Circuito LCR conectado a una batería

Consideremos el siguiente circuito formado por un condensador de capacidad C, una resistencia R, una autoinducción L y una batería de fem V0 sin resistencia interna.

El condensador está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. En un instante dado t, tendremos que

La ecuación del circuito es

V L + V 0 q C =iR ( L di dt )+ V 0 q C =iR,i= dq dt

La corriente i añade carga de la placa positiva, por lo que i=dq/dt

d 2 q d t 2 + R L dq dt + 1 LC q= V 0 L d 2 q d t 2 +2γ dq dt + ω 0 2 q= V 0 L

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

q= y 1 +exp(γt)(A·sinωt+B·cosωt) ω 2 = ω 0 2 γ 2

La primera y1 una constante, es la solución particular. El segundo término es la solución de la ecuación diferencial homogénea que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas γ<ω0.

Introduciendo la solución particular y1 en la ecuación diferencial tenemos que

y1=CV0

Inicialmente el condensador C está descargado q=0 y la intensidad i=dq/dt es cero.

Las condiciones iniciales q=0, y dq/dt=0 determinan las constantes A y B. Después de hacer algunas operaciones tenemos que

q=C V 0 ( 1exp(γt)( γ ω sinωt+cosωt ) ) i= dq dt = V 0 Lω exp(γt)sinωt

Comprobamos que en el instante t=0, q=0 e i=0, y que para t→∞,

qC V 0

Diferencia de potencial en los extremos de cada uno de los elementos del circuito

Sea el circuito LCR

Representamos la diferencia de potencial en los extremos de cada uno de los elementos del circuito durante las dos primeras oscilaciones. El periodo de una oscilación es 2π/ω

R=1044; %resistencia
C=9.66e-9; %condensador
L=9.44; %autoinducción
V0=4.04; %batería

w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia
w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia
hold on
f=@(t) V0*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t))); %condensador
fplot(f,[0,2*2*pi/w])
f=@(t) V0*2*gamma*exp(-gamma*t).*sin(w*t)/w; %resistencia
fplot(f,[0,2*2*pi/w])
f=@(t) V0*exp(-gamma*t).*(cos(w*t)-gamma*sin(w*t)/w); %autoinducción
fplot(f,[0,2*2*pi/w])
line([0,2*2*pi/w],[V0,V0]) %batería
hold off
legend('Condensador','Resistencia','Autoinducción','Batería','location','north')
xlabel('t (ms)')
ylabel('(V)')
grid on
title('ddp')

Estudio energético

Se comprueba la conservación de la energía

UV=UC+UL+UR

R=1044; %resistencia
C=9.66e-9; %condensador
L=9.44; %autoinducción
V0=4.04; %batería

gamma=R/(2*L); %amortiguamiento
w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia
w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia
hold on
%condensador
f1=@(t) C*V0^2*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t))).^2*1e6/2; 
%auotoinducción
f2=@(t) V0^2*exp(-2*gamma*t).*(sin(w*t).^2)*1e6/(2*L*w^2); 
%resistencia
f3=@(t) R*V0^2*((1-exp(-2*gamma*t))/gamma-(exp(-2*gamma*t).*(w*sin(2*w*t)-
gamma*cos(2*w*t))+gamma)/w0^2)*1e6/(4*L^2*w^2);
%suma: condensador+autoinducción+resistencia
f=@(t) f1(t)+f2(t)+f3(t); 
fplot(f,[0,3*2*pi/w])
%batería
f4=@(t) V0^2*C*(1-exp(-gamma*t).*(cos(w*t)+gamma*sin(w*t)/w))*1e6;
fplot(f4,[0,3*2*pi/w])

xlabel('t (ms)')
ylabel('E(mJ)')
grid on
title('Conservación de la energía')

Coinciden las dos funciones f(t) y f4(t) en el intervalo especificado

Una parte de la energía suministrada por la batería, se almacena en el condensador, otra parte en la autoinducción y el resto se disipa en la resistencia.

Después de un tiempo t→∞

La mitad de la energía suministrada por la batería se almacena como energía del campo eléctrico en el condensador y la otra mitad se disipa en la resistencia. El mismo resultado obtenido en la carga del condensador sin autoinducción

Derivada de la energía respecto del tiempo

La derivada de la energía de un elemento del circuito con respecto del tiempo t, nos proporciona la siguiente información: Si la derivada es positiva, indica que ese elemento está proporcionando energía al circuito, si es negativa indica que está disipando o almacenando energía

d U V dt d U C dt d U L dt d U R dt =0 d U C dt = V 0 2 Lω exp(γt)sin(ωt)( 1exp(γt)( γ ω sin(ωt)+cos(ωt) ) ) d U L dt = V 0 2 Lω exp(2γt)sin(ωt)( cos(ωt) γ ω sin(ωt) ) d U R dt = 2γ V 0 2 L ω 2 exp(2γt) sin 2 (ωt) d U V dt = V 0 2 Lω exp(γt)sin(ωt)

Respresentamos la derivada de la energía de cada elemento del circuito respecto del tiempo en (mW) en función del tiempo t en el primer periodo de oscilación

R=1044; %resistencia
C=9.66e-9; %condensador
L=9.44; %autoinducción
V0=4.04; %batería

gamma=R/(2*L); %amortiguamiento
w0=sqrt(1/(L*C)); %frecuencia propia
w=sqrt(w0^2-gamma^2); %frecuencia
hold on
%condensador
f=@(t) -V0^2*exp(-gamma*t).*sin(w*t).*(1-exp(-gamma*t).*(gamma*sin(w*t)/w+cos(w*t)))
*1e6/(L*w);
fplot(f,[0,2*pi/w])
%autoinducción
f=@(t) -V0^2*exp(-2*gamma*t).*sin(w*t).*(cos(w*t)-gamma*sin(w*t)/w)*1e6/(L*w);
fplot(f,[0,2*pi/w])
%resistencia
f=@(t) -2*gamma*V0^2*exp(-2*gamma*t).*(sin(w*t).^2)*1e6/(L*w^2);
fplot(f,[0,2*pi/w])
%batería
f=@(t) V0^2*exp(-gamma*t).*sin(w*t)*1e6/(L*w);
fplot(f,[0,2*pi/w])

legend('Condensador','Autoinducción', 'Resistencia','Batería')
xlabel('t (ms)')
ylabel('dE/dt (mW)')
grid on
title('Derivada de la energía')

Poco después de cerrar el circuito, la resistencia disipa energía, el condensador y la autoinducción almacenan energía (pendiente negativa). La batería proporciona energía (pendiente positiva)

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa, la diferencia de potencial en los extremos de

Observamos el estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario, cuando t→∞

Si aumentamos la resistencia, se tarda menos tiempo en alcanzar aproximadamente el estado estacionario.

El circuito estudiado en el artículo citado en las referencias consta de

La frecuencia del circuito vale

ω 2 = ω 0 2 γ 2 = 1 LC R 2 4 L 2

ω0=3311.5 rad/s
γ
=55.3 s-1

Estamos en la situación descrita en esta página (amortiguada) γ< ω0


Referencias

Faleski M. C. Transient behaviour of the driven RLC circuit. Am . J. Phys. 74 (5) May 2006, pp. 429-437