Extendemos los resultados para un oscilador a dos osciladores acoplados iguales

Cada oscilador consta de un muelle de constante k suspendido verticalmente. Se cuelga de su extremo libre inferior un potente imán de momento magnético μ. A una distancia z₁₀ y z₂₀ por debajo del imán se coloca una bobina formada por un conjunto de N espiras apretadas del mismo radio a.

Al moverse los imanes, el campo magnético variable induce una corriente en las espiras de la bobina. Dicha corriente establece una fuerza sobre el imán que se opone a su velocidad.

El acoplamiento consiste en unir las dos bobinas, de modo que son recorridas por la misma corriente

La figura muestra la disposición de los osciladores en un instante t, el primer imán dista del centro de la bobina z₁ y el segundo, z₂

Supondremos que los osciladores estarán suficientemente alejados entre sí, de modo que el campo magnético producido por el primer imán no afecte a la bobina del segundo imán y viceversa

La corriente inducida en las bobinas

El moverse los imanes inducen en las bobinas situadas debajo las fem V₁ y V₂ que ya hemos calculado

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_1=\frac{3N{\mu }_0\mu a^2}{2}\frac{z_1}{{\left(\sqrt{a^2+z_1^2}\right)}^5}\frac{d{z}_1}{dt}\\ V_2=\frac{3N{\mu }_0\mu a^2}{2}\frac{z_2}{{\left(\sqrt{a^2+z_2^2}\right)}^5}\frac{d{z}_2}{dt}\end{array}}$

Donde N es el número de espiras del mismo radio a

La intensidad de la corriente que circula por las dos bobinas conectadas es

${\displaystyle i=\frac{V_1-V_2}{R_1+R_2}}$

Donde R₁ y R₂ son las resistencias de las bobinas, que son iguales. Se puede añadir la resistencia de los cables de conexión

${\displaystyle R_1+R_2=2N\frac{8a}{\sigma D^2}}$

D es el diámetro de la sección del cable y σ la conductividad del material del que está hecho el cable

La expresión de la intensidad i es

${\displaystyle i=\frac{3{\mu }_0\mu \sigma D^{2}a}{32}\left(\frac{z_1}{{\left(\sqrt{a^2+z_1^2}\right)}^5}\frac{d{z}_1}{dt}-\frac{z_2}{{\left(\sqrt{a^2+z_2^2}\right)}^5}\frac{d{z}_2}{dt}\right)}$

La fuerza que ejercen las corrientes inducidas en las bobinas sobre cada uno de los imanes son:

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_1=iN\left(2\pi a\right)B_{1\rho }=\\ \frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64}\left(\frac{z_1^2}{{\left(a^2+z_1^2\right)}^5}\frac{d{z}_1}{dt}-\frac{z_1{z}_2}{{\left(\sqrt{a^2+z_1^2}\right)}^5{\left(\sqrt{a^2+z_2^2}\right)}^5}\frac{d{z}_2}{dt}\right)\\ F_2=iN\left(2\pi a\right)B_{2\rho }=\\ \frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64}\left(\frac{z_1{z}_2}{{\left(\sqrt{a^2+z_1^2}\right)}^5{\left(\sqrt{a^2+z_2^2}\right)}^5}\frac{d{z}_1}{dt}-\frac{z_2^2}{{\left(a^2+z_1^2\right)}^5}\frac{d{z}_2}{dt}\right)\end{array}}$

Ecuaciones del movimiento

La fuerza que se opone al movimiento del primer imán es proporcional a su velocidad dx₁/dt y de sentido contrario.

Sea z₁₀ la altura inicial del imán en equilibrio sobre la bobina. Cuando el imán se desplaza x₁=z₁-z₁₀ de la posición de equilibrio las fuerzas que actúan sobre el imán son:

• La fuerza que ejerce el muelle deformado kx₁, siendo k es la constante del muelle
• La fuerza F₁ que ejerce la corriente inducida en la bobina sobre el imán, que es una función de z₁ o de x₁=z₁-z₁₀

La misma argumentación se repite para el segundo imán.

Las ecuaciones del movimiento de los imanes son

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+C\left(\frac{{\left(z_{10}+x_1\right)}^2}{{\left(a^2+{\left(z_{10}+x_1\right)}^2\right)}^5}\frac{d{x}_1}{dt}-\frac{\left(z_{10}+x_1\right)\left(z_{20}+x_2\right)}{{\left(\sqrt{a^2+{\left(z_{10}+x_1\right)}^2}\right)}^5{\left(\sqrt{a^2+{\left(z_{20}+x_2\right)}^2}\right)}^5}\frac{d{x}_2}{dt}\right)+{\omega }_0^2{x}_1=0\\ \frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+C\left(-\frac{\left(z_{10}+x_1\right)\left(z_{20}+x_2\right)}{{\left(\sqrt{a^2+{\left(z_{10}+x_1\right)}^2}\right)}^5{\left(\sqrt{a^2+{\left(z_{20}+x_2\right)}^2}\right)}^5}\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{{\left(z_{20}+x_2\right)}^2}{{\left(a^2+{\left(z_{20}+x_2\right)}^2\right)}^5}\frac{d{x}_2}{dt}\right)+{\omega }_0^2{x}_2=0\\ C=\frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64m}\end{array}}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales que se resuelven por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x₁=x₁₀, (dx₁/dt)=0, x₂=x₂₀, (dx₂/dt)=0.

N=10; %número de espiras
mu=2.6; %momento magnético del imán
sigma=2.741e7; %conductividad del cable
D=0.15; %cm, sección del cable
a=1.5; %radio de la espira en cm
m=0.055; %masa del imán
k=3.17; %constante elástica
z10=1.7; %separación inicial entre el imán y la espira
z20=1.7; %separación inicial entre el imán y la espira
cte=N*1e6*9*(4*pi*1e-7)^2*2.6^2*2.741e7*D^2*a^3/(64*m);
w0=sqrt(k/m);

tspan=[0,5];
x0=[0.5,0,-0.5,0]; %condiciones iniciales 
% x1=x(1), dx1/dt=x(2), x2=x(3), dx2/dt=x(4)
fg=@(t,x)[x(2);-cte*((z10+x(1))^2*x(2)/(a^2+(z10+x(1))^2)^5
-(z10+x(1))*(z20+x(3))*x(4)/((a^2+(z10+x(1))^2)^(5/2)*
(a^2+(z20+x(3))^2)^(5/2)))-w0^2*x(1);...
x(4); -cte*(-(z10+x(1))*(z20+x(3))*x(2)/((a^2+(z10+x(1))^2)^(5/2)*
(a^2+(z20+x(3))^2)^(5/2))+(z20+x(3))^2*x(4)/(a^2+(z20+x(3))^2)^5)
-w0^2*x(3)];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);

plot(t,x(:,1),t,x(:,3)) 
xlabel('t')
ylabel('x_1,x_2')
title('Posiciones')
grid on

cte=3*(4*pi*1e-7)*2.6*2.741e7*D^2*a/32;
inten=cte*((z10+x(:,1)).*x(:,2)./(a^2+(z10+x(:,1)).^2).^(5/2)
-(z20+x(:,3)).*x(:,4)./(a^2+(z20+x(:,3)).^2).^(5/2));
figure
plot(t,inten)
xlabel('t')
ylabel('i')
title('Intensidad')
grid on

• Condiciones iniciales: x₁₀=0.5, x₂₀=0

Desplazamiento x₁ y x₂ de los imanes en función del tiempo t



Intensidad i en función del tiempo t



• Condiciones iniciales: x₁₀=0.5, x₂₀=-0.5

Desplazamiento x₁ y x₂ de los imanes en función del tiempo t



Intensidad i en función del tiempo t.

Aproximaciones

Si los desplzamientos de los imanes x₁ y x₂ son pequeños frente a z₁₀ y z₁₀, el sistema de ecuaciones se reduce a

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+C_1\frac{d{x}_1}{dt}-C_{12}\frac{d{x}_2}{dt}+{\omega }_0^2{x}_1=0\\ \frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}-C_{12}\frac{d{x}_1}{dt}+C_2\frac{d{x}_2}{dt}+{\omega }_0^2{x}_2=0\\ C_1=\frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64m}\frac{z_{10}^2}{{\left(a^2+z_{10}^2\right)}^5}\\ C_{12}=\frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64m}\frac{z_{10}{z}_{20}}{{\left(\sqrt{a^2+z_{10}^2}\right)}^5{\left(\sqrt{a^2+z_{20}^2}\right)}^5}\\ C_2=\frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64m}\frac{z_{20}^2}{{\left(a^2+z_{20}^2\right)}^5}\end{array}}$

Si las alturas iniciales de los imanes z₁₀=z₂₀, el sistema de ecuaciones se reduce aún más

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+\lambda \frac{d{x}_1}{dt}-\lambda \frac{d{x}_2}{dt}+{\omega }_0^2{x}_1=0\\ \frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}-\lambda \frac{d{x}_1}{dt}+\lambda \frac{d{x}_2}{dt}-{\omega }_0^2{x}_2=0\\ \lambda =\frac{9N{\mu }_0^2{\mu }^2\sigma D^2{a}^3}{64m}\frac{z_0^2}{{\left(a^2+z_0^2\right)}^5}\end{array}}$

La intensidad que circula por las bobinas es

${\displaystyle i=\frac{3{\mu }_0\mu \sigma D^{2}a}{32}\frac{z_0}{{\left(\sqrt{a^2+z_0^2}\right)}^5}\left(\frac{d{x}_1}{dt}-\frac{d{x}_2}{dt}\right)}$

Este sistema de ecuaciones diferenciales tiene solución analítica, utilizaremos MATLAB Symbolic Toolbox para encontrarla con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x₁=x₁₀, (dx₁/dt)=0, x₂=x₂₀, (dx₂/dt)=0.

syms x y w0 lambda x0 y0;
eq1='D2x+lambda*Dx-lambda*Dy+w0^2*x=0';
eq2='D2y-lambda*Dx+lambda*Dy+w0^2*y=0';
[x,y]=dsolve(eq1,eq2,'x(0)=x0','y(0)=y0','Dx(0)=0','Dy(0)=0');

N=10; %número de espiras
mu=2.6; %momento magnético del imán
sigma=2.741e7; %conductividad del cable
Di=0.15; %cm, sección del cable
a=1.5; %radio de la espira en cm
m=0.055; %masa del imán
k=3.17; %constante elástica
z0=1.7; %separación inicial entre el imán y la espira
cte=N*1e6*9*(4*pi*1e-7)^2*mu^2*sigma*Di^2*a^3*z0^2/(64*m*(a^2+z0^2)^5);
frec=sqrt(k/m);

%posiciones
xx=subs(x,{lambda,w0,x0,y0},{cte,frec,0.5,0});
yy=subs(y,{lambda,w0,x0,y0},{cte,frec,0.5,0});
%intensidad
cte=3*(4*pi*1e-7)*mu*sigma*Di^2*a*z0/(32*(a^2+z0^2)^(5/2));
inten=cte*(diff(xx)-diff(yy));

hold on
ezplot(xx,[0,5])
ezplot(yy,[0,5])
xlabel('t')
ylabel('x_1,x_2')
title('Posiciones')
hold off
figure
ezplot(inten,[0,5])
xlabel('t')
ylabel('i')
title('Intensidad')

• Condiciones iniciales: x₁₀=0.5, x₂₀=0

Desplazamiento x₁ y x₂ de los imanes en función del tiempo t



Intensidad i en función del tiempo t



• Condiciones iniciales: x₁₀=0.5, x₂₀=-0.5

Desplazamiento x₁ y x₂ de los imanes en función del tiempo t



La intensidad i en función del tiempo t

Actividades

Se introduce

• El desplazamiento inicial del imán izquierdo x₁₀ en mm, en el control titulado Desplazamiento inicial del imán
• La separación inicial entre el imán y la bobina situados a la izquierda z₁₀ en mm, en el control titulado Separación inicial imán-bobina.
• El desplazamiento inicial del imán derecho x₂₀ en mm, en el control titulado Desplazamiento inicial del imán
• La separación inicial entre el imán y la bobina situados a la derecha z₂₀ en mm, en el control titulado Separación inicial imán-bobina.
• El número de espiras N de las bobinas iguales, en el control tituado Número de espiras

El programa ha fijado los siguientes parámetros:

• Masa del imán, m= 55 g
• Momento magnético del imán, μ=2.6 Am²
• Radio de las espiras, a=15 mm
• Conductividad del material del que están hechas las espiras, σ=2.741·10⁷ Ω^-1m^-1
• Diámetro de la sección del cable, D=1.5 mm
• Constante elástica del muelle, k=3.17 N/m
• Velocidades iniciales de los imanes, v₁₀=0 y v₂₀=0, parten del reposo

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Una circunferencia de radio a representa las espiras de la bobina, los puntos de color rojo representan los portadores de carga positiva, su movimiento nos da una idea del sentido de las corrientes inducidas en las espiras cuando se mueve el imán

La flecha situada a la izquierda del imán, representa la fuerza que ejercen las corrientes inducidas sobre el imán, se trata de una fuerza proporcional a la velocidad y de sentido contrario a la misma.

Activando la casilla titulada Gráfica y pulsando el botón titulado   ►  , vemos la representación gráfica de los desplazamientos de los imanes x₁ (en color rojo) y x₂ (en color azul), en la parte superior y la intensidad de la corriente en las bobinas, en la parte inferior

Referencias

G Donoso, C L Ladera, P Martín. Magnetically coupled magnet-spring oscillators. Eur. J. Phys. 31 (2010) 433-452