Movimiento vertical de una varilla en un campo magnético uniforme

El campo magnético B es constante y es perpendicular al plano determinado por las guías y la varilla. El flujo del campo magnético a través del circuito de forma rectangular ABCD señalado en la figura es

Φ=B·S=Bax

donde a·x es el área del rectángulo ABCD.

Al moverse la varilla CD la dimensión x del rectángulo disminuye. De acuerdo a la ley de Faraday, la fem inducida es

V E = dΦ dt =Ba dx dt =Bav

Como x decrece con el tiempo su derivada dx/dt=v<0

Sentido de la corriente inducida

Si el campo magnético apunta hacia el lector, al disminuir el área S, disminuye el flujo Φ, el sentido de la corriente inducida es el contrario a las agujas del reloj.

Si la resistencia del circuito es R, la intensidad de la corriente inducida es i=VE/R=vBa/R.

Resistencia de la varilla

En esta experiencia vamos a suponer que las guías son superconductoras o bien, que su resistencia es despreciable frente a la de la varilla. La varilla tiene una sección fija de 1 mm2 pero su longitud a puede se puede modificarse dentro de ciertos límites.

Los materiales disponibles para fabricar la varilla son

Conductor Densidad (kg/m3) Resistividad ρ (Ω ·m)
Aluminio 2700 2.8·10-8
Cobre 8930 1.75·10-8
Hierro 7880 9.8·10-8
Plomo 11350 22.1·10-8
Wolframio 19340 5.5·10-8

La masa de la varilla se obtiene multiplicando la densidad por el volumen de un cilindro de sección S y longitud a. La resistencia se calcula mediante la siguiente fórmula: se multiplica la resistividad ρ por longitud L=a y se divide por la sección normal S

R=ρ L S

Movimiento de la varilla

Como vemos en la figura, sobre la varilla actúan dos fuerzas, el peso mg y la fuerza Fm que ejerce el campo magnético sobre la corriente inducida i. Esta fuerza se opone siempre al movimiento de la varilla, como podremos comprobar.

Cuando circula por la varilla CD una corriente i, el campo magnético B ejerce una fuerza

F m =i u ^ t ×BL

El vector unitario ut que señala el sentido de la corriente y el campo B son mutuamente perpendiculares, la longitud del conductor es a.

El módulo de la fuerza magnética es

Fm=iBa=vB2a2/R

Su sentido es el indicado en la figura (hacia arriba, contrario al peso)

La ecuación del movimiento de la varilla es

m dv dt =mg F m

la fuerza magnética es proporcional a la intensidad de la corriente inducida y por tanto, a la velocidad de la varilla.

m dv dt =mg B 2 a 2 R v

Esta es una ecuación similar a la que describe el movimiento de una esfera que cae en el seno de un fluido viscoso, si se desprecia el empuje.

Integrando obtenemos la expresión de la velocidad en función del tiempo

0 v dv gkv = 0 t dt k= B 2 a 2 mR v= g k ( 1exp(kt) )

La velocidad aumenta desde cero hasta un valor límite constante

v l = g k = mgR B 2 a 2

Poniendo la masa m igual al producto de la densidad por el volumen de la varilla, y la resistencia R igual al producto de la resistividad por la longitud de la varilla dividido su sección, comprobamos que el valor de la velocidad máxima no depende de la longitud a ni de la sección S de la varilla.

La fórmula de la velocidad se podría haber obtenido sin necesidad de integrar la ecuación del movimiento. La fuerza magnética Fm va creciendo desde cero, hasta que su valor se hace igual al peso, mg. En ese momento, la fuerza neta sobre la varilla es cero y velocidad de la varilla se hace constante.

mg= B 2 a 2 R v l

Si la velocidad crece hasta alcanzar un valor límite vl, la intensidad de la corriente inducida crece hasta alcanzar un valor límite il.

i= Ba R v i l = mg Ba

y es independiente del valor de la resistencia R del circuito.

Una vez obtenida por integración la variación de la velocidad de la varilla con el tiempo, una segunda integración nos permite determinar la altura de la varilla con el tiempo, sabiendo que en el instante inicial parte de la altura h. La ecuación es similar a la que se obtiene cuando se estudia el movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido.

Actividades

Se introduce

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La varilla empieza a caer desde una altura inicial de 100 cm.

Sobre la varilla se dibuja los siguientes vectores:

En la parte derecha, se representa, la velocidad de la varilla en función del tiempo

Ejemplo

Sea una varilla de 8 cm de longitud y 1 mm2 de sección, que se mueve verticalmente en un campo magnético uniforme de 300 gauss, que apunta hacia el lector. Si la varilla está hecha de aluminio, determinar la velocidad límite que alcanza la varilla y la corriente inducida límite.

v l = mgR B 2 a 2 = dgρ B 2 = 2700·9.8·2.8· 10 8 ( 300· 10 4 ) 2 =0.82m/s i l = mg Ba = dgS Ba = 2700·9.8·1.0· 10 6 300· 10 4 =0.88A

Si elegimos otros materiales como el hierro o el plomo, la varilla no alcanza la velocidad límite constante, si la intensidad del campo magnético es pequeña.

Calculamos la velocidad y la intensidad en el instante t=0.1 s

k= B 2 a 2 mR = B 2 dρ = ( 300· 10 4 ) 2 2700·2.8· 10 8 =11.90 s -1 v= g k ( 1exp(kt) )v= 9.8 11.90 ( 1exp(11.90·0.1) )=0.57m/s i= Ba R v= BvS ρ = 300· 10 4 ·0.57·1.0· 10 6 2.8· 10 8 =0.61A