Circuito LCR conectado a una batería
Consideremos el siguiente circuito formado por un condensador de capacidad C, una resistencia R, una autoinducción L y una batería de fem V0 sin resistencia interna.
El condensador está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. En un instante dado t, tendremos que
- El condensador C tiene una carga q
- Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.
- Por la autoinducción L circula una corriente de intensidad i.
La ecuación del circuito es
La corriente i añade carga de la placa positiva, por lo que i=dq/dt
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
La primera y1 una constante, es la solución particular. El segundo término es la solución de la ecuación diferencial homogénea que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas γ<ω0.
Introduciendo la solución particular y1 en la ecuación diferencial tenemos que
y1=CV0
Inicialmente el condensador C está descargado q=0 y la intensidad i=dq/dt es cero.
Las condiciones iniciales q=0, y dq/dt=0 determinan las constantes A y B. Después de hacer algunas operaciones tenemos que
Comprobamos que en el instante t=0, q=0 e i=0, y que para t→∞,
Diferencia de potencial en los extremos de cada uno de los elementos del circuito
- En la batería el potencial del polo negativo a es menor que el polo positivo b, de modo que
- En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego
- En el condensador C el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que
- En la autoinducción es equivalente a una batería que se está cargando, ya que se opone a que aumente la intensidad. La diferencia de potencial entre d y a es.
Vab=-V0
Sea el circuito LCR
- Condensador, C=9.66·10-9 F
- Resistencia, R=1044 Ω
- Autoinducción, L=9.44 H
- Batería, V0=4.04 V
Representamos la diferencia de potencial en los extremos de cada uno de los elementos del circuito durante las dos primeras oscilaciones. El periodo de una oscilación es 2π/ω
R=1044; %resistencia C=9.66e-9; %condensador L=9.44; %autoinducción V0=4.04; %batería w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia hold on f=@(t) V0*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t))); %condensador fplot(f,[0,2*2*pi/w]) f=@(t) V0*2*gamma*exp(-gamma*t).*sin(w*t)/w; %resistencia fplot(f,[0,2*2*pi/w]) f=@(t) V0*exp(-gamma*t).*(cos(w*t)-gamma*sin(w*t)/w); %autoinducción fplot(f,[0,2*2*pi/w]) line([0,2*2*pi/w],[V0,V0]) %batería hold off legend('Condensador','Resistencia','Autoinducción','Batería','location','north') xlabel('t (ms)') ylabel('(V)') grid on title('ddp')
Estudio energético
-
La energía almacenada en el condensador en forma de campo eléctrico es
-
La energía almacenada en la autoinducción en forma de campo magnético es
Representamos la energía almacenda en mJ (·10-6 J) en el condensador y en la autoinducción en las tres primeras oscilaciones.
R=1044; %resistencia C=9.66e-9; %condensador L=9.44; %autoinducción V0=4.04; %batería w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia hold on %condensador f=@(t) C*V0^2*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t))).^2*1e6/2; fplot(f,[0,3*2*pi/w]) %autoinducción f=@(t) V0^2*exp(-2*gamma*t).*(sin(w*t).^2)*1e6/(2*L*w^2); fplot(f,[0,3*2*pi/w]) legend('Condensador','Autoinducción') xlabel('t (ms)') ylabel('E(mJ)') grid on title('Energía almacenada')
La energía disipada en la resistencia es
Se integra por partes, para llegar a la expresión final se tiene en cuenta que
La energía suministrada por la batería es
Se comprueba la conservación de la energía
UV=UC+UL+UR
R=1044; %resistencia C=9.66e-9; %condensador L=9.44; %autoinducción V0=4.04; %batería gamma=R/(2*L); %amortiguamiento w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia hold on %condensador f1=@(t) C*V0^2*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t))).^2*1e6/2; %auotoinducción f2=@(t) V0^2*exp(-2*gamma*t).*(sin(w*t).^2)*1e6/(2*L*w^2); %resistencia f3=@(t) R*V0^2*((1-exp(-2*gamma*t))/gamma-(exp(-2*gamma*t).*(w*sin(2*w*t)- gamma*cos(2*w*t))+gamma)/w0^2)*1e6/(4*L^2*w^2); %suma: condensador+autoinducción+resistencia f=@(t) f1(t)+f2(t)+f3(t); fplot(f,[0,3*2*pi/w]) %batería f4=@(t) V0^2*C*(1-exp(-gamma*t).*(cos(w*t)+gamma*sin(w*t)/w))*1e6; fplot(f4,[0,3*2*pi/w]) xlabel('t (ms)') ylabel('E(mJ)') grid on title('Conservación de la energía')
Coinciden las dos funciones
Una parte de la energía suministrada por la batería, se almacena en el condensador, otra parte en la autoinducción y el resto se disipa en la resistencia.
Después de un tiempo t→∞
-
La carga en el condensador tiende a CV0, la energía almacenada en el condensador es
-
La intensidad tiende a cero, no hay energía almacenada en la autoinducción
-
La energía disipada en la resistencia tiende a
-
La energía suministrada por la batería tiende a
UL=0
UV=CV0
La mitad de la energía suministrada por la batería se almacena como energía del campo eléctrico en el condensador y la otra mitad se disipa en la resistencia. El mismo resultado obtenido en la carga del condensador sin autoinducción
Derivada de la energía respecto del tiempo
La derivada de la energía de un elemento del circuito con respecto del tiempo t, nos proporciona la siguiente información: Si la derivada es positiva, indica que ese elemento está proporcionando energía al circuito, si es negativa indica que está disipando o almacenando energía
Respresentamos la derivada de la energía de cada elemento del circuito respecto del tiempo en (mW) en función del tiempo t en el primer periodo de oscilación
R=1044; %resistencia C=9.66e-9; %condensador L=9.44; %autoinducción V0=4.04; %batería gamma=R/(2*L); %amortiguamiento w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia hold on %condensador f=@(t) -V0^2*exp(-gamma*t).*sin(w*t).*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t))) *1e6/(L*w); fplot(f,[0,2*pi/w]) %autoinducción f=@(t) -V0^2*exp(-2*gamma*t).*sin(w*t).*(cos(w*t)-gamma*sin(w*t)/w)*1e6/(L*w); fplot(f,[0,2*pi/w]) %resistencia f=@(t) -2*gamma*V0^2*exp(-2*gamma*t).*(sin(w*t).^2)*1e6/(L*w^2); fplot(f,[0,2*pi/w]) %batería f=@(t) V0^2*exp(-gamma*t).*sin(w*t)*1e6/(L*w); fplot(f,[0,2*pi/w]) legend('Condensador','Autoinducción', 'Resistencia','Batería') xlabel('t (ms)') ylabel('dE/dt (mW)') grid on title('Derivada de la energía')
Poco después de cerrar el circuito, la resistencia disipa energía, el condensador y la autoinducción almacenan energía (pendiente negativa). La batería proporciona energía (pendiente positiva)
Actividades
Se introduce
-
El coeficiente de autoinducción L en H, en el control titulado Autoinducción
-
La capacidad del condensador C en nF (10-9), en el control titulado Capacidad.
-
La resistencia R en kΩ (103), en el control titulado Resistencia.
-
La fem de la batería se ha fijado en V0=4 V
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se representa, la diferencia de potencial en los extremos de
- La batería (se toma como valor positivo)
- En el condensador
- En la autoinducción
- En la resistencia
Observamos el estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario, cuando t→∞
Si aumentamos la resistencia, se tarda menos tiempo en alcanzar aproximadamente el estado estacionario.
El circuito estudiado en el artículo citado en las referencias consta de
- Una resistencia, R=1.044·103 Ω
- Un condensador, C=9.66·10-9 F
- Autoinducción, L=9.44 H
- Batería, V0=4.04 V
La frecuencia del circuito vale
ω0=3311.5 rad/s
γ=55.3 s-1
Estamos en la situación descrita en esta página (amortiguada) γ< ω0
Referencias
Faleski M. C. Transient behaviour of the driven RLC circuit. Am . J. Phys. 74 (5) May 2006, pp. 429-437