Recordamos el flujo de un fluido, sometido a un gradiente de presión Δp/l, a través de dos planos paralelos situados en z=-c y z=c

Resolvemos la ecuación diferencial, integrando dos veces

${\displaystyle \begin{array}{l}\eta \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial z^2}=\frac{\Delta p}{l}\\ u_x(z)=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{z}^2+c_{1}z+c_2\end{array}}$

Los coeficientes c₁ y c₂ se determinan aplicando las condiciones de contorno. La velocidad del fluido u_x(z) se anula en los puntos de contacto con los planos paralelos.

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{u}_x(c)=0\\ u_x(-c)=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}0=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{c}^2+c_{1}c+c_2\\ 0=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{c}^2-c_{1}c+c_2\end{array}\\ c_1=\mathrm{0,}{c}_2=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{c}^2\\ u_x(z)=-\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)\end{array}}$

El perfil de velocidades es parabólico. La máxima velocidad se alcanza en z=0

${\displaystyle u_m=-\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{c}^2}$

Tubo de sección rectangular

Para determinar el perfil de velocidades de un fluido a través de un tubo de sección rectangular en el estado estacionario, tenemos que resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\eta \left(\frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial z^2}\right)=\frac{\Delta p}{l}\\ \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial z^2}=\frac{\Delta p}{\eta l}\end{array}}$

Con las condiciones de contorno

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_x(y,c)=\mathrm{0,}{u}_x(y,-c)=0\\ u_x(b,z)=\mathrm{0,}{u}_x(-b,z)=0\end{array}}$

La velocidad del fluido adherido a los cuatro planos (dos horizontales y dos verticales) que forman el tubo, es nula

Buscamos una solución que elimina el término Δp/(lη) constante de la ecuación diferencial en derivadas parciales

${\displaystyle u_x(y,z)=-\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)+u_x^t(y,z)}$

Introducimos en la ecuación diferencial, transformándose en la ecuación de Laplace en dos dimensiones

${\displaystyle \frac{{\partial }^2{u}_x^t}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{u}_x^t}{\partial z^2}=0}$

Con las siguientes condiciones de contorno

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_x^t(y,c)=\mathrm{0,}{u}_x^t(y,-c)=0\\ u_x^t(b,z)=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right),u_x^t(-b,z)=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)\end{array}}$

Variables separadas

La solución es el producto de dos funciones una que solamente depende de y y otra que depende de z

${\displaystyle u_x^t(y,z)=Y(y)Z(z)}$

Introduciendo en la ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}Z\frac{d^{2}Y}{d{y}^2}+Y\frac{d^{2}Z}{d{z}^2}=0\\ \frac{1}{Y}\frac{d^{2}Y}{d{y}^2}=-\frac{1}{Z}\frac{d^{2}Z}{d{z}^2}\end{array}}$

El primer miembro solamente depende de y y el segundo de z, igualamos a una contante k². De este modo, transformamos una ecuación diferencial en derivadas parciales en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de solución conocida

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}Y}{d{y}^2}-k^{2}Y=0\\ \frac{d^{2}Z}{d{y}^2}+k^{2}Z=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}Y(y)=A\exp (-ky)+B\exp (ky)\\ Z(z)=C\cos (kz)+D\sin (kz)\end{array}\end{array}}$

Condiciones de contorno en los planos horizontales

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_x^t(y,c)=Y(y)Z(c)=\left(A\exp (-ky)+B\exp (ky)\right)\left(C\cos (kc)+D\sin (kc)\right)=0\\ u_x^t(y,-c)=Y(y)Z(-c)=\left(A\exp (-ky)+B\exp (ky)\right)·\left(C\cos (kc)-D\sin (kc)\right)=0\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}2C\cos (kc)=\mathrm{0,}{k}_{n}c=\frac{2n-1}{2}\pi ,n=\mathrm{1,2,3...}\\ 2D\sin (kc)=\mathrm{0,}D=0\\ Z(z)=C\cos (k_{n}z)\end{array}}$

Condiciones de contorno en los planos verticales

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_x^t(b,z)=Y(b)Z(c)=\left(A\exp (-kb)+B\exp (kb)\right)C\cos (kz)=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)\\ u_x^t(-b,z)=Y(y)Z(-c)=\left(A\exp (kb)+B\exp (-kb)\right)·C\cos (kz)=\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)\end{array}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}A\exp (-kb)+B\exp (kb)=A\exp (kb)+B\exp (-kb)\\ A=B\\ Y(y)=2A\cosh (k_{n}y)\end{array}}$

También, por razón de simetría A=B

La solución buscada es la superposición

${\displaystyle u_x^t(y,z)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{V}_n\cos (k_{n}z)}\cosh (k_{n}y),k_n=\frac{2n-1}{2}\frac{\pi }{c},n=\mathrm{1,2,3...}}$

Teniendo en cuenta que

${\displaystyle \frac{1}{c}{\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}\cos \left(k_{n}z\right)\cos \left(k_{m}z\right)dz=\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}m\ne n\\ \mathrm{1,}m=n\end{array}}}$

Calculamos los coeficientes V_n

${\displaystyle \begin{array}{l}{u}_x^t(b,z)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{V}_k\cos (k_{n}z)}\cosh (k_{n}b)\\ \frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{V}_n\cos (k_{n}z)}\cosh (k_{n}b)\\ \frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}\left(c^2-z^2\right)\cos (k_{m}z)dz}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{V}_n\cosh (k_{n}b){\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}\cos (k_{n}z)\cos (k_{m}z)dz}}\\ \frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}\left(c^2-z^2\right)\cos (k_{n}z)dz}=V_n\cosh (k_{n}b)·c\end{array}}$

Resolvemos la integral del primer miembro

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \left(c^2-z^2\right)\cos (k_{n}z)dz}=c^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-{\displaystyle \int z^2\cos (k_{n}z)dz}=\\ \{\begin{array}{l}u=z^2,du=2zdz\\ dv=\cos (k_{n}z)dz,v=\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}\end{array}\\ c^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-\left\{z^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-\frac{2}{k_n}{\displaystyle \int z\sin (k_{n}z)dz}\right\}=\\ \{\begin{array}{l}u=z,du=dz\\ dv=\sin (k_{n}z)dz,v=-\frac{\cos (k_{n}z)}{k_n}\end{array}\\ c^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-\left\{z^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-\frac{2}{k_n}\left\{-z\frac{\cos (k_{n}z)}{k_n}+\frac{1}{k_n}{\displaystyle \int \cos (k_{n}z)dz}\right\}\right\}=\\ c^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-\left\{z^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-\frac{2}{k_n}\left\{-z\frac{\cos (k_{n}z)}{k_n}+\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n^2}\right\}\right\}\end{array}}$

Evaluamos el integrando entre -c y c, teniendo en cuenta que cos(k_nc)=0

${\displaystyle \begin{array}{l}{c^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-z^2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n}-2z\frac{\cos (k_{n}z)}{k_n^2}+2\frac{\sin (k_{n}z)}{k_n^3}|}_{-c}^c=\\ \frac{4}{k_n^3}\sin (k_{n}c)-\frac{4c}{k_n^2}\cos (k_{n}c)=\frac{4}{k_n^3}{\left(-1\right)}^{n+1}\end{array}}$

Los coeficientes V_n son

${\displaystyle V_n=\frac{2}{c}\frac{\Delta p}{\eta l}\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{k_n^3}\frac{1}{\cosh (k_{n}b)}}$

El resultado es

${\displaystyle u_x^t(y,z)=\frac{2}{c}\frac{\Delta p}{\eta l}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{k_n^3}\frac{\cos (k_{n}z)\cosh (k_{n}y)}{\cosh (k_{n}b)}}}$

El perfil de velocidades del fluido en el tubo de sección rectangular es

${\displaystyle u_x(y,z)=-\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}\left(c^2-z^2\right)+\frac{2}{c}\frac{\Delta p}{\eta l}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{k_n^3}\frac{\cos (k_{n}z)\cosh (k_{n}y)}{\cosh (k_{n}b)}}}$

Dividimos por la velocidad máxima $u_m=-\frac{1}{2}\frac{\Delta p}{\eta l}{c}^2$, para que todas las magnitudes sean adimensionales

${\displaystyle \frac{u_x(y,z)}{u_m}=1-\frac{z^2}{c^2}+4{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\alpha }_n^3}\frac{\cos \left({\alpha }_n\frac{z}{c}\right)\cosh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)},{\alpha }_n}=\frac{2n-1}{2}\pi }$

Representamos el perfil de velocidades para c=1 y b=2. Tomamos los 100 primeros términos del desarrollo en serie

=1;
b=2;
z=-c:0.05:c;
y=-b:0.05:b;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
ux=1-Z.^2/c^2;
for n=1:100
    ux=ux+4*(-1)^n*cos((2*n-1)*pi*Z/(2*c)).*cosh((2*n-1)*pi*Y/(2*c))
/(((2*n-1)*pi/2)^3*cosh((2*n-1)*pi*b/(2*c)));
end
mesh(ux,Y,Z);
xlabel('u_x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Perfil de velocidades')

Lo mismos datos pero en curvas de nivel

function navier_stokes_16
    c=1;
    b=2;
    fcontour(@perfil, [-b,b,-c,c])
    xlabel('y')
    ylabel('z')
    title('Perfil de velocidades')
    
    function ux=perfil(y,z)
        ux=1-z.^2/c^2;
        for n=1:100
            ux=ux+4*(-1)^n*cos((2*n-1)*pi*z/(2*c)).*cosh((2*n-1)*pi*y/(2*c))
/(((2*n-1)*pi/2)^3*cosh((2*n-1)*pi*b/(2*c)));
        end

    end
end

Gasto

El gasto (volumen de fluido por unidad de tiempo) es

${\displaystyle G={\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}{\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}{u}_x(y,z)dy·dz}}}$

Resolvemos la integral respecto de z

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}{u}_x(y,z)dz}=u_m{\displaystyle \underset{-c}{\overset{c}{\int }}\left\{1-\frac{z^2}{c^2}+4{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\alpha }_n^3}\frac{\cos \left({\alpha }_n\frac{z}{c}\right)\cosh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}}\right\}dz=}\\ {u_m\left\{z-\frac{z^3}{3c^2}+4{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\alpha }_n^3\frac{{\alpha }_n}{c}}\frac{\sin \left({\alpha }_n\frac{z}{c}\right)\cosh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}}\right\}|}_{-c}^c=u_m\left\{\frac{4}{3}c+8c{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\alpha }_n^4}\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}\cosh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}}\right\}=\\ u_{m}c\left\{\frac{4}{3}-8{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\alpha }_n^4}\frac{\cosh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}}\right\}\end{array}}$

Integramos respecto de y

${\displaystyle \begin{array}{l}G=u_{m}c{\displaystyle \underset{-b}{\overset{b}{\int }}\left\{\frac{4}{3}-8{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\alpha }_n^4}\frac{\cosh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}}\right\}dy}={u_{m}c\left\{\frac{4}{3}y-8{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\alpha }_n^4\frac{{\alpha }_n}{c}}\frac{\sinh \left({\alpha }_n\frac{y}{c}\right)}{\cosh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}}\right\}|}_{-c}^c=\\ -4\frac{\Delta p}{\eta l}{c}^3\left\{\frac{1}{3}b-2c{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\alpha }_n^5}\tanh \left({\alpha }_n\frac{b}{c}\right)}\right\}\end{array}}$

Referencias

Tasos C. Papanastasiou, Georgios C. Georgiou, Andreas N. Alexandrou. Viscous Fluid Flow. CRC Press 2000. Sección 6.7.2