Solenoide de longitud variable

El solenoide está formado por espiras. Cuando la corriente pasa por el solenoide las espiras se atraen, debido a que las corrientes circulan en el mismo sentido. Resulta complicado calcular la fuerza de atracción entre las espiras. La fuerza F (véase la figura) que tenemos que ejercer para incrementar la separación entre las espiras, es decir, la longitud del solenoide se puede calcular de forma indirecta.

Cuando se conecta una batería V0 a una resistencia R y una autoinducción L, la corriente se incrementa, la autoinducción se comporta como una batería VL que se opone al incremento de la corriente, el circuito equivalente de la parte derecha de la figura.

V L = dΦ dt = d(Li) dt

donde la autoinducción L ahora no es constante.

La ecuación del circuito

V ab + V bc + V cd + V da =0 V 0 iR d(Li) dt =0

Multiplicando por la intensidad,

V 0 i= i 2 R+i d(Li) dt

Teniendo en cuenta que

d dt ( 1 2 L i 2 )= 1 2 i 2 dL dt +Li di dt i d(Li) dt = i 2 dL dt +Li di dt

Tenemos la relación

i d(Li) dt = i 2 dL dt + d dt ( 1 2 L i 2 ) 1 2 i 2 dL dt = d dt ( 1 2 L i 2 )+ 1 2 i 2 dL dt

La ecuación de la energía del circuito se escribe

V 0 i= i 2 R+ d dt ( 1 2 L i 2 )+ 1 2 i 2 dL dt

1 2 i 2 dL dt =Fv

La batería y el trabajo de la fuerza externa contribuyen, por una parte, a incrementar la energía del campo magnético en el interior del solenoide y por la otra a calentar la resistencia.

En el caso de un solenoide de longitud l, formado por N espiras de sección S

L= μ 0 N 2 S l dL dt = μ 0 N 2 l 2 S dl dt = μ 0 N 2 l 2 Sv

Despejamos la fuerza F

F= 1 2 μ 0 ( μ 0 Ni l ) 2 S= 1 2 μ 0 B 2 S

Donde el término entre paréntesis es precisamente el campo magnético en el interior de un solenoide.

Un argumento similar, se puede emplear para determinar la fuerza necesaria para incrementar la sección S de las espiras, manteniendo constantes la longitud del solenoide y el número de espiras.

Referencias

Blanchard C. H. Magnetic pressure and tension via the solenoid. Am .J Phys. 44 (9) September 1976, pp. 891-892