Solenoide de longitud variable

En la página “Condensador plano-paralelo” estudiamos los cambios energéticos que ocurrían cuando se desplazaba una de las placas del condensador plano-paralelo conectado a una batería.

Las placas de signos opuestos se atraen, con una fuerza que hemos calculado ½qE, la mitad del producto de la carga q de las placas por el campo eléctrico uniforme existente E entre las placas.

El solenoide está formado por espiras. Cuando la corriente pasa por el solenoide las espiras se atraen, debido a que las corrientes circulan en el mismo sentido. Resulta complicado calcular la fuerza de atracción entre las espiras. La fuerza F (véase la figura) que tenemos que ejercer para incrementar la separación entre las espiras, es decir, la longitud del solenoide se puede calcular de forma indirecta.

En la autoinducción, el flujo propio es Φ=Li. La fem es

${\displaystyle V_L=-\frac{d(Li)}{dt}}$

donde el coeficiente de autoinducción L y la intensidad i cambian con el tiempo.

La ecuación del circuito

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_L+V_0=iR\\ \left(-\frac{d(Li)}{dt}\right)+V_0=iR\\ V_0-iR-\frac{d(Li)}{dt}=0\end{array}}$

Multiplicando por la intensidad,

${\displaystyle V_{0}i=i^{2}R+i\frac{d(Li)}{dt}}$

Teniendo en cuenta que

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)=\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL}{dt}+Li\frac{di}{dt}\\ i\frac{d(Li)}{dt}=i^2\frac{dL}{dt}+Li\frac{di}{dt}\end{array}}$

Tenemos la relación

${\displaystyle i\frac{d(Li)}{dt}=i^2\frac{dL}{dt}+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)-\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)+\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL}{dt}}$

La ecuación de la energía del circuito se escribe

${\displaystyle V_{0}i=i^{2}R+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L{i}^2\right)+\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL}{dt}}$

• El primer término, es la energía por unidad de tiempo suministrada por la batería

• El segundo, es la energía por unidad de tiempo, que se pierde en la resistencia

• El tercer término, es la energía por unidad de tiempo que se acumula en la autoinducción en forma de campo magnético.

• El cuarto término, ha de ser la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza externa  F aplicada (potencia).

${\displaystyle -\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL}{dt}=Fv}$

La batería y el trabajo de la fuerza externa contribuyen, por una parte, a incrementar la energía del campo magnético en el interior del solenoide y por la otra a calentar la resistencia.

En el caso de un solenoide de longitud l, formado por N espiras de sección S

${\displaystyle L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{l}\frac{dL}{dt}=-{\mu }_0\frac{N^2}{l^2}S\frac{dl}{dt}=-{\mu }_0\frac{N^2}{l^2}Sv}$

Despejamos la fuerza F

${\displaystyle F=\frac{1}{2{\mu }_0}{\left({\mu }_0\frac{Ni}{l}\right)}^{2}S=\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^{2}S}$

Donde el término entre paréntesis es precisamente el campo magnético en el interior de un solenoide.

Un argumento similar, se puede emplear para determinar la fuerza necesaria para incrementar la sección S de las espiras, manteniendo constantes la longitud del solenoide y el número de espiras.

El amperímetro de Kolhrausch

En esta sección estudiamos una situación similar a un dieléctrico que es atraído hacia el interior de un condensador conectado a una batería

Este amperímetro está formado por un solenoide con un núcleo de hierro cilíndrico en su interior conectado a una batería. El diámetro del núcleo es un poco más pequeño que el del solenoide, tal como se aprecia en la figura. El núcleo de hierro se sujeta a un soporte y el solenoide se coloca sobre una balanza electrónica de precisión. El campo magnético producido por el solenoide atrae al núcleo de hierro, por la tercera ley de Newton, el núcleo de hierro que está fijo, atrae al solenoide con una fuerza igual y de sentido contrario.

La balanza se tara a cero cuando no pasa corriente. Cuando pasa corriente, la lectura negativa de la balanza mide la fuerza con la que el solenoide es atraído

El código MATLAB para generar parte izquerda de la figura, es el siguiente

hold on
r=1*ones(30,1);
phi=linspace(0,2*pi,30);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi);
y=r.*sin(phi);
z=repmat(linspace(5,15,30),30,1);
surfl(x,y,z);
shading interp
colormap(gray);
 
t=0:0.05:16*pi;
x=1.1*sin(t);
y=1.1*cos(t);
z=0.2*t;
plot3(x,y,z,'b')
hold off
view(-44,24)
axis off

Consideremos el circuito formado por una resistencia R, una autoinducción L y una batería V₀. La ecuación del circuito es

${\displaystyle \begin{array}{l}{V}_L+V_0=iR\\ iR+L\frac{di}{dt}-V_0=0\end{array}}$

Siendo i la intensidad que circula por el circuito y t el tiempo. Multiplicando por la intensidad i

${\displaystyle V_{0}i=i^{2}R+Li\frac{di}{dt}}$

El término Ri² es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V₀i es la energía suministrada por la batería. El último término,

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{E}_B}{dt}=Li\frac{di}{dt}\\ E_B=\frac{1}{2}L{i}^2\end{array}}$

E_B es la energía acumulada en el solenoide en forma de campo magnético, cuando circula una corriente de intensidad i.

Si un material ferromagnético de permitividad relativa μ_r de forma cilíndrica de sección S, llena parcialmente el solenoide de longitud l y misma sección, la autoinducción L depende de x.

${\displaystyle L=L_0\left(\frac{l-x}{l}+{\mu }_r\frac{x}{l}\right)}$

Siendo L₀=μ₀N²S/l, la autoinducción del solenoide vacío

Si la intensidad se mantiene constante, la fuerza que el campo magnético producido por el solenoide ejerce sobre el núcleo de hierro es atractiva

${\displaystyle F=\frac{d{E}_B}{dx}=\frac{1}{2}{i}^2\frac{dL}{dx}=\frac{1}{2}{i}^2\frac{{\mu }_r-1}{l}{L}_0}$

La fuerza F es proporcional al cuadrado de la intensidad i. Midiendo la fuerza, obtenemos la intensidad. En el segundo artículo citado en las referencias se proporciona información detallada acerca del dispositivo experimental

Referencias

Blanchard C. H. Magnetic pressure and tension via the solenoid. Am .J Phys. 44 (9) September 1976, pp. 891-892

S Straulino, A Cartacci. An educational Kohlrausch ammeter. Physics Education, 45 (2) 2010, pp. 158-161