Circuito LCR conectado a una batería

Consideremos el siguiente circuito formado por un condensador de capacidad C, una resistencia R, una autoinducción L y una batería de fem V0 sin resistencia interna.

El condensador está inicialmente descargado. En el instante t=0, se cierra el circuito. En un instante dado t, tendremos que

Medimos las diferencias de potencial entre los puntos a y b, b y c, c y d, d y a. 

La ecuación del circuito será

Vab+Vbc+Vcd+ Vda =0

V L =L di dt

La ecuación del circuito es

V 0 +iR+ q C +L di dt =0

Con i=dq/dt.

d 2 q d t 2 + R L dq dt + 1 LC q= V 0 L d 2 q d t 2 +2γ dq dt + ω 0 2 q= V 0 L

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

q= y 1 +exp(γt)(A·sinωt+B·cosωt) ω 2 = ω 0 2 γ 2

La primera y1 una constante, es la solución particular y la segunda la solución general que ya encontramos en el estudio de las oscilaciones amortiguadas γ<ω0.

Introduciendo la solución particular y1 en la ecuación diferencial tenemos que

y1=CV0

Inicialmente el condensador C está descargado q=0 y la intensidad i=dq/dt es cero.

Las condiciones iniciales q=0, y dq/dt=0 determinan las constantes A y B. Después de hacer algunas operaciones tenemos que

q=C V 0 ( 1exp(γt)( γ ω sinωt+cosωt ) ) i= dq dt = V 0 Lω exp(γt)sinωt

Comprobamos que en el instante t=0, q=0 e i=0, y que para t→∞,

qC V 0

Diferencia de potencial en los extremos de cada uno de los elementos del circuito

Estudio energético

Se puede comprobar la conservación de la energía

UV=UC+UL+UR

Una parte de la energía suministrada por la batería se almacena en el condensador, otra parte en la autoinducción y el resto se disipa en la resistencia.

Después de un tiempo t→∞

La mitad de la energía suministrada por la batería se almacena como energía del campo eléctrico en el condensador y la otra mitad se disipa en la resistencia. El mismo resultado obtenido en la carga del condensador sin autoinducción

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa, la diferencia de potencial en los extremos de

Observamos el estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario, cuando t→∞

Si aumentamos la resistencia, se tarda menos tiempo en alcanzar aproximadamente el estado estacionario.

El circuito estudiado en el artículo citado en las referencias consta de

La frecuencia del circuito vale

ω 2 = ω 0 2 γ 2 = 1 LC R 2 4 L 2

ω0=3311.5 rad/s
γ
=55.3 s-1

Estamos en la situación descrita en esta página (amortiguada) γ< ω0


Referencias

Faleski M. C. Transient behaviour of the driven RLC circuit. Am . J. Phys. 74 (5) May 2006, pp. 429-437