo en el intervalo [0, 49.5] cm. Como vemos en la gráfica, en este intervalo, F (color rojo) es menor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento F_m=μN (en azul)

x1 =    0.4951
x2 =    -0.0202

Actividades

Se introduce

• La posición inicial x₀, en el control titulado Posición.
• La velocidad angular de rotación ω, en el control titulado V. angular.
• El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coef. rozamiento.
• El ángulo que forma la superficie cónica con la horizontal se ha fijado en θ=30º
• Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de cuerpo deslizando a lo largo de la varilla, tal como lo vería un observador no inercial que girase con ella. Se marca la posición angular de equilibrio inestable x_e.

En la parte derecha, se representa la curva de energía potencial E_p(x) en color azul, que como vemos presenta un máximo en la posición de equilibrio inestable.

Refreencias

IPhO, Problems and Solutions. Rotating Rod, East Germany, 1975