Oscilaciones eléctricas

En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC

En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad. La ecuación del circuito es

V ab + V ba =0 L di dt q C =0

Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

d 2 q d t 2 + 1 LC q=0

Esta es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia o natural

ω 0 = 1 LC

Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.

  1. En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico.

  2. El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima i=Q·ω0

  3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.

  4. Comienza de nuevo a descargarse el condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).

  5. La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la carga del condensador, su color pasa gradualmente de rojo (carga positiva) y azul (carga negativa) a blanco (sin carga), luego se invierten gradualmente los colores. A la derecha, se traza la gráfica de la intensidad i en función del tiempo.


Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas

Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.

En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.

La ecuación del circuito es

V ab + V bc + V ca =0 iR+L di dt q C =0

Como i=-dq/dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

d 2 q d t 2 + R L dq dt + 1 LC q=0

La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es

q=Qexp(γt)sin( ωt+φ ) ω 2 = ω 0 2 γ 2 γ= R 2L

donde la amplitud Q y la fase inicial φ se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0 en el instante inicial t=0.

En las oscilaciones amortiguadas, la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máxima del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia por efecto Joule.

Se presentan dos casos particulares:

Cuando γ=ω0, entonces la frecuencia de la oscilación ω =0, se denomina oscilación crítica

Cuando γ>ω0, entonces la frecuencia de la oscilación ω es un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.

Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación

Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas

Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia ωf .

La ecuación del circuito es

V ab + V bc + V cd + V da =0 iR+L di dt + V 0 sin( ω f t ) q C =0

Como i=-dq/dt, si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

d 2 q d t 2 + R L dq dt + 1 LC q= V 0 sin( ω f t )

Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas de una masa unida a un muelle elástico.