Circuitos acoplados. Coeficiente de inducción mutua

Consideremos dos circuitos acoplados formados por una bobina y una espira que tienen el mismo eje y están situadas en planos paralelos separados una distancia z. La bobina está formada por N espiras apretadas de radio a, y la espira tiene un radio b.

La bobina constituye el primario de nuestro circuito acoplado, por el que va a circular una corriente alterna de frecuencia angular ω y intensidad I1.

I1=I01·sin(ω t).

Queremos calcular la intensidad I2 que circulará por la espira (secundario) sabiendo que su resistencia es R.

Para calcular el coeficiente de inducción mutua M de dos circuitos acoplados, hemos de seguir los siguientes pasos:

  1. Calculamos el campo magnético producido por el primario
  2. Hallamos el flujo del campo magnético producido por el primario a través del secundario
  3. Obtenemos la expresión del coeficiente de inducción mutua, dividiendo dicho flujo entre la intensidad que circula por el primario.

Campo magnético producido por el primario

El primer paso requiere aplicar la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético producido por una espira .

B y = μ 0 2π ia·z π/2 π/2 sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2ay·sinφ ) 3 dφ B z = μ 0 2π ia π/2 π/2 ay·sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2ay·sinφ ) 3 dφ

Flujo del campo magnético a través del secundario

Sea I1 la corriente que circula por el primario. Calculamos el flujo del campo magnético producido por el primario a través del área encerrada por la espira de radio b (secundario).

Φ 2 = S B dS = S ( B y j ^ + B z k ^ )dS· k ^ = S B z ·dS

Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.

El elemento diferencial de área es el área de un anillo de radio y y de anchura dy, su área es dS=y·dy

Φ 2 = μ 0 N· I 1 a 0 b y·dy π/2 π/2 ay·sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2ay·sinφ ) 3 dφ

Coeficiente de inducción mutua

Se define coeficiente de inducción mutua M como el cociente entre el flujo que atraviesa el secundario Φ2 entre la intensidad que circula por el primario I1.

M= Φ 2 I 1 = μ 0 Na 0 b y·dy π/2 π/2 ay·sinφ ( a 2 + z 2 + y 2 2ay·sinφ ) 3 dφ

Si la espira está alejada de la bobina, obtenemos una expresión aproximada para M siempre que se cumpla que

r= y 2 + z 2 >>a Φ 2 = 0 b μ 0 N· I 1 a 2 4 r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )·2πy·dy · Φ 2 = π μ 0 N· I 1 a 2 4 ( 3 z 2 0 b 2ydy ( y 2 + z 2 ) 5 0 b 2ydy ( y 2 + z 2 ) 3 )

La expresión del coeficiente de inducción mutua M es

M= Φ 2 I 1 = π μ 0 N a 2 b 2 2 ( b 2 + z 2 ) 3

Fórmula del coeficiente de inducción mutua

Hemos calculado calculado el coeficiente de inducción mutua entre dos circuitos a partir de su definición. Ahora emplearemos la fórmula alternativa.

M= μ 0 4π d l 1 · d l 2 r

donde d l 1 es un elemento del primer circuito, d l 2 es un elemento del segundo circuito y r es la distancia entre ambos elementos. (Véase Lorrain P., Corson D. R.. Campos y Ondas Electromagnéticas, Selecciones Científicas, págs 366-367).

Espiras cuadradas

Consideremos dos espiras cuadradas de lado a, situadas en planos paralelos y distantes z, tal como se muestra en la figura.

La integral doble, es la suma de 16 términos, cada término es proporcional al producto escalar de dos vectores: A1B1 con A2B2, A1B1 con B2C2, A1B1 con C2D2, A1B1 con D2A2; B1C1 con A2B2, B1C1 con B2C2 y así, sucesivamente.

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, por ejemplo A1B1 con B2C2, por lo que la integral se reduce a ocho términos.

M= μ 0 4π d l 1 · d l 2 r = μ 0 4π { d x 1 i ^ ·d x 2 i ^ r 1 + d x 1 i ^ ·( d x 2 i ^ ) r 2 + d y 1 j ^ ·d y 2 j ^ r 1 + d y 1 j ^ ·( d y 2 j ^ ) r 2 + ( d x 1 i ^ )·d x 2 i ^ r 2 + ( d x 1 i ^ )·( d x 2 i ^ ) r 1 + ( d y 1 j ^ )·d y 2 j ^ r 2 + ( d y 1 j ^ )·( d y 2 j ^ ) r 1 }= μ 0 2π { d x 1 ·d x 2 r 1 d x 1 ·d x 2 r 2 + d y 1 ·d y 2 r 1 d y 1 ·d y 2 r 2 }

Para dos espiras cuadradas iguales, se reduce a dos términos

M= μ 0 π { d y 1 ·d y 2 r 1 d y 1 ·d y 2 r 2 } r 1 2 = ( y 2 y 1 ) 2 + z 2 r 2 2 = a 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + z 2

Resolvemos la integral

d y 1 ·d y 2 r r 2 = ( y 2 y 1 ) 2 + d 2 { d 2 = z 2 d 2 = z 2 + a 2

o bien, la integral

0 a d y 1 0 a d y 2 ( y 2 y 1 ) 2 + d 2

Teniendo en cuenta el resultado

dx x 2 + d 2 =ln( x+ x 2 + d 2 )

>> syms x d;
>> int(1/sqrt(x^2+d^2))
ans =log(x + (d^2 + x^2)^(1/2))

0 a { ln( ( y 2 y 1 )+ ( y 2 y 1 ) 2 + d 2 ) | 0 a }d y 1 0 a { ln( ( a y 1 )+ ( a y 1 ) 2 + d 2 )ln( y 1 + y 1 2 + d 2 ) } d y 1

Integrando por partes

ln( x+ x 2 + d 2 ) dx=xln( x+ x 2 + d 2 ) x 2 + d 2

>> syms x d;
>>int(log(x+sqrt(x^2+d^2)))
ans =x*log(x + (d^2 + x^2)^(1/2)) - (d^2 + x^2)^(1/2)

Llegamos al siguiente resultado

{ ( a y 1 )ln( ( a y 1 )+ ( a y 1 ) 2 + d 2 )+ ( a y 1 ) 2 + d 2 y 1 ln( y 1 + y 1 2 + d 2 ) y 1 2 + d 2 } | 0 a { daln( a+ a 2 + d 2 ) a 2 + d 2 ( aln( a+ a 2 + d 2 )+ a 2 + d 2 d ) }= { 2d+aln( a+ a 2 + d 2 a+ a 2 + d 2 )2 a 2 + d 2 }= 2{ d+aln( a+ a 2 + d 2 d ) a 2 + d 2 }

Nos queda evaluar las dos integrales dobles que son similares. En la primera integral, d=z, en la segunda integral, d 2 = z 2 + a 2

d y 1 ·d y 2 r 1 =2{ z+aln( a+ a 2 + z 2 z ) a 2 + z 2 } d y 1 ·d y 2 r 2 =2{ z 2 + a 2 +aln( a+ 2 a 2 + z 2 z 2 + a 2 ) 2 a 2 + z 2 }

Finalmente, el coeficiente de inducción mutua M es proporcional a la diferencia de estos dos resultados

M= 2 μ 0 π { z+aln( a+ a 2 + z 2 z )aln( a+ 2 a 2 + z 2 a 2 + z 2 )2 a 2 + z 2 + 2 a 2 + z 2 }

Espiras circulares

Como vemos en la figura, el elemento de corriente es un arco infinitesimal de circunferencia (arco igual a radio por ángulo comprendido) dl1= r1·dθ1 y dl2= r2·dθ2

d l 1 = r 1 d θ 1 (sin θ 1 · i ^ +cos θ 1 · j ^ ) d l 2 = r 2 d θ 2 (sin θ 2 · i ^ +cos θ 2 · j ^ )

El vector r que tiene por origen el punto A (r1·cosθ1, r1·sinθ1, 0) y extremo el punto B (r2·cosθ2, r2·sinθ2, z), 

r =( r 2 cos θ 2 r 1 cos θ 1 ) i ^ +( r 2 sin θ 2 r 1 sin θ 1 ) j ^ +z k ^

Su módulo, o la distancia r entre dichos elementos de corriente es

r= ( r 2 cos θ 2 r 1 cos θ 1 ) 2 + ( r 2 sin θ 2 r 1 sin θ 1 ) 2 + z 2

Tenemos que calcular la integral doble

M= μ 0 4π r 1 r 2 0 2π 0 2π cos( θ 2 θ 1 )d θ 1 d θ 2 r 1 2 + r 2 2 2 r 1 r 2 cos( θ 2 θ 1 )+ z 2

Si el circuito primario consta de N1 espiras iguales apretadas, y el circuito secundario consta de una sola espira, el coeficiente de inducción mutua es

M= μ 0 4π N 1 r 1 r 2 0 2π 0 2π cos( θ 2 θ 1 )d θ 1 d θ 2 r 1 2 + r 2 2 2 r 1 r 2 cos( θ 2 θ 1 )+ z 2

El coeficiente de inducción mutua entre dos espiras de radios a y b, coaxiales y distantes z,  se puede expresar en términos de las integrales elípticas completas de primera  K(m) y segunda especie E(m), mediante la fórmula que damos sin demostración.

M= 1 2 μ 0 (a+b) 2 + z 2 ( (2m)K(m)2E(m) ) m= 4ab (a+b) 2 + z 2

Si en vez de espiras, son bobinas de espiras apretadas de Na y Nb vueltas se multiplica el coeficiente de inducción mutua de dos espiras por el producto Na·Nb.

a=0.5; %radio espira
b=0.5; %radio espira
z=0.3; %distancia entre espiras
m=4*a*b/((a+b)^2+z^2);
[K,E]=ellipke(m);
M=0.5*sqrt((a+b)^2+z^2)*((2-m)*K-2*E)
>>format long
M =   0.369893700194511

El coeficiente de inducción mutua M hay que multiplicarlo por μ0=4π·10-7 para expresarlo en H (henrios)

Ley de Faraday

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo Φ2 de dicho campo a través del anillo es

Φ2=M·I1

donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I1 es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma

I1=I01·sin(ω t)

Donde I01 es la amplitud y ω frecuencia angular ω = f. En Europa f=50 Hz y en Estados Unidos f=60 Hz.

Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida Vε en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.

V 2 = d Φ 2 dt = d(M· I 1 ) dt =M· I 01 ωcos(ωt)

La corriente inducida I2 en la espira de resistencia R es

I 2 = V 2 R = M R I 01 ωcos(ωt)

Actividades

En la simulación tenemos dos circuitos acoplados

Se introducen los siguientes datos relativos a la corriente que circula por el primario.

A continuación, los datos relativos a la espira (secundario)

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se representa las componentes del campo magnético By y Bz en los siguientes puntos (0, z), (b/2, z) y (-b/2, z), mediante flechas de color azul.

Se representa la corriente en la bobina (primario) y la corriente inducida en la espira (secundario) en función del tiempo en la parte derecha.

En la parte superior, se muestra el valor del coeficiente de inducción mutua M.

Ejemplo 1

Si el radio de la espira b=3.5 cm y la distancia z=5 cm el coeficiente de inducción mutua vale M=9.67·10-7 H. La resistencia de la espira vale

R=2.24·10-3·0.035=7.84·10-5 Ω

Si por el primario circula una corriente de frecuencia f=50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I01=10 A. La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

I 2 = 9.67· 10 7 7.84· 10 5 2π·50·10·cos(2π·50·t)

La amplitud de la intensidad inducida es I02=38.7 A

Ejemplo 2:

La espira tiene un radio b pequeño y está alejada de la bobina

Por ejemplo b=1 cm y z=10 cm.

Calculamos el coeficiente de inducción mutua por la fórmula aproximada

M= π μ 0 N a 2 b 2 2 ( b 2 + z 2 ) 3 = π·4·π· 10 7 ·100· (0.035) 2 · (0.01) 2 2 ( 0.01 2 + .035 2 ) 3 =2.38· 10 8 H

Mediante cálculo numérico, empleando integrales elípticas, el valor que obtenemos es de 2.01·10-8 H

La resistencia de la espira es

R=2.24·10-3·0.01=2.24·10-5 Ω

Si por el primario circula una corriente de frecuencia f=50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I01=10 A.

La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

I 2 = 2.01· 10 8 2.24· 10 5 2π·50·10·cos(2π·50·t)

La amplitud de la intensidad inducida es I02=2.82 A