Ley de Ohm

Por una porción de conductor de longitud l, sección de radio a, por el que circula una corriente de intensidad i, la ley de Ohm se escribe

${\displaystyle V\text{'}-V=iR,R=\frac{1}{\sigma }\frac{l}{\pi a^2}}$

V'-V es la diferencia de potencial entre dos puntos de la superficie del conductor separados l

La resistencia es directamente proporcional a la longitud l de la porción de conductor e inversamente proporcional al área (πa²) de su sección. La constante de proporcionalidad se denomina resistividad 1/σ y a a la inversa, σ conductividad del material. Por ejemplo, para el cobre la resistividad es 0.0175·10^-6 Ω·m

Cuando la intensidad i no está uniformente distribuida en la sección del conductor, la ley de Ohm se expresa en términos del vector densidad de corriente $\overrightarrow{J}$, cuyo módulo es el cociente entre la intensidad i y el área de la sección (πa²), para una corriente uniformente distribuida en la sección del conductor

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{z}l=i\frac{1}{\sigma }\frac{l}{\pi a^2}\\ E_z=\frac{1}{\sigma }{J}_z\\ \overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}\end{array}}$

Para una corriente que no está uniformente distribuida en su sección, la intensidad es

${\displaystyle i={\displaystyle \int \overrightarrow{J}·\overrightarrow{dS}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{J}_z(\rho )\left(2\pi \rho ·d\rho \right)}}$

Cuando circula una corriente alterna, i(t)=i₀exp(iωt), de frecuencia angular ω, la impedancia Z del conductor es

${\displaystyle Z=Z_R+Z_L=R-\text{i}\omega L}$

Siendo L el coeficiente de autoinducción de la porción del conductor

Ley de Ampère

La ley de Ampère-Maxwell es

${\displaystyle {\displaystyle \oint \overrightarrow{B}·\overrightarrow{dl}=}{\mu }_{0}i+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{d}{dt}{\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}}}$

Despreciamos el segundo término, las denominadas corrientes de desplazamiento. El campo magnético en el interior del conductor es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \oint \overrightarrow{B}·\overrightarrow{dl}=}{\mu }_o{\displaystyle \int \overrightarrow{J}·\overrightarrow{dS}}\\ B_{\phi }·2\pi \rho =-{\mu }_o{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}{J}_z\left(2\pi \rho \text{'}\right)d\rho \text{'}}\\ B_{\phi }=-{\mu }_o\frac{1}{\rho }{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}{J}_z\rho \text{'}d\rho \text{'}}\end{array}}$

El campo magnético B_φ es tangente a la circunferencia de radio ρ y en el sentido indicado en la figura, de acuerdo con la regla de la mano derecha

Ley de Faraday

Como la intesidad de la corriente es variable con el tiempo (de frecuencia ω), el campo magnético B_φ es variable con el tiempo, el flujo a través de la superficie ABCD es variable con el tiempo. Aplicamos la ley de Faraday para calcular el campo eléctrico en el conductor.

${\displaystyle {\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}=}-\frac{d}{dt}{\displaystyle \int \overrightarrow{B}·\overrightarrow{dS}}}$

El flujo del campo magnético B_φ a través del área del rectángulo de lados ρ y Δz, es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \overrightarrow{B}·\overrightarrow{dS}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}{B}_{\phi }}(\Delta z·d\rho \text{'})=\\ -\Delta z·{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}{B}_{\phi }·}d\rho \text{'}\end{array}}$

La circulación del campo eléctrico a lo largo del camino ABCD es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}+}}{\displaystyle \underset{B}{\overset{C}{\int }}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}+}{\displaystyle \underset{C}{\overset{D}{\int }}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}+{\displaystyle \underset{D}{\overset{A}{\int }}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}}=}\\ -E_z(\rho )·\Delta z+0+E_z(0)·\Delta z+0=-\left(E_z(\rho )-E_z(0)\right)\Delta z\end{array}}$

El resultado de la aplicación de la ley de Faraday, es

${\displaystyle E_z(\rho )-E_z(0)=-\frac{d}{dt}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}{B}_{\phi }·}d\rho \text{'}}$

Aplicamos la ley de Ohm, relacionando el campo eléctrico y la densidad de corriente, $\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_z(\rho ,t)-J_z(\mathrm{0,}t)=-\sigma \frac{d}{dt}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}{B}_{\phi }·}d\rho \text{'}\\ J_z(\rho ,t)-J_z(\mathrm{0,}t)={\mu }_o\sigma \frac{d}{dt}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_z(\rho \text{'}\text{'},t)·\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)}d\rho \text{'}\right)\end{array}}$

Por el conductor circula una corriente alterna de frecuencia angular ω

${\displaystyle J_z(\rho ,t)=J_z(\rho )·\exp \left(-\text{i}\omega t\right)}$

La ecuación se simplifica, al separarse las variables t y ρ

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_z(\rho )e^{-\text{i}\omega t}-J_z(0)e^{-\text{i}\omega t}=-\text{i}\omega {\mu }_o\sigma \left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_z(\rho \text{'}\text{'})\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}\right\}{e}^{-\text{i}\omega t}\\ J_z(\rho )=J_z(0)-\text{i}\omega {\mu }_o\sigma {\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_z(\rho \text{'}\text{'})\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}\end{array}}$

Se define espesor pelicular, el parámetro δ, llegando a la ecuación

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega {\mu }_0\sigma }}\\ J_z(\rho )=J_z(0)-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_z(\rho \text{'}\text{'})\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}\end{array}}$

Método de las aproximaciones sucesivas

Para obtener la solución J_z(ρ) de esta ecuación, utilizamos el método de las aproxiamciones sucesivas

• Primera aproximación: dado J_z(ρ)=J₀, que es constante, obtenemos J₁(ρ)

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_1(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_0\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}\\ J_1(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{J}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}\frac{\rho {\text{'}}^2}{2}\right)d\rho \text{'}}\\ J_1(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}\frac{J_0}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\rho \text{'}d\rho \text{'}}\\ J_1(\rho )=J_0\left(1-2\text{i}\frac{1}{2·2}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^2\right)\end{array}}$

• Segunda aproximación, dado J₁(ρ), obtenemos J₂(ρ)

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_2(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_1\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}\\ J_2(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{J}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}\left\{\frac{\rho {\text{'}}^2}{2}-2\text{i}\frac{1}{2·2}\frac{1}{4}\frac{\rho {\text{'}}^4}{{\delta }^2}\right\}\right)d\rho \text{'}}\\ J_2(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{J}_0\left(\frac{{\rho }^2}{2·2}-2\text{i}\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}\frac{{\rho }^4}{{\delta }^2}\right)\\ J_2(\rho )=J_0\left(1-2\text{i}\frac{1}{2·2}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^2+{\left(2\text{i}\right)}^2\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^4\right)\end{array}}$

• Tercera aproximación, dado J₂(ρ), obtenemos J₃(ρ)

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_3(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_2\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}\\ J_3(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{J}_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}\left\{\frac{\rho {\text{'}}^2}{2}-2\text{i}\frac{1}{2·2}\frac{1}{4}\frac{\rho {\text{'}}^4}{{\delta }^2}+{\left(2\text{i}\right)}^2\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}\frac{1}{6}\frac{\rho {\text{'}}^6}{{\delta }^4}\right\}\right)d\rho \text{'}}\\ J_3(\rho )=J_0-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{J}_0\left(\frac{{\rho }^2}{2·2}-2\text{i}\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}\frac{{\rho }^4}{{\delta }^2}+{\left(2\text{i}\right)}^2\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}\frac{1}{6·6}\frac{{\rho }^6}{{\delta }^4}\right)\\ J_3(\rho )=J_0\left(1-2\text{i}\frac{1}{2·2}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^2+{\left(2\text{i}\right)}^2\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^4-{\left(2\text{i}\right)}^3\frac{1}{2·2}\frac{1}{4·4}\frac{1}{6·6}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^6\right)\end{array}}$

• Aproximación, n

${\displaystyle J_n(\rho )=J_0\left(1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{{\left(-2\text{i}\right)}^k}{{\left(2·4·6·\mathrm{...}·2k\right)}^2}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^{2k}}\right)=J_0\left({\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^{2k}}\right)}$

La solución buscada J_z(ρ) es la serie

${\displaystyle J_z(\rho )=J_z(0)\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{\rho }{\delta }\right)}^{2k}}\right)}$

En el artículo citado en las referencias, se demuestra que la serie es convergente y que J_z(ρ) es la solución de la ecuación

${\displaystyle J_z(\rho )=J_z(0)-\frac{2\text{i}}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho }{\int }}\left(\frac{1}{\rho \text{'}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\rho \text{'}}{\int }}{J}_z(\rho \text{'}\text{'})\rho \text{'}\text{'}d\rho \text{'}\text{'}}\right)d\rho \text{'}}}$

Densidad de corriente

Representamos el valor absoluto del cociente |J_z(ρ)|/|J_z(a)|, para a/δ=6. Las líneas verticales distan δ de la superficie del conductor. La corriente circula por una porción de la sección del conductor, la mayor parte, por el anillo de radio interior a-δ y radio exterior, a, y muy poca por el eje del conductor

function skin_3
    a=1;
    r=6;
    delta=a/r;
    den=abs(serie(a));
    x=linspace(0,a,100);
    y=abs(serie(x))/den;
    plot([fliplr(-x) x], [fliplr(y) y]);
    line([-a+delta,-a+delta],[0,1],'lineStyle','--')
    line([a-delta,a-delta],[0,1],'lineStyle','--')
    xlabel('\rho/a')
    ylabel('|J_z(\rho)|/J_z(a)|')
    grid on
    title('Efecto pelicular')
    
    function res=serie(x)   
        res=0;
        for k=0:50
            res=res+(-1i/2)^k*((x/delta).^k/factorial(k)).^2;
        end
    end
end

Representamos el valor absoluto del cociente |J_z(ρ)|/|J_z(a)|, para varios valores de a/δ=1, 3, 6, 10.

function skin
    a=1;
    hold on
    for r=[1,3,6,10]
         delta=a/r;
         den=abs(serie(a));
         x=linspace(0,a,100);
         y=abs(serie(x))/den;
        plot([fliplr(-x) x], [fliplr(y) y], 'displayName',num2str(r));
    end
    
    hold off
    xlabel('\rho/a')
    ylabel('|J_z(\rho)|/J_z(a)|')
    legend('-DynamicLegend','location','best')
    grid on
    title('Efecto pelicular')
    
    function res=serie(x)   
        res=0;
        for k=0:200
            res=res+(-1i/2)^k*((x/delta).^k/factorial(k)).^2;
        end
    end
end

Sea un conductor de cobre de radio 0.5 mm. La resistividad del cobre es 0.0175·10^-6 Ω·m. Para el cociente a/δ=3, calculamos la frecuencia f de la corriente alterna

${\displaystyle \begin{array}{l}\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega {\mu }_0\sigma }}\\ \delta =\frac{0.5·{10}^{-3}}{3}=\sqrt{\frac{2·0.0175·{10}^{-6}}{2\pi f·4\pi ·{10}^{-7}}}\end{array}}$

El resultado es f=1.596·10⁵ Hz=159.6 kHz. Del mismo modo,

• Para a/δ=1, f=17.73 kHz
• Para a/δ=6, f=638.3 kHz
• Para a/δ=10, f=1.773 MHz

Impedancia

La impedancia por unidad de longitud es

${\displaystyle Z=\frac{1}{\Delta z}\frac{V_{\rho =a}}{i}=\frac{E_z(a)}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{J}_z(\rho )\left(2\pi \rho ·d\rho \right)}}=\frac{J_z(a)}{2\pi \sigma {\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{J}_z(\rho )·\rho ·d\rho }}}$

Resolvemos la integral del denominador

${\displaystyle \begin{array}{l}{J}_z(0)\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{{\delta }^{2k}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{\rho }^{2k+1}d\rho }}\right)=J_z(0)\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{{\delta }^{2k}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}{\rho }^{2k+1}d\rho }}\right)=\\ J_z(0)\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{a^{2k+2}}{{\delta }^{2k}}\frac{1}{2k+2}}\right)=\frac{a^2}{2}{J}_z(0){\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{k+1}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}\end{array}}$

La impedancia Z por unidad de longitud, es el cociente entre dos series

${\displaystyle Z=\frac{1}{\pi \sigma a^2}\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{k+1}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}}$

El factor que multiplica es la resistencia por unidad de longitud, r₀=1/(πσa²) cuando circula corriente continua por el conductor, ω=0

Parte real

La impedancia Z es un número complejo, la parte real Re, es la resistencia R por unidad de longitud

${\displaystyle R=r_0·\mathrm{Re}\left(\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{k+1}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}\right)}$

Representamos la resistencia R por unidad de longitud, la parte real de Z/r₀ en función de a/δ

function skin_1
    x=linspace(0,5,100); %a/delta
    Z=serie_num(x)./serie_den(x);
    plot(x,real(Z))
    xlabel('a/\delta')
    ylabel('Re(Z)/r_0')
    grid on
    title('Efecto pelicular')
    
    function res=serie_num(x)   
        res=0;
        for k=0:100
            res=res+(-1i/2)^k*(x.^k/factorial(k)).^2;
        end
    end
    function res=serie_den(x)   
        res=0;
        for k=0:100
            res=res+(-1i/2)^k*(x.^k/factorial(k)).^2/(k+1);
        end
    end
end

La respresentación gráfica nos sugiere que habrá dos posibles expresiones asintóticas para la resistencia, cuando la frecuencia es pequeña, ω→0 y cuando es grande, ω→∞

• Para un conductor de cobre (resistividad, 0.0175·10^-6 Ωm) de radio a=0.5 mm, la resistencia por unidad de longitud cuando conduce corriente continua es,

${\displaystyle r_0=\frac{0.0175·{10}^{-6}}{\pi {\left(0.5·{10}^{-3}\right)}^2}=\text{0}\text{.0223}{\text{Ωm}}^{-1}}$

• Cuando conduce una corriente alterna de frecuencia f=159.6 kHz, lo que corresponde al cociente a/δ=3, obtenemos

...
    x=3; %a/delta
    disp(real(serie_num(x)/serie_den(x)))

    1.7681

La resistencia por unidad de longitud es 1.7681·r₀ más grande

• Para la frecuencia f=638.3 kHz, lo que corresponde al cociente a/δ=6, obtenemos 3.2652·r₀

Parte imaginaria

La parte imaginaria, Imag,es la impedancia inductiva -iωL por unidad de longitud del conductor. Teniendo en cuenta la definición del espesor δ

${\displaystyle \begin{array}{l}-\omega L=\frac{1}{\pi \sigma a^2}\text{Imag}\left(\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{k+1}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}\right)\\ -\frac{2}{{\delta }^2{\mu }_0\sigma }L=\frac{1}{\pi \sigma a^2}\text{Imag}\left(\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{k+1}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}\right)\\ L=-{\left(\frac{\delta }{a}\right)}^2\frac{{\mu }_0}{2\pi }\text{Imag}\left(\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{-\text{i}}{2}\right)}^k\frac{1}{{\left(k!\right)}^2}\frac{1}{k+1}{\left(\frac{a}{\delta }\right)}^{2k}}}\right)\end{array}}$

Representamos el coeficiente de autoinducción L/(μ₀/4π)=L·10⁷ por unidad de longitud, la parte imaginaria de Z multiplicada por el factor (δ/a)² en función de δ/a

function skin_2
    xx=linspace(0,1.6,100);  %delta/a
    r=-2*serie_num(1./xx).*(xx.^2)./serie_den(1./xx);
    plot(xx,imag(r))
    xlabel('\delta/a')
    ylabel('L/(\mu_0/4\pi)')
    grid on
    title('Efecto pelicular')    
    
    function res=serie_num(x)   
        res=0;
        for k=0:130
            res=res+(-1i/2)^k*(x.^k/factorial(k)).^2;
        end
    end
    function res=serie_den(x)   
        res=0;
        for k=0:130
            res=res+(-1i/2)^k*(x.^k/factorial(k)).^2/(k+1);
        end
    end
end

La respresentación gráfica nos sugiere que habrá dos posibles expresiones asintóticas para el coeficiente de autoinducción, cuando la frecuencia es pequeña, ω→0 y cuando es grande, ω→∞

Referencias

Glenn S Smith. A simple derivation for the skin effect in a round wire. Eur. J. Phys. 35 (2014) 025002