Aplicaciones de la ley de Faraday
Campo eléctrico generado por un campo magnético variable con el tiempo
Un solenoide muy largo de longitud l, radio a y N vueltas conduce una corriente i que aumenta con el tiempo, di/dt>0.
Vamos a obtener el valor del campo eléctrico generado para los puntos que distan del eje del solenoide r<a y para r>a
Aplicando la ley de Ampère, deducimos el campo magnético producido por un solenoide de longitud l y con N espiras.
El campo en el interior del solenoide es constante y paralelo al eje del solenoide. El campo en el exterior del solenoide es nulo
La ley de Faraday es
Para los puntos que distan del eje del solenoide r<a
Para los puntos que distan del eje del solenoide r>a
El flujo a través de un camino circular de radio r<a es
La derivada del flujo, respecto del tiempo t, cambiada de signo es

El problema tiene simetría cilíndrica por lo que el módulo del campo eléctrico es constante en todos los puntos que distan r del eje. La circulación del campo eléctrico es
Igualando los dos miembros de la ley de Faraday
El flujo a través de un camino circular de radio r>a es
La derivada del flujo, respecto del tiempo t, cambiada de signo es
Igualando los dos miembros de la ley de Faraday
Representamos el módulo del campo eléctrico en función de la distancia radial al eje del solenoide
k=1.5; %constante a=1; %radio del solenoide hold on line([0,a],[0,k*a]) fplot(@(r) k*a^2./r,[a,4*a]) hold off grid on xlabel('r') ylabel('E') title('Campo eléctrico')
Si se sustituye el camino circular de radio r por una espira conductora del mismo radio, se genera una corriente inducida en la espira
Cilindro cargado en el seno de un campo magnético variable con el tiempo

Un cilindro de longitud l y radio a, puede girar sin rozamiento alrededor del eje vertical Z, su momento de inercia es I respecto de dicho eje. La superficie lateral está uniformemente cargada con σ C/m2.
Se sitúa el cilindro en el seno de un campo magnético B uniforme paralelo al eje Z, pero que disminuye con el tiempo, hasta que se anula. En el instante inicial t=0, el campo magnético vale B0
Vamos a determinar la velocidad angular final del cilindro
Ley de Faraday
El flujo a través de un camino circular de radio r=a es

La derivada del flujo cambiada de signo es
El problema tiene simetría cilíndrica por lo que el módulo del campo eléctrico es constante en todos los puntos que distan a del eje. La circulación del campo eléctrico es
Igualando los dos miembros de la ley de Faraday
Como B disminuye con el tiempo, el campo eléctrico tiene el sentido indicado en la figura
Ecuación del movimiento

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre los portadores de carga situados en la superficie lateral del cilindro
Esta fuerza ejerce un momento Fa respecto del eje de rotación que hace que el cilindro gire con velocidad angular ω. La ecuación del movimiento del cilindro es
Eliminado dt e integrando
Campo magnético final

El campo magnético externo se ha anulado y el cilindro ha alcanzado la velocidad angular ω, final
Calculamos el campo magnético final producido por las cargas situadas en la superficie lateral del cilindro, sabiendo que la velocidad angular final es ω
Una carga que gira es equivalente a una intensidad igual al cociente entre la carga y el periodo T o tiempo que tarda en dar una vuelta.
Recordamos que el campo magnético producido por un solenoide es
El campo en el interior del solenoide es constante y paralelo al eje del solenoide. El campo en el exterior del solenoide es nulo
La intensidad i=σalω, es equivalente a la intenidad Ni que recorre la superficie lateral de un solenoide de la misma longitud. Por tanto, el campo magnético final producido por el cilindro cargado que gira es
La velocidad angular final es

El campo magnético exterior B ejerce una fuerza sobre los portadores de carga situados en la superficie lateral del cilindro en movimiento de rotación. Pero esta fuerza, como vemos en la figura, tiene dirección radial y no afecta al movimiento de rotación del cilindro
Placa metálica que cuelga de un muelle, que oscila en el seno de un campo magnético

Una placa de cobre de masa m, de lados a y b y de espesor d, está sujeta al extremo libre de un muelle elástico de constante k. La placa se encuentra en una región donde hay un campo magnético B uniforme paralelo a la placa. Vamos a deducir la ecuación del movimiento de la placa.
Cuando colgamos la placa, el muelle se deforma z0, de modo que kz0=mg
En esta posición de equilibrio establecemos el origen. Cuando la placa se desplaza z, la fuerza sobre la placa es -kz además, el campo magnético ejerce una fuerza Fm sobre los portadores de carga que vamos a determinar
En el instante t, la posición de la placa es z y su velocidad es v=dz/dt
El campo magnético ejerce una fuerza sobre los portadores de carga

El módulo de la fuerza es fm=qvB
Entre las dos caras de la placa se establece un campo eléctrico E=fm/q=vB, uniforme, y una diferencia de potencial ΔV=Ed=vBd.
Tenemos un condensador plano-paralelo cargado cuya capacidad es
La carga del condensador es
La energía del condensador cargado es
La fuerza asociada con esta energía potencial es
Alternativamente, tenemos una corriente de longitud d y sección ab entre las dos caras de la placa, de intensidad i=dq/dt.

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la porción l de corriente rectilínea es
El módulo de la fuerza es, Fm=iBd, de sentido contrario a la velocidad v=dz/dt
La intensidd i es
El módulo de la fuerza que se opone a la velocidad de la placa
Obtenemos el mismo resultado
Ecuación del movimiento
La ecuación del movimiento de la placa es
La placa describe un movimiento armónico simple, de frecuencia angular ω0
La amplitud A y la fase φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.
El cociente
es muy pequeño. 1/(4πε0)=9·109, B=0.1 T, densidad del cobre ρCu=8.93·103 kg/m3. El resultado es 9.9014·10-18
Energía por unidad de tiempo disipada
La energía por unidad de tiempo disipada es
La resistencia de una placa R=ρd/(ab), donde ρ es la resistividad del material (cobre), d la longitud del conductor y ab la sección
El valor medio es
La resistividad del cobre es ρ=1.75·10-8 Ω·m, y con el dato de ε0 elevado al cuadrado, el valor medio <P> es muy pequeño
Referencias
Solutions of Indian National Physics Olympiad – 2020. Problem 2, pp. 3-4
Physics Challenge for Teachers and Students. Solution April 2012 Challenge. Spring vibes. The Physics Teacher, 50 (2012)